2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第1节课件（33张）（全国通用）

2019届二轮复习（文）第九章平面解析几何第1节课件（33张）（全国通用）

第 1 节　直线的方程 最新考纲　 1. 在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素； 2. 理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式； 3. 掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式 ( 点斜式、两点式及一般式 ) ，了解斜截式与一次函数的关系 . 1. 直线的倾斜角 (1) 定义：当直线 l 与 x 轴相交时，我们取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 方向 之间所成的角 α 叫做直线 l 的倾斜角 . (2) 规定：当直线 l 与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角 为 . (3) 范围：直线的倾斜角 α 的取值范围 是 . 知 识 梳 理 向上 0 [0 ， π) 2. 直线的斜率 (1) 定义：当直线 l 的倾斜角 α ≠ 时 ，其倾斜角 α 的正切值 tan α 叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母 k 表示，即 k ＝ . (2) 斜率公式：经过两点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 )( x 1 ≠ x 2 ) 的直线的斜率公式 为 k ＝ . tan α 3. 直线方程的五种形式 名称 几何条件 方程 适用条件 斜截式 纵截距、斜率 ______________________ 与 x 轴不垂直的直线 点斜式 过一点、斜率 ______________________ 两点式 过两点 ______________________ 与两坐标轴均不垂直的直线 截距式 纵、横截距 ______________________ 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式   Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A 2 ＋ B 2 ≠0) 所有直线 y ＝ kx ＋ b y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) [ 常用结论与微点提醒 ] 1. 直线的倾斜角 α 和斜率 k 之间的对应关系： 2. 求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率 . 3. 截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为 0 ，这是解题时容易忽略的一点 . α 0° 0°< α <90° 90° 90°< α <180° k 0 k >0 不存在 k <0 1. 思考辨析 ( 在括号内打 “√” 或 “×”) (1) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大 .( 　　 ) (2) 直线的斜率为 tan α ，则其倾斜角为 α .( 　　 ) (3) 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 .( 　　 ) (4) 经过任意两个不同的点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 的直线都可以用方程 ( y － y 1 )( x 2 － x 1 ) ＝ ( x － x 1 )( y 2 － y 1 ) 表示 .( 　　 ) 诊 断 自 测 解析 　 (1) 当直线的倾斜角 α 1 ＝ 135° ， α 2 ＝ 45° 时， α 1 ＞ α 2 ，但其对应斜率 k 1 ＝－ 1 ， k 2 ＝ 1 ， k 1 ＜ k 2 . (2) 当直线斜率为 tan( － 45°) 时，其倾斜角为 135°. (3) 两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等 . 答案　 (1)× 　 (2)× 　 (3)× 　 (4)√ 2. (2018· 衡水调研 ) 直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 的倾斜角为 ( 　　 ) A.30 ° B.45° C.120 ° D.150 ° 解析 　由题得，直线 y ＝ x ＋ 1 的斜率为 1 ，设其倾斜角为 α ，则 tan α ＝ 1 ，又 0° ≤ α ＜ 180° ，故 α ＝ 45° ，故选 B. 答案 　 B 3. 如果 A · C <0 ，且 B · C <0 ，那么直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 不通过 ( 　　 ) A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 答案　 C 4. ( 必修 2P89B5 改编 ) 若过两点 A ( － m ， 6) ， B (1 ， 3 m ) 的直线的斜率为 12 ，则直线的方程为 ________. ∴ 直线 AB 的方程为 y － 6 ＝ 12( x － 2) ， 整理得 12 x － y － 18 ＝ 0. 答案 　 12 x － y － 18 ＝ 0 5. ( 必修 2P100A9 改编 ) 过点 P (2 ， 3) 且在两轴上截距相等的直线方程为 ________. 