广东省深圳市2018-2019学年高一下学期期末考试试题数学

广东省深圳市2018-2019学年高一下学期期末考试试题数学

广东省深圳市 2019 年高一下学期数学期末考试试卷 一、选择题:本大题共 10 小题。 1.若集合  2 1 2 3A   ，，， ，  2B x x n n N  ， ，则 A B  （ ） A.  2 B.  2 C.  2 2 ， D.  【答案】B 【解析】 【分析】 通过集合 B 中 n N ，用列举法表示出集合 B，再利用交集的定义求出 A B ． 【详解】由题意，集合    2 0 2 4 6 8B x x n n N    ， ，，，，， ， 所以  2A B  故答案为：B 【点睛】本题主要考查了集合的表示方法，以及集合的运算，其中熟记集合的表示方法，以 及准确利用集合的运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2.连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面向上与反面向上各一次的概率是（ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 【答案】C 【解析】 【分析】 利用列举法求得基本事件的总数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解． 【详解】由题意，连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，基本事件包含：（正面，正面），（正面， 反面），（反面，正面），（反面，反面），共有 4 中情况， 出现正面向上与反面向上各一次，包含基本事件：（正面，反面），（反面，正面），共 2 种， 所以的概率为 2 1 4 2P   ，故选 C． 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中熟练利用列举法求得基 本事件的总数是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 3.下列函数中，既是偶函数又在区间  0  ， 上单调递减的是（ ） A. 3y x B. y x C. siny x D. 2 1y x  【答案】D 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性和单调性，逐一判断各个选项中的函数的奇偶性和单调性，进而得出结论． 【详解】由于函数 3y x 是奇函数，不是偶函数，故排除 A； 由于函数 y x 是偶函数，但它在区间 0  ， 上单调递增，故排除 B； 由于函数 siny x 是奇函数，不是偶函数，故排除 C； 由于函数 2 1y x  是偶函数，且满足在区间 0  ， 上单调递减，故满足条件． 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性的判定及应用，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义 和判定方法，以及基本初等函数的奇偶性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的 能力，属于基础题． 4.如图，扇形 OAB 的圆心角为90 ，半径为 1，则该扇形绕 OB 所在直线旋转一周得到的几 何体的表面积为（ ） A. 3 4  B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】 以OB 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球，利用球面的表面积公式 及圆的表面积公式即可求得． 【详解】由已知可得：以OB 所在直线为旋转轴将整个图形旋转一周所得几何体是一个半球， 其中半球的半径为 1，故半球的表面积为： 2 22 2 3r r        故答案为：C 【点睛】本题主要考查了旋转体的概念，以及球的表面积的计算，其中解答中熟记旋转体的 定义，以及球的表面积公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题． 5.已知函数  f x cosx ，下列结论不正确的是（ ） A. 函数  y f x 的最小正周期为 2 B. 函数  y f x 在区间 0 ， 内单调递减 C. 函数  y f x 的图象关于 y 轴对称 D. 把函数  y f x 的图象向左平移 2  个单位长度可得到 siny x 的图象 【答案】D 【解析】 【分析】 利用余弦函数  f x cosx 的性质对 A、B、C 三个选项逐一判断，再利用平移“左加右减”及 诱导公式得出 cos sin2x x      ，进而得出答案． 【详解】由题意，函数  f x cosx 其最小正周期为 2 ，故选项 A 正确； 函数  f x cosx 在 0 ， 上为减函数，故选项 B 正确； 函数  f x cosx 为偶函数，关于 y 轴对称，故选项 C 正确 把函数  f x cosx 的图象向左平移 2  个单位长度可得 cos sin2x x      ，所以选项 D 不正确． 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质，以及诱导公式的应用，着重考查了推理与运算能 力，属于基础题． 6.已知直线l 是平面 a 的斜线，则 a 内不存在与 l （ ） A. 相交的直线 B. 平行的直线 C. 