【数学】2020届一轮复习苏教版专题二第一讲小题考法——立体几何中的计算学案

【数学】2020届一轮复习苏教版专题二第一讲小题考法——立体几何中的计算学案

‎[江苏卷5年考情分析]‎ 小题考情分析 大题考情分析 常考点 空间几何体的表面积与体积(5年3考)‎ ‎　　本专题在高考大题中的考查非常稳定，主要是线线、线面、面面的平行与垂直关系的证明，一般第(1)问是线面平行的证明，第(2)问是线线垂直或面面垂直的证明，考查形式单一，难度一般.‎ 偶考点 简单几何体与球的切接问题 第一讲 小题考法——立体几何中的计算 考点(一)‎ 空间几何体的表面积与体积 主要考查柱体、锥体以及简单组合体的表面积与体积.‎ ‎[题组练透]‎ ‎1．现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径为________cm.‎ 解析：因为圆锥底面半径为3 cm，母线长为5 cm，所以圆锥的高为＝4 cm，其体积为π×32×4＝12π cm3，设铁球的半径为r，则πr3＝12π，所以该铁球的半径是 cm.‎ 答案： ‎2．(2018·苏锡常镇二模)已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为2，则该直四棱柱的侧面积为________．‎ 解析：由题意得，直四棱柱的侧棱长为＝2，所以该直四棱柱的侧面积为S＝cl＝4×2×2＝16.‎ 答案：16 ‎3.(2018·江苏高考)如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．‎ 解析：由题意知所给的几何体是棱长均为 的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2××()2×1＝.‎ 答案： ‎4．(2018·南通、泰州一调)如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的几何体．已知正六棱柱的底面边长、高都为4 cm，圆柱的底面积为9 cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6 cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm(不计损耗)．‎ 解析：由题意知，熔化前后的体积相等，熔化前的体积为6××42×4－9×4＝60 cm3，设所求正三棱柱的底面边长为x cm，则有x2·6＝60，解得x＝2，所以所求边长为2 cm.‎ 答案：2 ‎5．设甲，乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积相等且＝，则的值是________．‎ 解析：设甲，乙两个圆柱的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则有2πr1h1＝2πr2h2，‎ 即r1h1＝r2h2，‎ 又＝，∴＝，∴＝，‎ 则＝＝.‎ 答案： ‎[方法技巧]‎ 求几何体的表面积及体积的解题技巧 ‎(1)求几何体的表面积及体积问题，可以多角度、多方位地考虑，熟记公式是关键所在．求三棱锥的体积时，等体积转化是常用的方法，转化原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上．‎ ‎(2)求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．‎ 考点(二)‎ 简单几何体与球的切接问题 主要考查简单几何体与球切接时的表面积、体积的计算问题，以及将空间几何体的问题转化为平面几何图形的关系的能力.‎ ‎ [题组练透]‎ ‎1．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．‎ 解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.‎ 答案： ‎2．(2018·无锡期末)直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，BB1＝5，若三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．‎ 解析：根据条件可知该直三棱柱的外接球就是以BA，BC，BB1为棱的长方体的外接球，设其半径为R，则2R＝＝，得R＝，故该球的表面积为S＝4πR2＝50π.‎ 答案：50π ‎3．已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上，且AB＝3，BC＝，过点D作DE垂直于平面ABCD，交球O于点E，则棱锥EABCD的体积为________．‎ 解析：如图所示，BE过球心O，‎ ‎∴BE＝4，BD＝＝2，‎ ‎∴DE＝ ＝2，‎ ‎∴VEABCD＝×3××2＝2.‎ 答案：2 ‎4．(2018·全国卷Ⅲ改编)设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值为________.‎ 解析：由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥DABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥DABC体积的最大值为×9×6＝18.