答案　 3 x － 2 y ＝ 0 或 x ＋ y － 5 ＝ 0 考点一　直线的倾斜角与斜率 ( 典例迁移 ) 解析 　 (1) 直线 2 x cos α － y － 3 ＝ 0 的斜率 k ＝ 2cos α ， 法二　 设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程 为 y ＝ k ( x － 1) ，即 kx － y － k ＝ 0. ∵ A ， B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， 【迁移探究 1 】 若将本例 (2) 中 P (1 ， 0) 改为 P ( － 1 ， 0) ，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 . 解 　设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 1) ，即 kx － y ＋ k ＝ 0. ∵ A ， B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， 【迁移探究 2 】 若将本例 (2) 中的 B 点坐标改为 B (2 ，－ 1) ，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围 . 解 　由例 1(2) 知直线 l 的方程 kx － y － k ＝ 0 ， ∵ A ， B 两点在直线 l 的两侧或其中一点在直线 l 上， ∴ (2 k － 1 － k )(2 k ＋ 1 － k ) ≤ 0 ， 即 ( k － 1)( k ＋ 1) ≤ 0 ，解得－ 1 ≤ k ≤ 1. 答案 　 B 考点二　直线方程的求法 解　 (1) 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 . 即 x ＋ 3 y ＋ 4 ＝ 0 或 x － 3 y ＋ 4 ＝ 0. (2) 由题设知纵、横截距不为 0 ， 故所求直线方程为 4 x － y ＋ 16 ＝ 0 或 x ＋ 3 y － 9 ＝ 0. (3) 当斜率不存在时，所求直线方程为 x － 5 ＝ 0 满足题意； 当斜率存在时，设其为 k ，则 所求直线方程为 y － 10 ＝ k ( x － 5) ， 即 kx － y ＋ 10 － 5 k ＝ 0. 故所求直线方程为 3 x － 4 y ＋ 25 ＝ 0. 综上知，所求直线方程为 x － 5 ＝ 0 或 3 x － 4 y ＋ 25 ＝ 0. 规律方法 　 1. 在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件 . 2. 对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用 ( 若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零 ). 【训练 2 】 求适合下列条件的直线方程： ( 1) 经过点 P (4 ， 1) ，且在两坐标轴上的截距相等； ( 2) 经过点 A ( － 1 ，－ 3) ，倾斜角等于直线 y ＝ 3 x 的倾斜角的 2 倍； ( 3) 经过点 B (3 ， 4) ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形 . 解　 (1) 设直线 l 在 x ， y 轴上的截距均为 a ， 若 a ＝ 0 ，即 l 过点 (0 ， 0) 和 (4 ， 1) ， (2) 由已知：设直线 y ＝ 3 x 的倾斜角为 α ，则所求直线的倾斜角为 2 α . 又直线经过点 A ( － 1 ，－ 3) ， 即 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0. (3) 由题意可知，所求直线的斜率为 ±1. 又过点 (3 ， 4) ，由点斜式得 y － 4 ＝ ±( x － 3). 所求直线的方程为 x － y ＋ 1 ＝ 0 或 x ＋ y － 7 ＝ 0. 考点三　直线方程的综合应用 【例 3 】 已知直线 l ： kx － y ＋ 1 ＋ 2 k ＝ 0( k ∈ R ). ( 1) 证明：直线 l 过定点； ( 2) 若直线不经过第四象限，求 k 的取值范围； ( 3) 若直线 l 交 x 轴负半轴于 A ，交 y 轴正半轴于 B ， △ AOB 的面积为 S ( O 为坐标原点 ) ，求 S 的最小值并求此时直线 l 的方程 . (1) 证明　 直线 l 的方程可化为 k ( x ＋ 2) ＋ (1 － y ) ＝ 0 ， ∴ 无论 k 取何值，直线总经过定点 ( － 2 ， 1). 当 k ＝ 0 时，直线为 y ＝ 1 ，符合题意，故 k 的取值范围是 [0 ，＋ ∞). ∴ S min ＝ 4 ，此时直线 l 的方程为 x － 2 y ＋ 4 ＝ 0. 规律方法 　 1. 含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出 “ 动中有定 ”. 2. 求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 . 【训练 3 】 ( 一题多解 ) 已知直线 l 过点 P (3 ， 2) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A ， B 两点，如图所示，求 △ ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程 . 从而所求直线方程为 2 x ＋ 3 y － 12 ＝ 0. 法二　 依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k ＜ 0. 则直线 l 的方程为 y － 2 ＝ k ( x － 3)( k ＜ 0) ， 即 △ ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2 x ＋ 3 y － 12 ＝ 0.