异面的直线 D. 垂直的直线 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面的斜线的定义，即可作出判定，得到答案． 【详解】由题意，直线l 是平面 的斜线，由斜线的定义可知与平面相交但不垂直的直线叫做 平面的斜线，所以在平面 内肯定不存在与直线 l 平行的直线． 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了直线与平面的位置关系的判定及应用，其中解答中熟记平面斜线的 定义是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题． 7.若 0a  ，且 1a  ，则“ 1 2a  ”是“函数   af x log x x  有零点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】 结合函数零点的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，即可得出答案． 【详解】由题意，当 1 2a  时，   1 2 logf x x x  ，函数 1 2 logy x 与 y x 有交点， 故函数   af x log x x  有零点； 当   af x log x x  有零点时， a 不一定取 1 2 ， a 只要满足 0 1a  都符合题意． 所以“ 1 2a  ”是“函数   af x log x x  有零点”的充分不必要条件． 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了函数零点的概念，以及对数函数的图象与性质的应用，其中解答中 熟记函数零点的定义，以及对数函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能 力，属于基础题． 8.如图， ABC△ 中， E F， 分别是 BC AC， 边的中点， AE 与 BF 相交于点G ，则 AG  （ ） A. 1 1 2 2AB AC  B. 1 2 3 3AB AC  C. 1 1 3 3AB AC uuur uuur D. 2 1 3 3AB AC  【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量的加减法的法则，利用G 是 ABC△ 的重心，进而得出 2 3AG AE uuur uuur ， 再利用向量的 加减法的法则，即可得出答案． 【详解】由题意，点 E F， 分别是 BC AC， 边的中点， AE 与 BF 相交于点G ， 所以G 是 ABC△ 的重心，则 2 3AG AE uuur uuur ， 又因为 1 1 1 1( )2 2 2 2AE AC CE AC CB AC AB AC AC AB         uuur uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur ， 所以 2 1 1 3 3 3AG AE AB AC   uuur uuur uuur uuur 故答案为：C 【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及三角形重心的性质，其中解答中熟记三角形 重心的性质，以及向量的线性运算法则是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基 础题． 9.英国数学家布鲁克泰勒（Taylor Brook，1685~1731）建立了如下正、余弦公式（ ）     3 5 7 2 1 1sin 13! 5! 7! 2 1 ! n nx x x xx x n         L L     2 4 6 2 cos 1 12! 4! 6! 2 ! n nx x x xx n         L L 其中 *x R n N ， ， ! 1 2 3 4n n     L ，例如：1! 1 2! 2 3! 6  ， ， 。试用上述公式 估计 cos0.2 的近似值为（精确到 0.01） A. 0.99 B. 0.98 C. 0.97 D. 0.96 【答案】B 【解析】 【分析】 利用题设中给出的公式进行化简，即可估算，得到答案． 【详解】由题设中的余弦公式得     2 4 6 20.2 0.2 0.2 0.2cos0.2 1 12! 4! 6! 2 ! n n n        L L 0.04 0.0016 0.0000641 0.982 24 720      L ， 故答案为：B 【点睛】本题主要考查了新信息试题的应用，其中解答中理解题意，利用题设中的公式，准 确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 10.已知函数   22 2xf x m x m     ，若存在实数 x ，满足    f x f x   ，则实数 m 的 取值范围为（ ） A.  2 (0 1]  ， ， B.    2 0 0 1 ， ， C.    2 0 1   ， ， D.    2 1    ， ， 【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意可知方程    f x f x   有解即可，代入解析式化简后，利用基本不等式得出 24 2 2m m  ≥ ， 再利用分类讨论思想即可求出实数 m 的取值范围． 