高考文科数学复习备课课件：第六节　概率与统计的综合问题

高考文科数学复习备课课件：第六节　概率与统计的综合问题

文数 课标版 第六节　概率与统计的综合问题 考点一　茎叶图与概率的综合问题 典例1 　甲、乙两位学生参加某项竞赛培训,在培训期间,他们参加的5 次预赛成绩的茎叶图记录如下:   (1)从甲、乙两人的成绩中各随机抽取一个,求甲的成绩比乙的成绩高 的概率; (2)现要从中选派一人参加该项竞赛,从统计学的角度考虑,你认为选派 哪位学生参加合适?说明理由. 考点突破 解析 　(1)记甲被抽到的成绩为 x ,乙被抽到的成绩为 y ,用数对( x , y )表示 基本事件: (82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82,85),(82,95),(82,75),(82,80),(82,90),(82, 85),(79,95),(79,75),(79,80),(79,90),(79,85),(95,95),(95,75),(95,80),(95,90), (95,85),(87,95),(87,75),(87,80),(87,90),(87,85), 基本事件总数 n =25, 记“甲的成绩比乙的成绩高”为事件 A ,事件 A 包含的基本事件如下: (82,75),(82,80),(82,75),(82,80),(79,75),(95,75),(95,80),(95,90),(95,85), (87,75),(87,80),(87,85), 事件 A 包含的基本事件数 m =12, 所以 P ( A )=   =   . (2)派甲参赛比较合适.理由如下:   =85,   =85,   =31.6,   =50, 因为   =   ,   <   , 所以甲的成绩较稳定, 故派甲参赛比较合适. 规律总结 解决此类问题的关键是根据茎叶图正确读取相关数据. 1-1     (2016湖南长沙模拟)空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是 定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级:0~50 为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为 重度污染;大于300为严重污染.一环保人士记录去年某地某月10天的 AQI的茎叶图如图.   (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI ≤ 100)的天数;(按这个 月总共30天计算) (2)若从样本中的空气质量不佳(AQI>100)的这些天中,随机抽取2天深 入分析各种污染指标,求这2天的空气质量等级恰好不同的概率. 解析 　(1)从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1,空气质量 良的天数为3, 故该样本中空气质量优良的频率为   =   , 估计该月空气质量优良的频率为   , 从而估计该月空气质量优良的天数为30 ×   =12. (2)该样本中轻度污染共4天,分别记为 a 1 , a 2 , a 3 , a 4 ;中度污染1天,记为 b ;重 度污染1天,记为 c ,从中随机抽取2天的所有可能结果为:( a 1 , a 2 ),( a 1 , a 3 ),( a 1 , a 4 ),( a 1 , b ),( a 1 , c ),( a 2 , a 3 ),( a 2 , a 4 ),( a 2 , b ),( a 2 , c ),( a 3 , a 4 ),( a 3 , b ),( a 3 , c ),( a 4 , b ),( a 4 , c ), ( b , c ),共15个. 其中空气质量等级恰好不同的结果有( a 1 , b ),( a 1 , c ),( a 2 , b ),( a 2 , c ),( a 3 , b ), ( a 3 , c ),( a 4 , b ),( a 4 , c ),( b , c ),共9个. 所以这2天的空气质量等级恰好不同的概率为   =   . 考点二　频率分布直方图与概率的综合问题 典例2     (2015课标Ⅱ,18,12分)某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B两地区分别随机调查了40个用户,根据用户对产品的满意度评分,得 到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分 的频数分布表.   B地区用户满意度评分的频数分布表 满意度评分分组 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 频　数 2 8 14 10 6 (1)作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过直方图比 较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值,给出 结论即可); (2)根据用户满意度评分,将用户的满意度分为三个等级: 满意度评分 低于70分 70分到89分 不低于90分 满意度等级 不满意 满意 非常满意 　　估计哪个地区用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由. 解析 　(1)   通过两地区用户满意度评分的频率分布直方图可以看出,B地区用户满 意度评分的平均值高于A地区用户满意度评分的平均值;B地区用户满 意度评分比较集中,而A地区用户满意度评分比较分散. (2)A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 记 C A 表示事件:“A地区用户的满意度等级为不满意”; C B 表示事件:“B 地区用户的满意度等级为不满意”. 由直方图得 P ( C A )的估计值为(0.01+0.02+0.03) × 10=0.6, P ( C B )的估计值为(0.005+0.02) × 10=0.25. 所以A地区用户的满意度等级为不满意的概率大. 规律总结 概率统计解答题的主要依托点是统计图表,正确认识和使用这些图表是 解决问题的关键. 2-1 　从某学校高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高,测量发 现被测学生身高全部介于155 cm和195 cm之间,将测量结果按如下方式 分成八组:第一组[155,160)、第二组[160,165)、 …… 、第八组[190,195], 下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分,已知第一组与 第八组人数相同,第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列.   (1)估计这所学校高三年级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人 数; (2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图; (3)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取2名男生,记他 们的身高分别为 x , y ,求满足| x - y | ≤ 5的概率. 解析 　(1)由频率分布直方图知,前五组频率之和为(0.008+0.016+0.04+ 0.04+0.06) × 5=0.82, 则后三组频率之和为 1-0.82=0.18, 故这所学校高三年级全体男生身高在 180 cm 以上 ( 含 180 cm) 的人数约 为 800 × 0.18=144. (2)由频率分布直方图知第八组频率为0.008 × 5=0.04,人数为0.04 × 50=2, 由(1)知后三组人数之和为0.18 × 50=9, 设第六组人数为 m ,则第七组人数为9-2- m =7- m , 又 m +2=2(7- m ),所以 m =4, 即第六组人数为4,第七组人数为3,频率分别为0.08,0.06. 频率除以组距分别等于0.016,0.012,频率分布直方图如图所示. (3)由(2)知身高在[180,185)(单位:cm)内的人数为4,设为 a , b , c , d ,身高在[190, 195](单位:cm)内的人数为2,设为 A , B . 若 x , y ∈[180,185)时,有 ab , ac , ad , bc , bd , cd ,共6种情况; 若 x , y ∈[190,195]时,有 AB ,共1种情况; 若 x , y 分别在[180,185),[190,195]内时,有 aA , bA , cA , dA , aB , bB , cB , dB ,共8种 情况. 所以基本事件的总数为6+8+1=15. 事件| x - y | ≤ 5所包含的基本事件有6+1=7个, 故 P (| x - y | ≤ 5)=   . 考点三　统计案例与概率的综合问题 典例3     (2016湖北武汉模拟)随机抽取某城市一年内100天的空气质量 指数(AQI)的监测数据,结果统计如下表: AQI [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,300] >300 空气质量 优 良 轻度污染 中度污染 重度污染 严重污染 天数 6 14 18 27 20 15 (1)已知某企业每天的经济损失 y (单位:元)与空气质量指数 x 的关系 式为 y =   若在本年内随机抽取一天,试估计这一天的 经济损失超过400元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季,其中有8天为严重污染.根 据提供的统计数据,完成下面的2 × 2列联表,并判断是否有95%的把握认 为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”. 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 非供暖季 合计 100 附: K 2 =   P ( K 2 ≥ k 0 ) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 解析　 (1)记“在本年内随机抽取一天,该天的经济损失超过400元”为 事件 A . 由 y >400,得 x >200. 由统计数据可知,空气质量指数大于200的频数为35, 所以 P ( A )=   =   . (2)根据题设中的数据得到如下2 × 2列联表: 非严重污染 严重污染 合计 供暖季 22 8 30 非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 将2 × 2列联表中的数据代入公式计算,得 K 2 =   ≈ 4.575. 因为4.575>3.841, 所以有95%的把握认为“该城市本年的空气严重污染与供暖有关”. 规律总结 运用独立性检验的思想,可以考察两个分类变量是否有关系,并且能精 确地给出这种判断的可靠程度,此类题在高考中常以选择题或解答题中 的某一步的形式出现,并常与频数分布表和频率分布直方图有关知识相 结合,难度中等.求解时,一般按以下三个步骤来完成:(1)根据样本数据制 成2 × 2列联表;(2)根据公式计算 K 2 的值;(3)比较 K 2 的值与临界值的大小关 系,作出统计推断. 3-1 　为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系,现在从4 月份的30天中随机挑选了5天进行研究,且分别记录了每天昼夜温差与 每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下表格: 日期 4月1日 4月7日 4月15日 4月21日 4月30日 温差 x /℃ 10 11 13 12 8 发芽数 y /颗 23 25 30 26 16 (1)从这5天中任选2天,记发芽的种子数分别为 m , n ,求事件“ m , n 均 不小于25”的概率; (2)从这5天中任选2天,若选取的是4月1日与4月30日的两组数据,请根据 这5天中的另外3天的数据,求出 y 关于 x 的回归方程   =   x +   ; (3)若由回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2,则认为得到的回归方程是可靠的,试问(2)中所得的回归方程是否可 靠? 附:   解析 　(1)所有的基本事件为(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30), (25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个. 设“ m , n 均不小于25”为事件 A ,则事件 A 包含的基本事件为(25,30), (25,26),(30,26),共3个. 所以 P ( A )=   . (2)由题意得   =12,   =27,   x i y i =977,     =434, 所以   =   =   , 则   =27-   × 12=-3, 所以 y 关于 x 的回归方程为   =   x -3. (3)当 x =10时,   =22,|22-23|<2; 当 x =8时,   =17,|17-16|<2, 所以(2)中所得的回归方程是可靠的.