‎ 答案：18 ‎[方法技巧]‎ 简单几何体与球切接问题的解题技巧 方法 解读 适合题型 截面法 解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 球内切多面体或旋转体 构造 直角 三角 形法 首先确定球心位置，借助外接的性质——球心到多面体的顶点的距离等于球的半径，寻求球心到底面中心的距离、半径、顶点到底面中心的距离构造成直角三角形，利用勾股定理求半径 正棱锥、正棱柱的外接球 补形法 因正方体、长方体的外接球半径易求得，故将一些特殊的几何体补形为正方体或长方体，便可借助外接球为同一个的特点求解 三条侧棱两两垂直的三棱锥，从正方体或长方体的八个顶点中选取点作为顶点组成的三棱锥、四棱锥等 考点(三)‎ 平面图形的翻折与空间图形的展开问题 主要考查空间图形与平面图形之间的转化，面积、体积以及最值 ‎ 问题的求解.‎ ‎[典例感悟]‎ ‎[典例]　(1)如图，正△ABC的边长为2，CD是AB边上的高，E，F分别为边AC与BC的中点，现将△ABC沿CD翻折，使平面ADC⊥平面DCB，则三棱锥EDFC的体积为________．‎ ‎(2)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段BB1上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．‎ ‎[解析]　(1)S△DFC＝S△ABC＝×＝，E到平面DFC的距离h等于AD＝，VEDFC＝×S△DFC×h＝.‎ ‎(2)将侧面展开后可得：本题AM＋MC1最小可以等价为在矩形ACC1A1中求AM＋MC1的最小值．‎ 如图，当A，M，C1三点共线时，AM＋MC1最小．‎ 又AB∶BC＝1∶2，AB＝1，BC＝2，CC1＝3，‎ 所以AM＝，MC1＝2，又AC1＝＝，‎ 所以cos∠AMC1＝＝＝－，‎ 所以sin∠AMC1＝，‎ 故三角形面积为S＝××2×＝.‎ ‎[答案]　(1)　(2) ‎[方法技巧]‎ 解决翻折问题需要把握的两个关键点 ‎(1)解决与翻折有关的问题的关键是搞清翻折前后的变化量和不变量．一般情况下，折线同一侧的线段的长度是不变量，位置关系可能会发生变化，抓住两个“不变性”．‎ ‎①与折线垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；‎ ‎②与折线平行的线段，翻折前后平行关系不改变．‎ ‎(2)解决问题时，要综合考虑翻折前后的图形，既要分析翻折后的图形，也要分析翻折前的图形．‎ ‎[演练冲关]‎ ‎1．有一根长为6 cm，底面半径为0.5 cm的圆柱型铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕4圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的长度最少为________cm.‎ 解析：由题意作出图形如图所示，‎ 则铁丝的长度至少为＝＝2.‎ 答案：2 ‎2．(2018·南京、盐城、连云港二模)在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图①中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图②)，则正四棱锥SEFGH的体积为________．‎ 解析：连结EG，HF，交点为O(图略)，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝＝，SO＝＝＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为×()2×2＝.‎ 答案： ‎3．如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体ABCD，使平面ABD⊥平面BCD，若四面体ABCD的顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．‎ 解析：如图，取BD的中点E，BC的中点O，连接AE，OD，EO，‎ AO.因为AB＝AD，所以AE⊥BD.‎ 由于平面ABD⊥平面BCD，所以AE⊥平面BCD.‎ 因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝，所以AE＝，EO＝.所以OA＝.‎ 在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝BC＝，所以四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为.‎ 所以该球的体积V＝π3＝.‎ 答案： ‎[必备知能·自主补缺]‎ ‎(一) 主干知识要牢记 ‎1．空间几何体的侧面展开图及侧面积公式 几何体 侧面展开图 侧面积公式 直棱柱 S直棱柱侧＝ch c为底面周长 h为高 正棱锥 S正棱锥侧＝ch′‎ c为底面周长 h′为斜高 即侧面等腰三角形的高 正棱台 S正棱台侧＝(c＋c′)h′‎ c′为上底面周长 c为下底面周长 h′为斜高，即侧面等腰梯形的高 圆柱 S圆柱侧＝2πrl r为底面半径 l为侧面母线长 圆锥 S圆锥侧＝πrl r为底面半径 l为侧面母线长 圆台 S圆台侧＝π(r1＋r2)l r1为上底面半径 r2为下底面半径 l为侧面母线长 ‎2.柱体、锥体、台体的体积公式 ‎(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎(3)V台＝(S＋＋S′)h(不要求记忆)．‎ ‎3．球的表面积和体积公式：‎ ‎(1)S球＝4πR2(R为球的半径)；‎ ‎(2)V球＝πR3(R为球的半径)．‎ ‎4．立体几何中相邻两个面之间的两点间距离路径最短问题，都可以转化为平面几何中两点距离最短．‎ ‎(二) 二级结论要用好 ‎1．长方体的对角线与其共点的三条棱之间的长度关系d2＝a2＋b2＋c2；若长方体外接球半径为R，则有(2R)2＝a2＋b2＋c2.