【详解】由题意知，方程    f x f x   有解， 则    2 22 2 2 2x xf x m x m m x m            ， 化简得   22 2 2 4 0x xm m     ，即 24 22 2x x m m    ， 因为 2 2 2x x  ≥ ，所以 24 2 2m m  ≥ ， 当 0m  时， 24 2 2m m  ≥ 化简得 2 2 0m m  ≤ ， 解得 0 1m  ； 当 0m  时， 24 2 2m m  ≥ 化简得 2 2 0m m  ≥ ， 解得 2m   ， 综上所述 m 的取值范围为 2 (0 1]  ， ， ． 故答案为：A 【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及利用基本不等式求最值的应用，其中 解答中利用题设条件化简，合理利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算 能力，属于中档试题． 二、填空题。 11.设i 为虚数单位，复数  4 3z i i  的模为______。 【答案】5 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘法运算化简，然后代入复数模的公式，即可求得答案． 【 详 解 】 由 题 意 ， 复 数  = 44 3 3z i i i  ， 则 复 数  4 3z i i  的 模 为  2 24 53z    ． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了复数的乘法运算，以及复数模的计算，其中熟记复数的运算法则， 和复数模的公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 12.已知    2 4 C 1 3AB A  uuur uuur， ， ， ，则 AB BC   ________． 【答案】 6 【解析】 【分析】 利用向量内积的坐标运算以及向量模的坐标表示，准确运算，即可求解． 【详解】由题意，向量    2 4 C 1 3AB A  uuur uuur， ， ， ， 则 2 1 4 3 14AB AC      uuur uuur ， 2 2 22 4 20AB    uuur ， 所以   2 14 20 6AB BC AB AC AB AB AC AB           uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur ． 故答案为： 6 【点睛】本题主要考查了向量内积的坐标运算，以及向量模的坐标运算的应用，其中解答中 熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于 基础题． 13.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.7，现两 人各自独立射击一次，均中靶的概率为 ______． 【答案】0.56 【解析】 【分析】 根据在一次射击中，甲、乙同时射中目标是相互独立的，利用相互独立事件的概率乘法公式， 即可求解． 【详解】由题意，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.7， 所以两人均中靶的概率为 0.8 0.7 0.56  ， 故答案为：0.56 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式的应用，其中解答中合理利用相互独 立的概率乘法公式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 14.某学校高一年级举行选课培训活动，共有 1024 名学生、家长、老师参加，其中家长 256 人．学校按学生、家长、老师分层抽样，从中抽取 64 人，进行某问卷调查，则抽到的家长有 ___人 【答案】16 【解析】 【分析】 利用分层抽样的性质，直接计算，即可求得，得到答案． 【详解】由题意，可知共有 1024 名学生、家长、老师参加，其中家长 256 人， 通过分层抽样从中抽取 64 人，进行某问卷调查，则抽到的家长人数为 25664 161024   人． 故答案为：16 【点睛】本题主要考查了分层抽样的应用，其中解答中熟记分层抽样的概念和性质，准确计 算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 15.函数    f x Asin x   的部分图象如图，其中 0A  ，   0  ， 0 2   ．则  ____； tan  _____． 【答案】 (1). 2 (2). 3 4 【解析】 【分析】 由图求得 2A  ， 再由T  求出   2  ，利用图象过点 6 2 5     ， ，求出 3sin 5   ， 进而求 出 3tan 4   ，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据三角函数的部分图象，可得 1 2 2 2T t t     即 2T    ，因为   0  ，所以   2  ， 又由图可知 2A  ， 根据 62sin 2 02 2 5 2f                    ， ，解得 3sin 5   ， 因为 0 2   ，所以 4cos 5   ，所以 sin 3tan cos 4    ． 故答案为：2 ； 3 4 【点睛】本题主要考查了由    f x Asin x   的部分图象确定其解析式，其中解答中熟 记三角函数的图象与性质，合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础 题． 