2020届江西省临川第一中学高三上学期第一次联考(10月)数学（文）试题

2020届江西省临川第一中学高三上学期第一次联考(10月)数学（文）试题

‎2020届江西省临川第一中学高三上学期第一次联考(10月)数学（文）试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出集合B，再利用交集的运算即可求出。‎ ‎【详解】‎ 因为或，‎ ‎，‎ 所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的交集运算.‎ ‎2．设，则“”是“”的（）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】利用充分、必要条件的定义即可判断。‎ ‎【详解】‎ ‎，因为，可推出；时，若，则无法推出，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分、必要条件的定义的应用。‎ ‎3．若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　　)‎ A.a＜b＜c B.c＜a＜b C.b＜c＜a D.b＜a＜c ‎【答案】D 第 17 页 共 17 页 ‎【解析】根据y＝(x>0)是增函数和y＝x是减函数可求得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∵y＝x (x>0)是增函数，∴a＝>b＝.‎ ‎∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.‎ 故本题答案为D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查幂函数和指数函数的性质，考查学生利用函数单调性进行比较大小，掌握幂函数和指数函数的基本知识是重点，属基础题.‎ ‎4．若复数满足，则的最大值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复数的几何意义可知，复数对应的点的轨迹是以（-3,4）为圆心，半径为2的圆，表示圆上的点到原点的距离的平方，由几何知识即可求出。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，复数对应的点的轨迹是以点A（-3,4）为圆心，半径为2的圆，表示圆上的点到原点的距离的平方，因为，所以 的最大值为，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的几何意义的应用。‎ ‎5．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则的值为（）‎ A． B． C． D．或 ‎【答案】B ‎【解析】根据题意可求出等差数列的通项公式和前项和，即可列出等式，解出的值。‎ ‎【详解】‎ 由题意得，，，所以 第 17 页 共 17 页 ‎，解得或（舍去），故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查等差数列的通项公式和前项和公式的应用。‎ ‎6．已知实数满足，如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】试题分析：由下图可得在处截距取得最大值，最小，‎ 由 ‎，故选B.‎ ‎【考点】线性规划.‎ ‎【方法点晴】‎ 本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型.考生应注总结解决线性规划问题的一般步骤：（1）在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域；（2）将目标函数变形为；（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大（小）值.‎ ‎7．某创业公司共有36名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了9位代表，得到的数据分别为36、36、37、37、40、43、43、44、44，若用样本估计总体，年龄在内的人数占公司人数的百分比是（ ）‎ ‎（其中是平均数，为标准差，结果精确到1%）‎ 第 17 页 共 17 页 A．14% B．25% C．56% D．67%‎ ‎【答案】C ‎【解析】依据题意，计算出平均数和方差、标准差，即可求出百分比。‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ ‎，即，年龄在内，即 内的人数有5人，所以百分比为，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用样本估计总体，涉及平均数、方差、标准差的计算，意在考查学生的计算能力。‎ ‎8．在平行四边形中，点在对角线上(包含端点)，且，则有（）‎ A．最大值为，没有最小值 B．最小值为，没有最大值 C．最小值为，最大值为 D．最小值为，最大值为 ‎【答案】C ‎【解析】画出图形，通过平面向量的线性运算可将转化为两个共线向量的数量积，分类讨论点P的位置，利用基本不等式即可求出最值。‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ ‎，所以 ‎（1）当点在上，设，‎ 因为，所以；‎ 第 17 页 共 17 页 ‎（2）当点在上，设，‎ ‎；‎ 综上， 的最小值为，最大值为，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查向量数量积的运算、基本不等式的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力。‎ ‎9．已知函数，则曲线在处切线方程为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求出时，的解析式，求出其导数，由导数的几何意义即可求出方程。‎ ‎【详解】‎ 当时，，‎ ‎，所以，，‎ 曲线在处切线方程为即，故选A。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程。‎ ‎10．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且，则异面直线与所成角的正切值是（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】C 第 17 页 共 17 页 ‎【解析】【详解】‎ 如图，取的中点，连接，依题意得，，所以为异面直线与所成角，因为，所以，故选C.