‎ ‎[针对练1]　设三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为2,2，4，则其外接球的表面积为________．‎ 解析：依题意，设题中的三棱锥外接球的半径为R，可将题中的三棱锥补形成一个长方体，则R＝＝2，所以该三棱锥外接球的表面积为S＝4πR2＝32π.‎ 答案：32π ‎2．棱长为a的正四面体的内切球半径r＝a，外接球的半径R＝a.又正四面体的高h＝a，故r＝h，R＝h.‎ ‎[针对练2]　正四面体ABCD的外接球半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为________．‎ 解析：由题意知，面积最小的截面是以AB为直径的圆，设AB的长为a，‎ 因为正四面体外接球的半径为2，‎ 所以a＝2，解得a＝，‎ 故截面面积的最小值为π2＝.‎ 答案： ‎3．认识球与正方体组合的3种特殊截面：‎ 一是球内切于正方体；二是球与正方体的十二条棱相切；三是球外接于正方体．它们的相应轴截面如图所示(正方体的棱长为a，球的半径为R)．‎ ‎[课时达标训练]‎ A组——抓牢中档小题 ‎1. 若圆锥底面半径为1，高为2，则圆锥的侧面积为 ________.‎ 解析：由题意，得圆锥的母线长l＝＝，所以S圆锥侧＝πrl＝π×1×＝π.‎ 答案：π ‎2．已知正六棱柱的侧面积为72 cm2，高为6 cm，那么它的体积为________cm3.‎ 解析：设正六棱柱的底面边长为x cm，由题意得6x×6＝72，所以x＝2，于是其体积V＝×22×6×6＝36cm3.‎ 答案：36 ‎3．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R，AB＝AC＝BC＝2，则球O的表面积为________．‎ 解析：设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，因为AB＝AC＝BC＝2，所以△ABC为正三角形，其外接圆的半径r＝＝2，因为OO1⊥平面ABC，所以OA2＝OO＋r2，即R2＝2＋22，解得R2＝16，所以球O的表面积为4πR2＝64π.‎ 答案：64π ‎4. 已知一个棱长为6 cm的正方体塑料盒子(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为________cm.‎ 解析：球心到正方体的塑料盒上表面(不存在)所在平面的距离为＝4，所以球心到盒底的距离为4＋6＝10(cm)．‎ 答案：10‎ ‎5．(2018·扬州期末)若圆锥的侧面展开图是面积为3π且圆心角为的扇形，则此圆锥的体积为________．‎ 解析：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线为l，则由··l2＝3π，得l＝3，又由·l＝2πr，得r＝1，从而有h＝＝2，所以V＝·πr2·h＝π.‎ 答案：π ‎6. 一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6 cm时，该容器的容积为________cm3.‎ 解析：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6 cm为边长的正方形，侧面高为5 cm，则正四棱锥的高为 ＝4 cm，所以所求容积V＝×62×4＝48 cm3.‎ 答案：48‎ ‎7．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．‎ 解析：由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为.‎ 设该正方体外接球的半径为R，则2R＝3，R＝，‎ 所以这个球的体积为πR3＝×＝.‎ 答案： ‎8．设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．‎ 解析：由题意知，V1＝a3，S1＝6a2，V2＝πr3，S2＝πr2，由＝，即＝，得a＝r，从而＝＝＝.‎ 答案： ‎9．已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别为BC，DC的中点，沿AE，EF，AF折成一个四面体，使B，C，D三点重合，则这个四面体的体积为________．‎ 解析：设B，C，D三点重合于点P，得到如图所示的四面体PAEF.因为AP⊥PE，AP⊥PF，PE∩PF＝P，所以AP⊥平面PEF，所以V四面体PAEF＝V四面体APEF＝·S△PEF·AP＝××1×1×2＝.‎ 答案： ‎10．(2018·常州期末)已知圆锥的高为6，体积为8，用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．‎ 解析：设截得的小圆锥的高为h1，底面半径为r1，体积为V1＝πrh1；大圆锥的高为h＝6，底面半径为r，体积为V＝πr2h＝8.依题意有＝，V1＝1，＝＝3＝，得h1＝h＝3，所以圆台的高为h－h1＝3.‎ 答案：3‎ ‎11.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面为直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值是________．‎ 解析：连结A1B，沿BC1将△CBC1展开，与△A1BC1在同一个平面内，如图所示，连结A1C，则A1C的长度就是所求的最小值．‎ 因为A1C1＝6，A1B＝2，BC1＝2，所以A1C＋BC＝A1B2，所以∠A1C1B＝90°.‎ 又∠BC1C＝45°，所以∠A1C1C＝135°，由余弦定理，得A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝36＋2－2×6××＝50，所以A1C＝5，即CP＋PA1的最小值是5.