16.棱长均为 1m 的正三棱柱透明封闭容器盛有 3am 水，当侧面 1 1AA B B 水平放置时，液面高为 hm （如图 1）； 当转动容器至截面 1A BC 水平放置时，盛水恰好充满三棱锥 1A A BC （如 图 2），则 a ___； h  _____． 【答案】 (1). 3 12 (2). 3 1 2 2  【解析】 【分析】 利 用 体 积 相 等 得 出 1 1 1 3A A BC ABCV S AA a   V ， 进 而 算 出 1 3 1 12 3ABED ABCa S AA S   V， 1AA ，进而得出 1 3ABED ABCS S ，通过面积的比值，进而求 出 h 的值，得到答案． 【详解】由题意，正三棱柱的棱长均为1 m ， 所以 1 1 1 3 31 1 sin 60 1 1 12 2 2 4ABCS AA           ， ， 由题意可得 1 1 1 1 3 313 3 4 12A A BC ABCV S AA a       V ， 又由 1 1 1 1 1ABED A B E D AA BCV V  得 1 1 1 3ABED ABCS AA S AA  V ， ∴ 1 3ABED ABCS S V ，∴ 3 3 DE AB  ∵ 3 3 DC DE AC AB   ，∴ 3 3DC  ，∴ 31 3AD   在等边 ABC 中， AB 边上的高为 3 2 因为 31 3 13 2 h AD AC    ，∴ 3 1 2 2h   故答案为： 3 3 1 12 2 2 ； ． 【点睛】本题主要考查了空间几何体的体积公式的应用，其中解答中熟记空间几何体的结构 特征，合理利用椎体的体积公式和三棱锥的结构特征求解是解答的关键，着重考查了空间想 象能，以及推理与运算能力，属于中档试题． 三、解答题． 17.已知 ABC 的三个内角 A B C， ， 的对边分别是 a b c a c， ， ， ，且 2 sin 3c A a ． （1）求角C 的大小； （2）若 4c ABC V， 的面积为 3 ，求 ABC 的周长． 【答案】(1) 60C  °； (2) 2 7 4 【解析】 【分析】 （1）通过正弦定理得 2sin sin 3sinC A A ，进而求出sinC ， 再根据 a c ，进而求得 C 的大小； （2）由正弦定理中的三角形面积公式求出 4ab  ， 再根据余弦定理，求得 2 7a b  ， 进 而求得 ABC 的周长． 【详解】（1）由题意知 2 sin 3c A a ，由正弦定理得 2sin sin 3sinC A A ， 又由 (0, )A  ，则sin 0A  ，所以 3sin 2C  ， 又因为 a c ，则 A C   ，所以 60C  °． （2）由三角形的面积公式，可得 1 1 3sin 32 2 2ABCS ab C ab   V ，解得 4ab  ， 又因为 2 2 2 2 2 24 1cos 2 2 2 a b c a bC ab ab       ， 解得 2 2 20a b  ，即 2 28a b  ，所以 2 7a b  ， 所以 ABC 的周长为 2 7 4a b c    【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三 角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解 是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 18.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 为单位圆与 x 轴正半轴的交点，点 P 为单位圆上的 一点，且 4AOP   ，点 P 沿单位圆按逆时针方向旋转角 后到点  Q a b， （1）当 6   时，求 ab 的值； （2）设 4 2        ， ，求 b a 的取值范围． 【答案】(1) 1 4ab  ；(2) 1 2  ， 【解析】 【分析】 （1）由三角函数的定义得出 cos sin cos sin4 4 4 4P Q                        ， ， ， ， 通过当 6   时， cos 4a       ， sin 4b       ， 进而求出 ab 的值； （2）利用三角恒等变换的公式化简得 2 sinb a   ，得出1 2 sin 2≤ ≤ ，进而得到 b a 的取值范围． 【详解】（1）由三角函数的定义，可得 cos sin cos sin4 4 4 4P Q                        ， ， ， 当 6   时， 5 5cos sin12 12Q       ， ，即 5 5cos sin12 12a b  ， ， 所以 5 5 1 5 5 1 5 1cos sin 2 cos sin sin12 12 2 12 12 2 6 4ab            ． （2）因为 cos sin4 4Q                 ， ，所以 cos sin4 4a b               ， ， 由三角恒等变换的公式，化简可得： sin cos 2 sin cos cos sin 2 sin4 4 4 4 4 4b a                                            ， 因为 4 2        ， ，所以1 2 sin 2≤ ≤ ， 即b a 的取值范围为 1 2  ， ． 