专题13+函数的综合应用（检测）-2019年高考数学（理）名师揭秘之一轮总复习
本专题特别注意：
1.函数图象的应用陷阱；
2. 正确建立函数模型陷阱；
3. 函数思想的应用陷阱；
4．数形结合思想的灵活应用陷阱；
5.根据函数图象对参数的范围问题求解；
6.函数与其它知识的综合.
【学习目标】
1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义.
2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.
3.会运用函数的知识和函数思想解决有关函数的综合性问题，培养学生分析问题和解决问题的能力.
【知识要点】
1．三种函数模型的性质
函数性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0，＋∞)上的增减性
单调递增
单调递增
单调递增
增长速度
越来越快
越来越慢
相对稳定
图象的变化
随x增大逐渐表现为与_____轴平行
随x增大逐渐表现为与_____轴平行
随n值变化而不同
值的比较
存在一个x0，当x>x0时，有logax
0，b≠1)．
④对数函数型模型：y＝mlogax＋n(m≠0，a>0，a≠1)．
⑤幂函数型模型：y＝axn＋b(a≠0)．
3．解函数应用题的基本步骤
(1)审题：就是认真读题，仔细审题，确切理解题意，明确问题的实际背景，分析出已知什么，求什么，涉及哪些知识，找出量与量之间的关系，从中提炼出相应的数学问题．
(2)建模：引进数学符号，将问题中变量之间的关系抽象或拟合成一个目标函数，将实际问题转化为函数问题．
(3)求解：利用数学知识和方法，对目标函数进行解答，求出数学结果．
(4)检验：返回到实际问题，检验数学结果是否符合实际，对具体问题进行解答．
考点模拟训练
一、单选题
1．为更好实施乡村振兴战略，加强村民对本村事务的参与和监督，根据《村委会组织法》，某乡镇准备在各村推选村民代表。规定各村每15户推选1人，当全村户数除以15所得的余数大于10时再增加1人。那么，各村可推选的人数与该村户数x之间的函数关系用取整函数（表示不大于x的最大整数）可以表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：由题意利用特殊值结合所给的选项排除错误选项即可求得最终结果.
点睛：本题主要考查新定义知识的应用，排除法解答选择题的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量 (单位：百件)关于每件衣服的利润 (单位：
元)的函数解析式为, 则当该服装厂所获效益最大时，
A. 20 B. 60 C. 80 D. 40
【答案】C
3．某电力公司在工程招标中是根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。分值权重表如下：
总分
技术
商务
报价
100%
50%
10%
40%
技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是68分，若报价每高于基准价1%，则在基准分的基础上扣0.8分，最低得分48分；若报价每低于基准价1%，则在基准分的基础上加0.8分，最高得分为80分。若报价低于基准价15%以上(不含15%)每再低1%，在80分在基础上扣0.8分。在某次招标中，若基准价为1000（万元）。甲、乙两公司综合得分如下表：
公司
技术
商务
报价
甲
80分
90分
分
乙
70分
100分
分
甲公司报价为1100（万元），乙公司的报价为800（万元）则甲，乙公司的综合得分，分别是
A. 73，75.4 B. 73,80 C. 74.6,76 D. 74.6 ,75.4
【答案】A
点睛：对及时定义的题目，关键是读懂题意，正确根据新定义化简或求值，注意与区别原有定义的区别.
4．设函数，其中表示中的最小者．下列说法错误的是
A. 函数为偶函数 B. 若时，有
C. 若时， D. 若时，
【答案】D
【解析】分析：由题意结合新定义的知识首先画出函数f(x)的图像，然后结合图像逐一分析所给的选项即可求得最终结果.
详解：结合新定义的运算绘制函数f(x)的图像如图1中实线部分所示，
观察函数图像可知函数图像关于y轴对称，则函数为偶函数，选项A的说法正确；
对于选项B，
若，则，此时，
若，则，此时，
如图2所示，观察可得，恒有，选项B的说法正确；
对于选项D，
若x=-4，则，，
不满足，选项D的说法错误.
本题选择D选项.
