数学(理)卷·2019届山西省康杰中学高二下学期期中考试(2018-04)

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数学(理)卷·2019届山西省康杰中学高二下学期期中考试(2018-04)

康杰中学2017—2018学年度第二学期期中考试 高二数学(理)试题 ‎ 2018.4‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.是虚数单位,=( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 设若,则=( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 用反证法证明命题:“若,且,则中至少有一个负数”的假设为( )‎ ‎ A. 中至少有一个正数 B. 全都为正数 C. 全都为非负数 D. 中至多有一个负数 ‎4. 已知为函数的极小值点,则=( )‎ ‎ A. -9 B. -2 C. 4 D. 2‎ ‎5. 函数在[0,2]上的最大值是( )‎ ‎ A. B. C. 0 D. ‎ ‎6. 观察,由归纳推理可得:若定义在R上的函数满足,记为的导函数,则=( )‎ ‎ A. B. - C. D. -‎ ‎7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁4名大学生安排到该市三所不同的学校任教,每校至少安排一人,其中甲、乙不能安排在同一学校,则不同的安排方法种数为( )‎ ‎ A. 18 B. 24 C. 30 D. 36‎ ‎8. 直线过抛物线的焦点且与轴垂直,则与C所围成的图形的面积等于( )‎ ‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎9. 若函数在上的最大值为,则=( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎10. 若数列是等差数列,,则数列也为等差数列,类比这一性质可知,若是正项等比数列,且也是等比数列,则的表达式应为( )‎ n ‎ A. B. ‎ n C. D. ‎ ‎11.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取它的项:第一次取1;第二次取2个连续偶数2,4;第三次取3个连续奇数5,7,9;第四次取4个连续偶数10,12,14,16;第五次取5个连续奇数17,19,21,23,25,按此规律取下去,得到一个子数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19…,则在这个子数中第2014个数是( )‎ ‎ A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 3989‎ ‎12.若函数在区间(0,2)内有且仅有一个极值点,则的取值范围( )‎ ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13. 复数,其中为虚数单位,则的实部为 .‎ ‎14. 从8名女生和4名男生中抽取3名学生参加某娱乐节目,若按性别进行分层抽样,则不同的抽取方法数为 .‎ ‎15. 设点P、Q分别是曲线和直线上的动点,则P、Q两点间距离的最小值为 .‎ ‎16. 有粒球,任意将它们分成两堆,求出两堆球的乘积,再将其中一堆任意分成两堆,求出这两堆球的乘积,如此下去,每次任意将其中一堆分成两堆,求出这两堆球的乘积,直到每堆球都不能再分为止,记所有乘积之和为.例如对4粒有如下两种分解:(4)→(1,3) →(1,1,2) →(1,1,1,1),此时=1×3+1×2+1×1=6; (4)→(2,2) →(1,1,2) →(1,1,1,1),此时=2×2+1×1+1×1=6.于是发现为定值,请你研究的规律,归纳= .‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 设z1是虚数,z2=z1+是实数,且-1≤z2≤1.‎ ‎(1)求|z1|的值以及z1的实部的取值范围.‎ ‎(2)若ω=,求证:ω为纯虚数.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知曲线C:,点,求过P的切线与C围成的图形的面积.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 已知.证明:‎ ‎(1);‎ ‎(2).‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数,‎ ‎(1)当时,在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;‎ ‎(2)当m=2时,若函数k(x)=f(x)-h(x)在区间[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 是否存在常数,使得等式对一切正整数都成立?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知函数 ‎(1)求函数的单调区间和极值;‎ ‎(2)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,;‎ ‎(3)如果,且,证明:.‎ 高二理科数学答案 ‎1-12 BBCDA DCCAD AB ‎13、5 14、112 15、 16、‎ ‎17.解:(1)设z1=a+bi(a,b∈R且b≠0),则z2=z1+=a+bi+=+i.‎ 因为z2是实数,b≠0,于是有a2+b2=1,即|z1|=1,................4分 还可得z2=2a.由-1≤z2≤1,得-1≤2a≤1,解得-≤a≤,即z1的实部的取值范围是. ...................7分 ‎(2)ω=== ‎=-i.‎ 因为a∈,b≠0,所以ω为纯虚数. ...........10分 ‎18.解:设切点,则 切线:过P()‎ ‎∴ ‎ 即 ‎∴ 即 A(0,1)‎ 故 即 ‎ ‎∴ B()‎ ‎∴ ‎ ‎19.证明.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .......6分 ‎(2)因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ...........12分 ‎20.【解】 (1)由f(x)≥h(x)在(1,+∞)上恒成立,‎ 得m≤在(1,+∞)上恒成立,‎ 令g(x)=,则g′(x)=,故g′(e)=0,‎ 当x∈(1,e)时,g′(x)<0;‎ x∈(e,+∞)时,g′(x)>0.‎ 故g(x)在(1,e)上单调递减,在(e,+∞)上单调递增,‎ 故当x=e时,g(x)的最小值为g(e)=e.‎ 所以m≤e. .......6分 ‎(2)由已知可知k(x)=x-2ln x-a,函数k(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,相当于函数φ(x)=x-2ln x与直线y=a有两个不同的交点,‎ φ′(x)=1-=,故φ′(2)=0,‎ 所以当x∈[1,2)时,φ′(x)<0,所以φ(x)单调递减,‎ 当x∈(2,3]时,φ′(x)>0,所以φ(x)单调递增.‎ 所以φ(1)=1,φ(3)=3-2ln 3,φ(2)=2-2ln 2,‎ 且φ(1)>φ(3)>φ(2)>0,‎ 所以2-2ln 21时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在(1,+∞)是增函数。‎ 又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).‎ Ⅲ)证明:(1)‎ 若......8分 ‎(2)若 根据(1)(2)得 由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)上为增函数,所以>,即>2. .....12分
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