【点睛】本题主要考查了任意角的三角函数的定义，两角和与差的正、余弦函数的公式的应 用，以及正弦函数的性质的应用，其中解答中熟记三角函数的定义与性质，以及两角和与差 的三角函数的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 19.某科研课题组通过一款手机 APP 软件，调查了某市 1000 名跑步爱好者平均每周的跑步量 （简称“周跑量”），得到如下的频数分布表 周跑 量 （km/ 周）  10 15，  15 20，  20 25，  25 30，  30 35，  35 40，  40 45，  45 50，  50 55， 人数 100 120 130 180 220 150 60 30 10 （1）在答题卡上补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图: 注:请先用铅笔画，确定后再用黑色水笔描黑 （2）根据以上图表数据计算得样本的平均数为 28.5km ，试求样本的中位数（保留一位小数）， 并用平均数、中位数等数字特征估计该市跑步爱好者周跑量的分布特点 （3）根据跑步爱好者的周跑量，将跑步爱好者分成以下三类，不同类别的跑者购买的装备的 价格不一样，如下表: 周跑量 小于20公里 20 公里到 40 公 里 不小于 40 公里 类别 休闲跑者 核心跑者 精英跑者 装备价格（单位：元） 2500 4000 4500 根据以上数据，估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费多少元? 【答案】(1)见解析；(2) 中位数为 29.2，分布特点见解析； (3)3720 元 【解析】 【分析】 （1）根据频数和频率之间的关系计算，即可得到答案； （2）根据频率分布直方图利用中位数两边频率相等，列方程求出中位数的值，进而得出结论； （3）根据频率分布直方图求出休闲跑者，核心跑者，精英跑者分别人数，进而求出平均值． 【详解】（1）补全该市 1000 名跑步爱好者周跑量的频率分布直方图，如下： （2）中位数的估计值： 由5 0.02 5 0.024 5 0.026 0.35 0.5       ， 0.35 5 0.036 0.53 0.5    所以中位数位于区间 25 30， 中， 设中位数为 x ，则  0.35 25 0.036 0.5x    ， 解得 29.2x  ，因为 28.5 29.2 ， 所以估计该市跑步爱好者多数人的周跑量多于样本的平均数． （3）依题意可知，休闲跑者共有 5 0.02 5 0.024 1000 220     人， 核心跑者  5 0.026 5 0.036 5 0.044 5 0.030 1000 680         人， 精英跑者1000 220 680 100   人， 所以该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要 220 2500 680 4000 100 4500 37201000       元． 【点睛】本题主要考查了平均数、中位数的求法，以及频率分布直方图的性质等相应知识的 综合应用，着重考查了化简能力，推理计算能力，以及数形结合思想的应用，属于基础题． 20.如图长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB AD ， E F， 分别为棱 AB ， 1 1A D 的中点 （1）求证:平面 EFC  平面 1BB D ； （2）请在答题卡图形中画出直线 1DB 与平面 EFC 的交点O（保留必要的辅助线），写出画法 并计算 1 DO OB 的值（不必写出计算过程）． 【答案】(1)见证明；(2) 1 4 5 DO OB  ；画图见解析 【解析】 【分析】 （1）推导出 1BB  平面 ABCD ，得出 1BB EC ，得出 DBC BEC   ，从而得到 CE BD ，进而证出 EC  平面 1BB D ，由此证得平面 EFC  平面 1BB D ． （2）根据通过辅助线推出线面平行再推出线线平行，再根据“一条和平面不平行的直线与平 面的公共点即为直线与平面的交点”得到 O 点位置，然后计算 1 DO OB 的值． 【详解】（1）证明：在长方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 2AB AD ， E F， 分别为棱 AB ， 1 1A D 的中点，所以 1BB  平面 ABCD ，则 1BB EC ， 在 DCBRt 中， 2tan 2DC AB ADDBC BC AD AD      ， 在 EBCRt 中， tan 21 2 2 2 BC AD ADBEC BE AB AD       ， 所以 DBC BEC   ，因为在 EBCRt 中， 90BEC ECB    ，所以 90DBC ECB     ，所以CE BD ，又因为 1BB BD B  ，所以 EC  平面 1BB D ， 因为 EC  平面 EFC ，所以平面 EFC  平面 1BB D （2） 如图所示：设 EC DB M ，连接 1 1D B ，取 1 1D B 中点记为 N ，过 M 作 MP BN ，且 MP BN P ，则 1MP DB O . 