点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
5．若的最小值与（）的最大值相等，则的值为（ ）
A. 1 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】分析：由题意结合函数的单调性分别求得函数的最小值和函数的最大值，据此可得关于实数a的方程，解方程即可求得实数a的值.
点睛：本题主要考查函数的单调性，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6．已知函数在定义域上是单调函数，若对于任意，都有，则的值是（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】 因为函数在定义域上是单调函数，
且，所以为一个常数，则，
令这个常数为，则有，且，
将代入上式可得，解得，
所以，所以，故选B.
7．给出下列三个命题:
命题1：存在奇函数 和偶函数 ,使得函数 是偶函数；
命题2：存在函数、及区间，使得、在上均是增函数, 但在上是减函数；
命题3：存在函数、（定义域均为），使得、在 处均取到最大值，但在处取到最小值.
那么真命题的个数是 ( )．
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【答案】D
8．已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则等于（ ）
A. B. C. -1 D. 1
【答案】B
【解析】由函数满足知的周期为4，
又是定义在上的奇函数，故，
.
本题选择B选项.
9．求“方程的解”有如下解题思路：设函数，则函数在上单调递增，且，所以原方程有唯一解.类比上述解题思路，方程的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】 设，则在为单调递增函数，
又，所以原方程的解集为，故选D.
10．已知函数满足如下条件:①任意,有成立;②当时, ;③任意,有成立.则实数
的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】A
任意，有成立
，解得
故选
点睛：本题主要考查的知识点是函数的图象及其应用。化简在上的解析式，然后根据的奇偶性作出函数的图象，根据条件得出不等式解出即可得到答案，考查了学生数形结合的思想，也是解题的关键。
11．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由题意得在上恒成立，即当时，函数的图象不在图象的上方，由图知：
点睛：本题考查了函数在其定义域内值域的问题，两个函数的恒成立问题转化为最值问题，属于中档题；两个函数的恒成立问题转化为最值问题，此题等价于函数的图象不在图象的上方，对数函数另一方面要注意分类对底数讨论，即可求解.
12．设，，均为实数，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 在同一坐标系，作出函数的图象，
如图所示，
由图象可知，故选A．
13．已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
14．已知不等式在上恒成立，且函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】不等式 在上恒成立，
令,，
由图可知，或，即；
又在上单调递增，故在上恒成立，
，
综上，.
故选D.
点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.
15．已知函数，则（ ）
A. 函数在区间上单调递增
B. 函数在区间上单调递减
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数的图象关于点对称
【答案】C
16．定义在实数集上的函数的图像是连续不断的，若对任意的实数 ，存在常数 使得恒成立，则称是一个“关于函数”，下列“关于函数”的结论正确的是（ ）
A. 不是 “关于函数” B. 是一个“关于函数”
C. “关于函数”至少有一个零点 D. 不是一个“关于函数”
【答案】C
【解析】对于A：f（x）=2时，令t=－1，可知f（x－1）=－（－1）f（x）=f（x）=2．故该函数是一个“关于－1函数”，所以A错；
故答案为：C。
点睛：本题是一个新定义题目，要注意给的定义式是一个恒等式，需要在解题时引起注意．对于新定义的题目，一般不会考查的太困难，都是根据题意中所给的新概念，解决或者判断选项中的问题。注意，活学活用。
17．已知函数有唯一零点，则负实数（ ）
A. B. C. -3 D. -2
【答案】C
【解析】注意到直线是和的对称轴，故是函数的对称轴，若函数有唯一零点，零点必在处取得. ，解得.
18．已知图①中的图象对应的函数为，则图②中的图象对应的函数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
本题选择B选项.
二、解答题
19．如图，某小区内有两条互相垂直的道路与，平面直角坐标系的第一象限有一块空地，其边界是函数的图象，前一段曲线是函数图象的一部分，后一段是一条线段.测得到的距离为8米，到的距离为16米，长为20米.
（1）求函数的解析式；
（2）现要在此地建一个社区活动中心，平面图为梯形（其中，为两底边），问：梯形的高为多少米时，该社区活动中心的占地面积最大，并求出最大面积.
【答案】（1）；（2）当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米
【解析】分析：（1）以代入，得，再由，两点可得直线，从而利用分段函数表示即可；
（2）设梯形的高为t米，则，进而得，梯形的面积，求导利用函数单调性求解最值即可.
（2）设梯形的高为t米，则，且，，
所以，
所以梯形的面积，
由，
令，得，列表如下：
＋
0
－
↗
极大值
↘
所以当时，取得极大值，即为最大值为.
