2018-2019学年广西南宁市第二中学高一下学期期末数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年广西南宁市第二中学高一下学期期末数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年广西南宁市第二中学高一下学期期末数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先化简集合，根据交集与并集的概念，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的基本运算，熟记概念即可，属于基础题型.‎ ‎2．设，则使函数的定义域是，且为偶函数的所有的值是（ ）‎ A．0，2 B．0，-2 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据幂函数的性质，结合题中条件，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 若函数的定义域是，则；‎ 又函数为偶函数，所以只能使偶数；‎ 因为，所以能取的值为2.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查幂函数性质的应用，熟记幂函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎3．下列函数的最小值为的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用基本不等式的性质即可判断出正误，注意“一正二定三相等”的使用法则．‎ 详解：A.时显然不满足条件；‎ B .其最小值大于2．‎ D . 令 ‎ 因此不正确．‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查基本不等式，考查通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．‎ ‎4．某空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）‎ A．1 B．2 C．4 D．6‎ ‎【答案】B ‎【解析】先由三视图还原几何体，再由题中数据，结合棱锥的体积公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 由三视图可得，该几何体为底面是直角梯形，侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示：‎ 由题意可得其体积为：‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查由几何体的三视图求几何体的体积，熟记棱锥的结构特征以及体积公式即可，属于常考题型.‎ ‎5．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵，∴.‎ ‎∴=‎ 故选：A ‎6．在等差数列中，若前项的和，，则( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：.‎ ‎【考点】等差数列的基本概念.‎ ‎7．已知函数的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 由图象可知,所以,‎ 又因为,‎ 所以所求函数的解析式为.‎ ‎8．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，CC1的中点，则异面直线AE与BF所成角的余弦值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，再利用向量法求出异面直线AE与BF所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，E，F分别是C1D1，CC1的中点，‎ A（2，0，0），E（0，1，2），B（2，2，0），F（0，2，1），‎ ‎＝（﹣2，1，2），＝（﹣2，0，1），‎ 设异面直线AE与BF所成角的平面角为θ，‎ 则cosθ＝＝＝ ,∴异面直线AE与BF所成角的余弦值为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，注意向量法的合理运用，属于基础题.‎ ‎9．已知函数在区间内单调递增，且，若，，，则的大小关系为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意，由f（﹣x）＝f（x）可得f（x）为偶函数，结合函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）上递减，进而又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，分析可得答案．‎ ‎【详解】‎ 解：根据题意，函数y＝f（x）满足f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，‎ 又由函数y＝f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递增，则f（x）在（0，+∞）上递减，‎ a＝f（3）＝f（log23），b＝f（2﹣1.2），c＝f（）＝f（2﹣1），‎ 又由2﹣1.2＜2﹣1＜1＜log23，‎ 则b＞c＞a，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．‎ ‎10．已知数列的前项和为，且满足，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由可知，数列隔项成等比数列，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由可知：‎ 当n≥2时，，‎ 两式作商可得：‎ ‎∴奇数项构成以1为首项，2为公比的等比数列，‎ 偶数项构成以2为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎∴‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查数列的递推关系，考查隔项成等比，考查分析问题解决问题的能力，属于中档题.‎ ‎11．函数的部分图像大致为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意知，函数为奇函数，故排除B；当时，‎ ‎，故排除D；当时，，故排除A．故选C．‎ 点睛:函数图像问题首先关注定义域，从图像的对称性，分析函数的奇偶性，根据函数的奇偶性排除部分选择项，从图像的最高点、最低点，分析函数的最值、极值，利用特值检验，较难的需要研究单调性、极值等，从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．‎ ‎12．设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】【详解】‎ 分析：作图，D为MO 与球的交点，点M为三角形ABC的中心，判断出当平面时，三棱锥体积最大，然后进行计算可得。‎ 详解：如图所示，‎ 点M为三角形ABC的中心，E为AC中点，‎ 当平面时，三棱锥体积最大 此时，‎ ‎,‎ 点M为三角形ABC的中心 中，有 故选B.‎ 点睛：本题主要考查三棱锥的外接球，考查了勾股定理，三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，判断出当平面时，三棱锥体积最大很关键，由M为三角形ABC的重心，计算得到，再由勾股定理得到OM，进而得到结果，属于较难题型。‎ 二、填空题 ‎13．设，向量，，若，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】从题设可得，即，应填答案。‎ ‎14．已知函数，若，则__________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】根据题中条件，分别讨论和两种情况，解方程，求出，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 当时，，则有，解得，符合题意，‎ 所以；‎ 当时，，则有，无解；‎ 综上所述：.‎ 故答案为6‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分段函数求值的问题，灵活运用分类讨论的思想，即可求解，属于常考题型.‎ ‎15．