‎ ‎【方法点睛】‎ 本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.‎ ‎11．关于函数，有下列三个结论:①是的一个周期；②在上单调递增；③的值域为.则上述结论中，正确的个数为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用三角函数的性质，逐个判断即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎①因为，所以是的一个周期，①正确；‎ ‎②因为，，所以在上不单调递增，②错误；‎ ‎③因为，所以是偶函数，又是的一个周期，所以可以只考虑时，的值域。当时，，‎ 第 17 页 共 17 页 在上单调递增，所以，的值域为，③错误；‎ 综上，正确的个数只有一个，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的性质应用。‎ ‎12．已知点是椭圆上非顶点的动点，分别是椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若为的平分线上一点，且，则的取值范围为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】依据题意画出简图，不妨设点P在轴右边，可知，根据焦半径公式，算出 即可求出，从而得解。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，不妨设点P在轴右边，因为为的平分线上一点，且，所以为的垂直平分线，故，由中位线定理可得。‎ 设点，由焦半径公式得，，，，故，因为，所以，‎ ‎，，故选D。‎ 第 17 页 共 17 页 ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的简单几何性质、等腰三角形的性质、椭圆定义的应用，意在考查学生转化能力。‎ 二、填空题 ‎13．函数的零点个数为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用函数零点的定义即可求出。‎ ‎【详解】‎ 由，所以或 ，解得，‎ 故函数只有一个零点。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数零点的求法。‎ ‎14．若，则_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先切化弦，再利用立方和公式即可求出。‎ ‎【详解】‎ 由得，，即有，‎ ‎。‎ ‎【点睛】‎ 第 17 页 共 17 页 本题主要考查同角三角函数基本关系式、以及立方和公式的应用。‎ ‎15．当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用分离参数法，可以得到，求出在上的最小值，只要小于其最小值，解不等式即可得出实数m的取值范围。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，可变形为，因为在上单调递减，所以其最小值为2，故，解得，所以 实数m的取值范围为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式恒成立问题的解法，利用分离参数法将恒成立问题转化为最值问题，是常见的解题思路。‎ ‎16．在三棱锥中，，若平面平面，则三棱锥外接球的表面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题意可求出点P到面ABC的距离为，而三角形ABC为直角三角形，由此可知球心O在面ABC内的射影为AC的中点，设球心O到面ABC的距离为h，根据勾股定理，即可求出h，算出外接球半径，得到外接球的表面积。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，过P作PD垂直AB于D，PA=PB，所以D为AB的中点，因为平面平面，所以PD面ABC，又因为，所以三棱锥外接球的球心在面ABC内的射影为AC的中点，且O，E，D，P四点共面。‎ 过O作OF垂直PD于F，所以四边形OEDF为矩形。设球心O到面ABC的距离为h，即OE=FD=h，三棱锥外接球的半径为R。在等腰中，，而 ， ，‎ 第 17 页 共 17 页 故，解得 ，，‎ 表面积。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三棱锥的几何特征以及其外接球的表面积求法、涉及面面垂直的性质定理应用，意在考查学生直观想象能力和计算能力。‎ 三、解答题 ‎17．已知数列满足，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前n项和为.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据首项，由递推式可知，，所以根据等比数列的定义可以判断数列为等比数列，即可求出其通项公式；（2）根据数列的通项公式可知，该数列由一等比数列和一等差数列对应项相加而成，故选择分组求和法求数列的前n项和。‎ ‎【详解】‎ 根据首项，由递推式可知，。由，则，‎ 故数列为等比数列，首项为，公比为，所以 。 ‎ 第 17 页 共 17 页 ‎(2)由，则 ‎【点睛】‎ 本题主要考查等比数列定义的应用、通项公式的求法，以及分组求和法的应用。‎ ‎18．如图，四面体中，是边长为1的正三角形，是直角三角形，，.‎ ‎(1)证明：平面平面；‎ ‎(2)若点为的中点，求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）‎ ‎【解析】（1）依据面面垂直的判定定理，在面ABC内找一条直线垂直于面ACD即可；‎ ‎（2）根据等积法，，先求出三角形ACE的面积，再求出，即可求出点到平面的距离。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)取的中点，连接，由，，‎ 故，又为，故，而，即，，又是边长为1的正三角形，则，‎ ‎，而面，‎ 故平面平面 第 17 页 共 17 页 ‎(2)在中，，则 故，为等腰直角三角形，则，而，点E到面ABC的距离等于点D到面ABC的距离的一半，‎ 设点到平面的距离为，由可得 ‎。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查面面垂直判定定理的应用，以及利用等积法求点到面的距离，意在考查学生的直观想象能力和计算能力。