答：当梯形的高为米时，活动中心的占地面积最大，最大面积为平方米.
点睛：本题主要考查了分段函数的额解析式，函数的实际应用问题，属于中档题.
20．某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时，可以一次性额外购买几次维修服务，每次维修服务费用200元，另外实际维修一次还需向维修人员支付小费，小费每次50元.在机器使用期间，如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数，则每维修一次需支付维修服务费用500元，无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数，得下面统计表：
维修次数
8
9
10
11
12
频数
10
20
30
30
10
记x表示1台机器在三年使用期内的维修次数，y表示1台机器在维修上所需的费用（单位：元），表示购机的同时购买的维修服务次数.
（1）若=10，求y与x的函数解析式；
（2）若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8，求n的最小值；
（3）假设这100台机器在购机的同时每台都购买10次维修服务，或每台都购买11次维修服务，分别计算这100台机器在维修上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买10次还是11次维修服务？
【答案】（1） ；（2）见解析；（3）10次.
【解析】分析：（1）根据题意写出分段函数即可；（2）计算出“维修次数不大于10或11次”的频率，再比较得到答案；（3）利用表格得到费用的所有可能取值及相应频率，再利用平均数公式进行求解，再比较两个平均数即可．
（3）若每台都购买10次维修服务，则有下表：
维修次数x
8
9
10
11
12
频数
10
20
30
30
10
费用y
2400
2450
2500
3000
3500
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
2730（元）
若每台都购买11次维修服务，则有下表：
维修次数x
8
9
10
11
12
频数
10
20
30
30
10
费用y
2600
2650
2700
2750
3250
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
2750（元）
因为，所以购买1台机器的同时应购买10次维修服务．
点睛：本题考查数学建模思想、变量的平均值等知识，意在考查学生的数学应用能力和基本计算能力．
21．某淘宝商家经销某种商品，已知该商品的进价为6元/件，物流费、管理费共为m元/件（），根据成本测算及有关部门的规定，每件该商品的售价
（单位：元）必须满足．市场调查显示，当每件售价为元（）时，该商品一年的销售量预计为万件．
（1） 求商家经销该商品一年所得的利润P（万元）与每件商品的售价的函数关系式；
（2） 当为多少元时，该商家一年的利润P最大，并求出P的最大值
【答案】(1) .
(2) .
【解析】分析：（1）根据总利润等于每件的利润乘以总数可得解；
（2）函数求导，利用函数的单调性求最值即可.
ⅱ）当时，，
此时即在上递增，在上递减，
综上，'
点睛：本题考查了导数在实际问题中的应用，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值等问题，试题属于中档试题，其中正确读懂题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力．
22．近年来，“共享单车”的出现为市民 “绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入（单位：万元）满足，乙城市收益Q与投入（单位：万元）满足，设甲城市的投入为（单位：万元），两个城市的总收益为（单位：万元）．
（1）当甲城市投资50万元时，求此时公司总收益；
（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？
【答案】（1）43.5（万元）；（2）当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元.