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.‎ 详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，‎ 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为 因此圆锥的侧面积为 ‎16．已知数列中，，，设，若对任意的正整数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，（，），当时，，，…，，并项相加，得：， ∴，又∵当时，也满足上式， ∴数列的通项公式为，∴ ‎ ‎，令（），‎ 则，∵当时，恒成立，∴在上是增函数， 故当时，，即当时， ，对任意的正整数，‎ 当时，不等式恒成立，则须使，即对恒成立，即的最小值，可得，∴实数的取值范围为，故答案为.‎ 点睛：本题考查数列的通项及前项和，涉及利用导数研究函数的单调性，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题通过并项相加可知当时，进而可得数列的通项公式，裂项、并项相加可知，通过求导可知是增函数，进而问题转化为，由恒成立思想，即可得结论.‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为，，.‎ ‎（1）若有两解，求的取值范围；‎ ‎（2）若的面积为，，求的值.‎ ‎【答案】（1）； （2）.‎ ‎【解析】（1）由，利用正弦定理可得，结合诱导公式以及两角和的正弦公式可得，从而可得，由可得结果；（2）由（1）知，，可得，再利用余弦定理可得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ 即 ‎∵，∴，∴.‎ 若有两解，∴，‎ 解得，即的取值范围为.‎ ‎（2）由（1）知，，∴，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，‎ ‎∵，∴.‎ ‎【点睛】‎ 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷．如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎18．某机构通过对某企业今年的生产经营情况的调查，得到每月利润（单位：万元）与相应月份数的部分数据如表：‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎7‎ ‎12‎ ‎229‎ ‎244‎ ‎241‎ ‎196‎ ‎（1）根据如表数据，请从下列三个函数中选取一个恰当的函数描述与的变化关系，并说明理由，，，；‎ ‎（2）利用（1）中选择的函数，估计月利润最大的是第几个月，并求出该月的利润.‎ ‎【答案】（1）,理由见解析；（2）第5个月，利润最大为245.‎ ‎【解析】（1）根据题中数据，即可直接判断出结果；‎ ‎（2）将题中，代入，求出参数，根据二次函数的性质，以及自变量的范围，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题目中的数据知，描述每月利润（单位：万元）与相应月份数的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；所以，应选取二次函数 进行描述；‎ ‎（2）将，代入，解得，，‎ ‎∴，，，‎ ‎，∴，万元.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查二次函数的应用，熟记二次函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，二面角的大小为，求.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】（1）由题意证明平面，从而证得平面平面；‎ ‎（2）求出平面PAB的法向量和平面PBC的法向量，由此利用向量法能求出cosθ．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵，∴，，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，且平面，平面，‎ ‎∴平面，又平面，‎ ‎∴平面平面；‎ ‎（2）∵，，∴四边形为平行四边形，‎ 由（1）知平面，∴，则四边形为矩形，‎ 在中，由，，‎ 可得为等腰直角三角形，‎ 设，则.‎ 取中点，中点，连接、，‎ 以为坐标原点，分别以、、所以直线为、、轴建立空间直角坐标系，则：‎ ‎，，，.‎ ‎，，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 由，得，‎ 取，得.‎ ‎∵平面，平面，∴，‎ 又，，‎ ‎∴平面，则为平面的一个法向量，.‎ ‎∴.‎ 由图可知，二面角为钝角，‎ ‎∴二面的余弦值为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．‎ ‎20．记Sn为等比数列的前n项和，已知S2=2，S3=-6.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求Sn，并判断Sn+1，Sn，Sn+2是否成等差数列。‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由等比数列通项公式解得，即可求解；（2）利用等差中项证明Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列．‎ 试题解析：（1）设的公比为.由题设可得 ，解得，.‎ 故的通项公式为.‎ ‎（2）由（1）可得.‎ 由于，‎ 故，，成等差数列.‎ 点睛:等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．‎ ‎21．已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．‎ ‎（1）若，证明：函数必有局部对称点；‎ ‎（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；‎ ‎（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）‎ ‎【解析】试题分析：(1)利用题中所给的定义，通过二次函数的判别式大于0，证明二次函数有局部对称点；(2)利用方程有解，通过换元，转化为打钩函数有解问题，利用函数的图象，确定实数c的取值范围；(3)利用方程有解，通过换元，转化为二次函数在给定区间有解，建立不等式组，通过解不等式组，求得实数的取值范围.‎ 试题解析：(1)由得=,代入得,‎ ‎=,得到关于的方程=).‎ 其中,由于且,所以恒成立,‎ 所以函数=)必有局部对称点.‎ ‎(2)方程=在区间上有解,于是,‎ 设),,,‎ 其中，所以.‎ ‎(3),由于,‎ 所以=.‎ 于是=()在上有解.‎ 令),则,‎ 所以方程()变为=在区间内有解,‎ 需满足条件:.‎ 即,，化简得.‎ ‎22．已知向量，，且 ‎（1）求·及；‎ ‎（2）若，求的最小值 ‎【答案】（1）见解析；‎ ‎（2）.‎ ‎【解析】（1）运用向量数量积的坐标表示，求出·；‎ 运用平面向量的坐标运算公式求出，然后求出模。‎ ‎（2）根据上（1）求出函数的解析式，配方，利用二次函数的性质求出最小值。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎ ‎ ‎∵∴∴‎ ‎（2） ‎ ‎∵∴∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量数量积的坐标表示，以及平面向量的坐标加法运算公式。重点是二次函数求最小值问题。‎ ‎23．已知函数（其中）.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）先由，将不等式化为，直接求解，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意得到恒成立，根据含绝对值不等式的性质定理，得到，从而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，求不等式，即为，‎ 所以，即或，‎ 原不等式的解集为或.‎ ‎（2）不等式,即为，‎ 即关于的不等式恒成立.‎ 而，‎ 所以，‎ 解得或，‎ 解得或.‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查含绝对值不等式的解法，以及由不等式恒成立求参数的问题，熟记不等式的解法，以及绝对值不等式的性质定理即可，属于常考题型.‎