‎ ‎19．若存在过点的直线与曲线和都相切，求的值.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】根据点O在曲线上，利用导数的几何意义，分别求出曲线在点O处的切线方程和曲线过点O的切线方程，然后切线与曲线相切，联立方程，根据，求出的值。‎ ‎【详解】‎ 由题可知在曲线上，所以有以下两种情况：‎ ‎（1）当为切点时，由，得，即直线的斜率为，故直线的方程为，由，得，依题意，‎ ‎（2）当不是切点时，设直线与曲线相切于点 第 17 页 共 17 页 则①‎ 又②，则联立①②得，所以，故直线的方程为，由，得，依题意得，，得，‎ 综上，或 ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数的几何意义求过曲线上某点的切线方程以及在曲线上某点处的切线方程，意在考查学生分类讨论思想意识和数学运算能力。‎ ‎20．抚州市某中学利用周末组织教职员工进行了一次秋季登军峰山健身的活动，有人参加，现将所有参加人员按年龄情况分为，，，，，，等七组，其频率分布直方图如下图所示．已知之间的参加者有4人．‎ ‎（1）求和之间的参加者人数；‎ ‎（2）组织者从之间的参加者（其中共有名女教师包括甲女，其余全为男教师）中随机选取名担任后勤保障工作，求在甲女必须入选的条件下，选出的女教师的人数为2人的概率.‎ ‎（3）已知和之间各有名数学教师，现从这两个组中各选取人担任接待工作，设两组的选择互不影响，求两组选出的人中都至少有名数学教师的概率?‎ ‎【答案】（1），（2）（3）‎ ‎【解析】（1）先根据频率分布直方图求出年龄在和 第 17 页 共 17 页 内的频率，再根据样本总数=频数/频率，即可求出和；（2）根据古典概型的概率计算公式，通过列举，分别求出“在甲女必须入选的条件下”的基本事件总数，“在甲女必须入选的条件下，选出的女教师的人数为2人”的事件数，即可算出概率；（3）根据相互独立事件同时发生的概率公式，只需分别求出两组各自选取两人中至少有一名数学老师的概率，相乘即可求出。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题可知，，故，‎ 而，则 ‎（2）由题可知，则有4名女教师和2名男教师，设女教师为甲，乙，丙，丁，男教师为A，B，从中随机选取3名担任后勤保障工作，由于甲女一定入选，所以只需从剩下的5名老师中选取2名，基本事件有如下10种情况，（乙丙）（乙丁）（乙A）（乙B）（丙丁）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）（AB），其中恰有2女教师的有（乙A）（乙B）（丙A）（丙B）（丁A）（丁B）共6种情况，故 ‎（3）由题可知，，，所以 ‎，而两组的选择互不影响，所以互为独立事件，故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图的应用、古典概型的概率求法、以及相互独立事件同时发生的概率公式应用。‎ ‎21．已知椭圆，若不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点.‎ ‎(1)若线段的中点坐标为，求直线的方程；‎ ‎(2)若直线过点，点满足（分别是直线的斜率），求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据点差法求出直线斜率，由点斜式即可写出直线的方程；‎ 第 17 页 共 17 页 ‎（2）设出直线的方程，以及，，将转化为和，有关的等式，联立直线方程和椭圆方程，求出，，代入上述等式，化简即可求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设，，由点都在椭圆上，‎ 故，则 故直线的方程为 ‎（2）由题可知，直线的斜率必存在，设直线的方程为，，‎ 则 即①‎ 联立，则 将其代入①得 故的值为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了点差法的应用，以及利用直线与椭圆的位置关系解决和定点有关的问题，意在考查学生的数学计算能力。‎ ‎22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（‎ 第 17 页 共 17 页 为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程以及直线的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点，若直线与曲线交于两点，求的值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】（1）平方相减，消掉参数，即可将曲线C的参数方程化为普通方程，利用两角和的余弦公式以及极坐标与直角坐标互化公式即可求出直线的直角坐标方程；（2）根据第一问，求出直线的倾斜角，写出直线的参数方程，将其与曲线的方程联立，利用的几何意义，即可求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，，故 又直线：，故 ‎(2)由，‎ 故直线的标准参数方程为（为参数），将其代入曲线中，得，‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程和普通方程互化，以及将极坐标方程化为直角坐标方程，同时考查直线的参数方程中的几何意义应用。‎ ‎23．已知函数，.‎ 第 17 页 共 17 页 ‎(1)若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）通过因式分解，原方程化为，显然是方程的一个解，即只要在上无解，即可求出实数的取值范围；（2）先利用不等式成立的必要条件得到，进而将问题转化为在上恒成立，由此可以去绝对值，利用因式分解和分离参数法，即可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由，则必是该方程的根，所以在上无解，即与在上无交点，而，故 ‎(2)由对恒成立，而，故，则在上恒成立，故只需在上面对恒成立即可，又，则只需对恒成立，则，‎ 故 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了通过方程根的讨论求解参数范围，以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和逻辑推理能力。‎ 第 17 页 共 17 页