【解析】试题分析：（1）当时，此时甲城市投资万元，乙城市投资万元，即可得到总收益；
（2）由题知，甲城市投资万元，乙城市投资万元，得出函数的解析式，进而可求解最大值总收益．
所以
当，即万元时，的最大值为44万元，
所以当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．
点睛：本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，对于函数的应用问题：（1）函数模型的关键是找到一个影响求解目标函数的变量，以这个变量为自变量表达其他需要的量，综合各种条件建立数学模型；（2）在实际问题的函数模型中要特别注意函数的定义域，它是实际问题决定的，不是由建立的函数解析式决定的．（3）利用数学方法得出函数模型的数学结果，再将得到的数学结果转译到实际问题中作出答案．
23．某代卖店代售的某种快餐，深受广大消费者喜爱，该种快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售．如果当天19:00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完．
（1）若这个代卖店每天定制15份该种快餐，求该种类型快餐当天的利润y（单位：元）关于当天需求量x（单位：份，）的函数解析式；
（2）该代卖点记录了一个月30天的每天19:00之前的销售数量该种快餐日需求量，统计数据如下：
日需求量
12
13
14
15
16
17
天数
4
5
6
8
4
3
以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，假设这个代卖店在这一个月内每天都定制15份该种快餐．
（i）求该种快餐当天的利润不少于52元的概率．
（ii）求这一个月该种快餐的日利润的平均数（精确到0.1）．
【答案】（1）；（2）（i）0.7；（ii）53.5
【解析】分析：（1）根据题意结合分段函数的知识可得结论．（2）由（1）及题意先得到利润及对应的天数的统计表．（i）由表可得利润不少于52元包括利润为53元、60元两种情况，然后根据古典概型求解．（ii）根据平均数的定义求解．
（2）由题意可得该种快餐的利润情况如下表：
天数
4
5
6
15
利润
39
46
53
60
（i）该种快餐当天的利润不少于52元的概率为．
（ii）这一个月该种快餐的日利润的平均数为（元）．
点睛：本题以实际问题为载体考查概率统计的有关问题，难度中等，解题的难点是对题意的理解，因此解答类似问题时要认真读懂、理解题意，然后按照要求结合相关知识进行求解．
24．日前，扬州下达了2018年城市建设和环境提升重点工程项目计划，其中将对一块以O为圆心，R（R为常数，单位：米）为半径的半圆形荒地进行治理改造，如图所示，△OBD区域用于儿童乐园出租，弓形BCD区域（阴影部分）种植草坪，其余区域用于种植观赏植物．已知种植草坪和观赏植物的成本分别是每平方米5元和55元，儿童乐园出租的利润是每平方米95元．
（1）设∠BOD=θ（单位：弧度），用θ表示弓形BCD的面积S弓=f（θ）；
（2）如果市规划局邀请你规划这块土地，如何设计∠BOD的大小才能使总利润最大？并求出该最大值．
【答案】(1)见解析;(2)当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50π）.
【解析】分析：根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，即可求解弓形的面积；
（2）由题意列出函数的关系式，利用导数判断函数的单调性，即可求解最大值．
（2）设总利润为y元，儿童乐园利润为y1元，种植草坪成本为y2元，种植观赏植物成本为y3元；
则y1=R2sinθ•95，y2=R2（θ﹣sinθ）•5，y3=R2（π﹣θ）•55，
∴y=y1﹣y2﹣y3=R2（100sinθ+50θ﹣55π），
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润取最大值R2（50﹣π）
点睛：本题考查了导数在实际问题中的应用，解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的最值等问题，试题属于中档试题，其中正确读懂题意，列出函数关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的的能力．
25．某公司为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销，经调查，每年投入广告费t百万元，可增加销售额约为百万元.
（Ⅰ）若该公司将一年的广告费控制在4百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此增加的收益最大？
（Ⅱ）现该公司准备共投入5百万元，分别用于广告促销和技术改造，经预测，每投入技术改造费百万元，可增加的销售额约为百万元，请设计一个资金分配方案，使该公司由此增加的收益最大.
（注：收益=销售额-投入，这里除了广告费和技术改造费，不考虑其他的投入）
【答案】（1）投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.（2）4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大
【解析】分析：（Ⅰ）先写出收益f(t)的解析式，再利用二次函数的图像和性质求最大值和此时t 的值. （Ⅱ）设由此增加的收益是g(x)百万元,再写出g(x)的解析式，再利用导数求函数的最值，即得资金分配方案.
详解：（Ⅰ）设投入t百万元的广告费后增加的收益为f(t)百万元，
则由，
∴当t=3时，f(t)取得最大值9，即投入3百万元的广告费时，该公司由此增加的收益最大.
（Ⅱ）用于技术改造的资金为x百万元，则用于广告促销的资金为(5-x)百万元，设由此增加的收益是g(x)百万元.
则.
.
则当时，；当时，.
∴当x=4时，g(x)取得最大值.
即4百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，该公司由此增加的收益最大.
点睛：对于最值问题，常用的是函数的思想.先求出函数的解析式，再求出函数的定义域，再选择方法求函数的最值.函数的思想是高中数学的重要思想，要理解掌握灵活运用.
26．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆），需另投入成本万元，且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.
（1）求出2018年的利润（万元）关于年产量
（百辆）的函数关系式；（利润=销售额-成本）
（2）2018年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】（1）；（2）当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.
【解析】试题分析：（1）利用给定的公式“利润=销售额-成本”计算利润，因为成本函数是分段函数，故需要分类计算得到利润函数为.