‎ 答案：5 ‎12．(2018·苏中三市、苏北四市三调)‎ 现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件(不计材料损耗)．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2，则的值为________．‎ 解析：设正四棱柱的高为a，所以底面边长为8a，根据体积相等，且底面积相等，所以正四棱锥的高为3a，则正四棱锥侧面的高为＝5a，所以＝＝.‎ 答案： ‎13．已知圆锥的底面半径和高相等，侧面积为4π，过圆锥的两条母线作截面，截面为等边三角形，则圆锥底面中心到截面的距离为________．‎ 解析：如图，设底面半径为r，由题意可得：母线长为r.又侧面展开图面积为×r×2πr＝4π，所以r＝2.又截面三角形ABD为等边三角形，故BD＝AB＝r，又OB＝OD＝r，故△BOD为等腰直角三角形．设圆锥底面中心到截面的距离为d，又VOABD＝VABOD，所以d×S△ABD＝AO×S△OBD.又S△ABD＝AB2＝×8＝2，S△OBD＝2，AO＝r＝2，故d＝＝.‎ 答案： ‎14. 底面半径为1 cm的圆柱形容器里放有四个半径为 cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切．现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水________cm3.‎ 解析：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，O1O2O3O4为正四面体，棱O1O2到棱O3O4的距离为，所以注水高为1＋.故应注水体积为π－4×π×3＝π.‎ 答案：π B组——力争难度小题 ‎1.(2018·天津高考)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥MEFGH的体积为________．‎ 解析：如图，连结AD1，CD1，B1A，B1C，AC，因为E，H分别为 AD1，CD1的中点，所以EH∥AC，EH＝‎ AC，因为F，G分别为B1A，B1C的中点，所以FG∥AC，FG＝AC，所以EH∥FG，EH＝FG，所以四边形EHGF为平行四边形，又EG＝HF，EH＝HG，所以四边形EHGF为正方形，又点M到平面EHGF的距离为，所以四棱锥MEFGH的体积为×2×＝.‎ 答案： ‎2.(2018·苏州期末)鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为5，底面正方形的边长为1，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________(容器壁的厚度忽略不计，结果保留π)．‎ 解析：设球形容器的最小半径为R，则“十字立方体”的24个顶点均在半径为R的球面上，所以两根并排的四棱柱体组成的长方体的八个顶点在这个球面上．球的直径就是长方体的体对角线的长度，所以2R＝＝，得4R2＝30.从而S球面＝4πR2＝30π.‎ 答案：30π ‎3．已知三棱锥PABC的所有棱长都相等，现沿PA，PB，PC三条侧棱剪开，将其表面展开成一个平面图形，若这个平面图形外接圆的半径为2，则三棱锥PABC的体积为________．‎ 解析：由条件知，表面展开图如图所示，由正弦定理得大正三角形的边长为a＝2×2sin 60°＝6，从而三棱锥的所有棱长均为3，底面三角形ABC的高为，故三棱锥的高为＝2，所求体积为V＝×(3)2×2＝9.‎ 答案：9‎ ‎4．(2018·渭南二模)体积为的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________．‎ 解析：设球的半径为R，由R3＝，得R＝1，所以正三棱柱的高h＝2.设底面边长为a，则×a＝1，所以a＝2.所以V＝×2×3×2＝6.‎ 答案：6 ‎5.如图所示，在直三棱柱中，AC⊥BC，AC＝4，BC＝CC1‎ ‎＝2，若用平行于三棱柱A1B1C1ABC的某一侧面的平面去截此三棱柱，使得到的两个几何体能够拼接成长方体，则长方体表面积的最小值为________．‎ 解析：用过AB，AC的中点且平行于平面BCC1B1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个边长为2的正方体，其表面积为24；‎ 用过AB，BC的中点且平行于平面ACC1A1的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4,1,2的长方体，其表面积为28；‎ 用过AA1，BB1，CC1的中点且平行于平面ABC的平面截此三棱柱，可以拼接成一个长、宽、高分别为4,2,1的长方体，其表面积为28，‎ 因此所求的长方体表面积的最小值为24.‎ 答案：24‎ ‎6.如图，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为________．‎ 解析：四边形AEFG在前、后面的正投影如图①，当E与A1重合，F与B1重合时，四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12；‎ 四边形AEFG在左、右面的正投影如图②，当E与A1重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；‎ 四边形AEFG在上、下面的正投影如图③，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8.综上所述，所求面积的最大值为12.‎ 答案：12‎