证明：因为 F N、 为 1 1 1 1A D D B、 中点，所以 1 1FN A B 且 1 1 1 2FN A B ；又因为 1 1EB A B ， 且 1 1 1 2EB A B ，所以 FN EB 且 FN EB ，所以四边形 EFNB 为平行四边形，则 NB EF ； 又因为 MP BN ，所以 MP EF ，且 M 平面 EFC ，所以 MP  平面 EFC ；又因为 1MP DB O ，则 1O DB ，O平面 EFC ，即点O 为直线 1DB 与平面 EFC 的交点； 因为 ~BME DMC  ，所以 1 2 BM BE DM DC   ，则 2 3DM DB ；且有上述证明可知：四边 形 MBNP 为平行四边形，所以 1 3NP MB DB  ，所以 1 1 1 5 3 2 6PB DB DB      ， 因为 1~DOM B OP  ， 1 1 4 5 DO DM OB B P   . 【点睛】本题考查线面位置关系的判定与证明，熟练掌握空间中线面位置关系的定义、判定、 几何特征是解答的关键，其中垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型：(1)证 明线面、面面平行，需转化为证明线线平行；(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直；(3) 证明线线垂直，需转化为证明线面垂直． 21.已知函数   2 2 1 8 2 1 x a xf x ax x a x        ， ， ， ，，其中 a R ． （1）当 1a  时，求  f x 的最小值； （2）设函数  f x 恰有两个零点 1 2 x x， ，且 2 1 2x x  ，求 a 的取值范围． 【答案】(1) 14 ； (2)  0,2 【解析】 【分析】 （1）当 1a  时，利用指数函数和二次函数的图象与性质，得到函数的单调性，即可求得函数  f x 的最小值； （2）分段讨论讨论函数在相应的区间内的根的个数，函数   2xg x a  在 1x  时，至多有 一个零点，函数   2 8 2h x ax x a   在 1x  时，可能仅有一个零点，可能有两个零点，分 别求出 a 的取值范围，可得解． 【详解】（1）当 1a  时，函数   2 2 1 1 8 2 1 x xf x x x x        ， ， ， 当 1x  时，   2 1xf x   ，由指数函数的性质，可得函数  f x 在 1， 上为增函数，且    1 1f x   ， ； 当 1x  时，   2 8 2f x x x   ，由二次函数的性质，可得函数  f x 在 1 4， 上为减函数， 在 4  ， 上为增函数， 又由函数    22 8 2 4 14f x x x x      ， 当 4x  时，函数  f x 取得最小值为 14 ； 故当 1a  时，  f x 最小值为 14 ． （2）因为函数  f x 恰有两个零点 1 2 x x， ，所以 （ⅰ）当 1x  时，函数   2xg x a  有一个零点，令   0g x  得 2xa  ， 因为 1x  时， 0 2 2x ≤ ，所以 0 2a  时，函数   2xg x a  有一个零点，设零点为 1  x ， 且 1 1x  ， 此时需函数   2 8 2h x ax x a   在 1x  时也恰有一个零点， 令   0h x  ，即 2 8 2 0ax x a   ，得 2 8 2 xa x   ，令   2 8 2 xm x x   ， 设 3 41 x x  ，           3 4 3 43 4 3 4 2 2 2 2 3 4 3 4 8 28 8 2 2 2 2 x x x xx xm x m x x x x x         ， 因为 3 41 x x  ，所以 2 3 2 0x   ， 2 4 2 0x   ， 3 4 0x x  ， 当 3 41 2x x   时， 3 42 0x x  ，所以    3 4 0m x m x  ，即    3 4m x m x ，所以  m x 在 1, 2 上单调递增； 当 3 42 x x  时， 3 42 0x x  ，所以    3 4 0m x m x  ，即    3 4m x m x ，所以  m x 在 2, 上单调递减； 而当 1x  时， 2 8 8 2 3 x x  ，又 1x  时，   0m x  ，所以要使 2 8 2 xa x   在 1x  时恰有一个 零点，则需 80 3a  ， 要使函数  f x 恰有两个零点 1 2 x x， ，且 2 1 2x x  ，设 2 8 2 xa x   在 1x  时的零点为 2x ， 则需 2 3x  ，而当 3x  时， 2 8 24 22 11 x x   ， 所以当 0 2a  时，函数  f x 恰有两个零点 1 2 x x， ，并且满足 2 1 2x x  ； （ⅱ）若当 1x  时，函数   2xg x a  没有零点，函数   2 8 2h x ax x a   在 1x  恰有两 个零点 1 2 x x， ，且满足 2 1 2x x  ，也符合题意， 而由（ⅰ）可得，要使当 1x  时，函数   2xg x a  没有零点，则 0a  ， 要使函数   2 8 2h x ax x a   在 1x  恰有两个零点 1 2 x x， ，则 8 2 23 a  ，但不能满足 2 1 2x x  ， 所以没有 a 的范围满足当 1x  时，函数   2xg x a  没有零点， 函数   2 8 2h x ax x a   在 1x  恰有两个零点 1 2 x x， ，且满足 2 1 2x x  ， 综上可得：实数 a 的取值范围为 0,2 ． 故得解. 【点睛】本题主要考查了指数函数与二次函数的图象与性质的应用，以及函数与方程，函数 的零点问题的综合应用，属于难度题，关键在于分析分段函数在相应的区间内的单调性，以 及其图像趋势，可运用数形结合方便求解，注意在讨论二次函数的根的情况时的定义域对其 的影响．