（2）当时，，这是二次函数，其最大值为；当时，，最大值为，因此年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.
（2）当时，，
∴当时，；
当时， ，
当且仅当，即时，；
∴当时，即年生产百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为万元.
27．秸秆还田是当今世界上普通重视的一项培肥地力的增产措施，在杜绝了秸秆焚烧所造成的大气污染的同时还有增肥增产作用.某农机户为了达到在收割的同时让秸秆还田，花137600元购买了一台新型联合收割机，每年用于收割可以收入6万元（已减去所用柴油费）；该收割机每年都要定期进行维修保养，第一年由厂方免费维修保养，第二年及以后由该农机户付费维修保养，所付费用（元）与使用年数的关系为：（，且），已知第二年付费1800元，第五年付费6000元.
（Ⅰ）试求出该农机户用于维修保养的费用（元）与使用年数的函数关系；
（Ⅱ）这台收割机使用多少年，可使平均收益最大？（收益=收入-维修保养费用-购买机械费用）
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）14.
【解析】试题分析：根据第二年付费元，第五年付费元可得关于的方程组，解出即可得到函数关系记使用年，年均收益为（元），利用基本不等式求最值即可
解析：（Ⅰ）依题意，当，；，，
即，解得，
所以.
所以这台收割机使用14年，可使年均收益最大.
28．2017年，在国家创新驱动战略下，北斗系统作为一项国家高科技工程，一个开放型的创新平台，1400多个北斗基站遍布全国，上万台设备组成星地“一张网”，国内定位精度全部达到亚米级，部分地区达到分米级，最高精度甚至可以达到厘米或毫米级。最近北斗三号工程耗资a元建成一大型设备，已知这台设备维修和消耗费用第一年为b元，以后每年增加b元（是常数），用t表示设备使用的年数，记设备年平均维修和消耗费用为y，即y=(设备单价+设备维修和消耗费用）÷设备使用的年数．
（1）求关于的函数关系式；
（2）当， 时，求这种设备的最佳更新年限．
【答案】(1) ;(2) 这种设备的最佳更新年限为15年．
【解析】试题分析：（1）由题意，易发现每年的维修和消耗费用为等差数列，可根据等差数列前项和公式计算，从而问题可得解；（2）由题意，将的值代入（1）的关系式，得到关于的函数关系，再由基本不等式求出其最值，从而问题得于解决.
29．我国加入WTO时，根据达成的协议，某产品的市场供应量P与市场价格x的关系近似满足P(x)＝2(1－kt)(x－b)2(其中t为关锐的税率，且t∈[0， )，x为市场价格，b、k为正常数)．当t＝时的市场供应量曲线如图所示．
(1)根据图象求b、k的值；
(2)记市场需求量为Q，它近似满足Q(x)＝，当P＝Q时的市场价格称为市场平衡价格，为使市场平衡价格不低于9元，求税率的最小值．
【答案】(1) (2) 税率的最小值为.
【解析】试题分析：（1）根据图象可知解方程组即可求得， ；（2）能根据题意构造函数，并能在定义域内求函数的最小值．
试题解析：(1)由图象知
即
解得
30．某矩形花园，,，是的中点，在该花园中有一花圃其形状是以为直角顶点的内接Rt△，其中E、F分别落在线段和线段上如图．分别记为，的周长为，的面积为。
(1)试求的取值范围；
(2)为何值时的值为最小；并求的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】试题分析：（1）分别将HE,HF的长度求出来，角的范围求出来，再求出S的取值范围；（2）将直角的周长表示出来，令 则，化简的表达式，求出的最小值。
(2)由，在中有
令 则
其中
…
且
当 即时的周长最小，最小值为
点睛：本题主要考查了在实际问题中建立三角函数模型，在解答过程中，根据在上，在上. 得出，容易被忽略，应引起大家足够的重视。
31．共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用，
据市场分析，每辆单车的营运累计利润y（单位：元）与营运天数x满足函数关系
式.
（1）要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围；
（2）每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润的值最大？
【答案】(1) 40到80天之间(2) 每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天
所以每辆单车营运400天时，才能使每天的平均营运利润最大，最大为20元每天。
32．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为km．
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= (rad)，将表示成的函数；②设OP (km) ，将表示成的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．
【答案】（1）①
②
（2）当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为 (km)时，铺设的排污管道总长度最短．
【解析】试题分析：（1）第（1）问第①问，先根据已知把表示成的函数，再利用三角恒等变换的知识化简函数. 第②问，直接利用两点间的距离公式把表示成的函数.(2)第（2）问，先对函数求导，再求出函数的单调区间，最后根据单调区间得到函数的最小值.
②若OP= (km) ，则OQ＝10－，
所以OA =OB=
所求函数关系式为
点睛：本题的难点在第（2）问，同学们利用导数求三角函数 的单调性和单调区间的频率不是很高，其实，和一般的函数的原理步骤都是一样的，所以大家按照导数求函数单调区间的常规步骤解答即可.
33．已知函数．
（1）当时，恒成立，求实数m的取值范围；
（2）是否存在整数a、b（其中a、b是常数，且a＜b），使得关于x的不等式的解集为？若存在，求出a、b的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）
【解析】分析：（1）函数的对称轴为，分三种条例，即可求解实数的取值范围．
（2）假设存在整数，使得关于的不等式的解集为，即的解集为，可得，即的两个实数根为，即可求解．
详解：（1）函数的对称轴为．
①，即，在上为增函数，的最小值为，即，；
②，即，在上的最小值为，即，，∴无解．
③，即，在上为减函数，的最小值为，即，，∴无解．
综上，．
点睛：本题主要考查了一元二次函数的图象与性质，“三个二次”的关系，解答中熟记二次函数的图象与性质，以及“三个二次”之间的关系是解答的关键，着重考查了分离讨论的思想方法，以及分析问题和解答问题的能力，试题属于有一定难度，属于难题．
三、填空题
34．如图，某机器人的运动轨道是边长为1米的正三角形ABC，开机后它从A点出发，沿轨道先逆时针运动再顺时针运动，每运动6米改变一次运动方向（假设按此方式无限运动下去），运动过程中随时记录逆时针运动的总路程s1和顺时针运动的总路程s2，x为该机器人的“运动状态参数”，规定：逆时针运动时x＝s1，顺时针运动时x＝-s2，机器人到A点的距离d与x满足函数关系d＝f（x），现有如下结论：
①f（x）的值域为［0，1］；
②f（x）是以3为周期的函数；
③f（x）是定义在R上的奇函数；
④f（x）在区间［－3，－2］上单调递增.
其中正确的有_________（写出所有正确结论的编号）.
【答案】①②④
(3)当x∈(2,3]时,点P在CA上,f(x)=3−x，
又∵x∈[−3,0)时，点P作顺时针运动，函数时求解方法同上，
(1)当x∈[−1,0),点P在AC上,f(x)=−x；
(2)当x∈[−2,−1),点P在BC上,在△ACP中运用余弦定理；
(3)当x∈[−3,−2)时,点P在BA上,f(x)=3−x，
根据以上分析,画出函数f(x)的图象如图，显然：
①正确；②正确；③错误，该函数为偶函数；④正确.
故填：①②④.
点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
35．对，，使得不等式成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】分析：根据二次函数的性质计算的最小值，从而得出与之间的关系，分类讨论得出，求出右侧函数的最大值，即可得出的范围.
点睛：本题考查了函数的基本性质的应用，函数存在性问题与函数最值的关系，其中解答中熟记二次函数的性质和函数存在性问题与函数最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.
36．已知函数是定义在上的偶函数，为奇函数，时， ，则在区间(4，5)内满足方程的实数的值为______．
【答案】
【解析】∵函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(x+1)为奇函数，
∴f(-x)=f(x)，f(-x+1)=-f(x+1)，
∴f(2+x)=-f(-x)=-f(x)，
∴f(x+4)=f(x)，函数的周期为，
由题意可得：，则，
当时，，由可得，
据此可得原方程的解为：.
37．若对任意的，存在实数，使 恒成立，则实数的最大值为__________．
【答案】9
【解析】若对任意的， 恒成立，可得：
恒成立，
令，，
原问题等价于：，结合对勾函数的性质分类讨论：
(1)当时，，，
原问题等价于存在实数满足：，
故，解得：，则此时；
当时，，
原问题等价于存在实数满足：，
故，解得：，则此时；
综上可得：实数的最大值为.
点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.
38．下列命题正确的是__________．（写出所有正确的命题的序号）
①若奇函数的周期为4，则函数的图象关于对称；
②如，则；
③函数是奇函数；
④存在唯一的实数使为奇函数．
【答案】①③
则，说法②错误；
函数有意义，则： ，解得： ，
函数的定义域关于坐标原点对称，
且，
即函数是奇函数，说法③正确；
函数为奇函数，需满足： 恒成立，
即： 恒成立，
则： ，
经检验时，函数为奇函数，说法④错误.
综上可得：所给的命题中，正确的是①③.
39．若函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有； ②对于定义域上的任意，当时，恒有；则称函数为“理想函数”．下列四个函数中：① ；② ； ③；④ ，能被称为“理想函数”的有_____（填相应的序号）．
【答案】④
点睛：本题主要考查了抽象函数的表达式反映的函数的基本性质，对新定义的函数理解能力，其中对于函数的奇偶性、函数的单调性的定义是基本初等函数的单调性和奇偶性的主要判定方法，同时对于分段函数的单调性和奇偶性可以利用数形结合的方法加以判定，考查了分析问题和解答问题的能力．
40．已知函数， ，若两函数与的图像有三个不同的公共点，则的范围为__________．
【答案】
点睛：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.
41．已知函数，则
的值为__________．
【答案】3027
42．已知函数和同时满足以下两个条件：
（1）对于任意实数，都有或；
（2）总存在，使成立．
则实数的取值范围是 __________．
【答案】
【解析】由⑴， ， ，
若，当， ， ，与题设矛盾，故
， ，或
可知，
由⑵， ，此时要存在x使得大于
，解得，于是
点睛：本题主要考查了二次函数以及其性质，还考查了不等式的存在性和恒成立的问题。注意对的讨论，可分为， ，结合二次函数的图象和性质，以及二次不等式的解法即可得到实数的取值范围。
方法总结：1.函数应用问题解题的基本思路是先把实际问题抽象为一个函数问题，再利用函数、方程、不等式等相关知识解决问题，解题的基本步骤是：审题、建模、求解、回验四步.
2.解应用题应重视“检验”，即把数学结果转化为与实际问题一致的结论.不一定要写“答”字，但必须对实际问题作出说明.
3.利用函数求最值是函数应用题中的常见题型，其方法是，先建立目标函数，同时指出函数的定义域，然后根据函数式的结构特点，采用适当的方法求出最值或取得最值的条件.
4.分段函数应用题是近几年高考的热点问题，凡是自变量取值有限制条件，而且在不同的区间上函数取值方法不同时，一般要使用分段函数.使用分段函数必须注意区间端点值，要注意凡定义域内的点要做到“不重不漏”.端点放在哪个区间要视实际问题而定，若在相邻区间上均可定义时，一般放在左端点.
5.与函数有关的应用题，常涉及物价、路程、产值、利润、储蓄、人口、角度、面积、体积、造价等方面的实际问题，熟悉相关生活常识和计算公式，是解题的基本要求，因为它们一般作隐含条件，一定要注意.
6.拟合函数的类型一般由题设定，否则应由变量的相关数据描述作图，再根据图象特征提出假设.
7.函数的三要素中，对应法则是重点和关键，要特别重视；定义域是易错点，要特别注意；值域和最值是函数的一个整体性质，求解方法灵活，综合性强，深受命题者的青睐，要熟练.
8.函数图象可以全面地反映函数的性质，其中画图、识图、用图是考查数学素质和数学能力的重要途径，为此，必须掌握画图的基本方法(描点法与变换法)，熟悉基本初等函数的图象，并会灵活应用.
9.函数的基本性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)中，单调性是重中之重，也是高考的重点和热点.
10.熟练掌握一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数和对数函数的性质、图象和特点，是应用函数思想解题的基础，善于挖掘隐含条件，构造出恰当的函数解析式并能合理地运用函数图象和性质是应用函数思想解题的关键.
11.函数知识可深可浅，在高考中常出压轴题，因此炒得很热.但必须注意万变不离其“宗”，这个“宗”就是函数基础知识.因此，要注意分寸，要把熟练基础知识放在首位，同时重视基础知识的灵活应用.
12.函数中的复合函数问题、分段函数问题、分类讨论问题、探索性问题、应用问题和综合问题是高考的热点问题，应适当加强训练.
