甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 含解析

甘肃省兰州市联片办学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题 含解析

‎2019__2020学年第一学期联片办学期末考试 高二年级数学（文科）试卷 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.命题“存在x0∈R,2x0≤‎0”‎的否定是(　　)‎ A. 不存在x0∈R,2x0>0 B. 存在x0∈R,2x0≥0‎ C. 对任意的x∈R,2x≤0 D. 对任意的x∈R,2x>0‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 命题“存在x0∈R,2x0≤0是特称命题，特称命题的否定是全称命题；特称命题的条件的否定是结论的否定是故选D ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎2.设，则“”是“”的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．‎ ‎【详解】由，可知．‎ ‎“”是“”的必要不充分条件．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用三角函数的性质是解决本题的关键，比较基础．‎ ‎3.已知f(x)＝sin x＋cos x＋，则等于(　　)‎ A. －1＋ B. ＋1‎ C. 1 D. －1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，计算导函数的值即可．‎ ‎【详解】由得，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的应用，考查函数求值问题，属于基础题.‎ ‎4.关于命题p：若，则与的夹角为锐角；命题q：存在x∈R,使得sin x＋cos x＝.下列说法中正确的是(　　)‎ A. “p∨q”是真命题 B. “p∧q”是假命题 C. 为假命题 D. 为假命题 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断命题，的真假，利用复合命题与简单命题之间的关系进行判断.‎ ‎【详解】若，则，当时，，满足条件，但此时与的夹角为0，所以命题为假命题；‎ 因，而，则，即不存在，使得，所以命题为假命题；‎ 所以，复合命题：“”为假命题，“”为假命题，“”为真命题，“”为真命题.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查复合命题与简单命题之间的关系，利用条件确定命题，的真假是解决本题的关键，属于基础题.‎ ‎5.椭圆的焦距是2，则m的值是（ ）‎ A. 5 B. 5或‎8 ‎C. 3或5 D. 20‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：因为焦距是，所以，当焦点在轴时，解得：，当焦点在轴时，解得：，故选择C．‎ 考点：椭圆简单的几何性质．‎ ‎6.已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】由y＝f′(x)的图象知，y＝f(x)的图象为增函数，‎ 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快，‎ 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢．‎ 故选B.‎ 此处有视频，请去附件查看】‎ ‎7.已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则函数f(x)的极值是(　　)‎ A. 极大值为，极小值为0‎ B. 极大值为0，极小值为 C. 极大值为0，极小值为－‎ D. 极大值为－，极小值为0‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意，得f(1)＝0，∴p＋q＝1 ①‎ f′(1)＝3－2p－q＝0，∴2p＋q＝3 ②‎ 由①②得p＝2，q＝－1.‎ ‎∴f′(x)＝x3－2x2＋x，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)，‎ 令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，＝，f(1)＝0，故选A.‎ ‎8.若双曲线的一条渐近线经过点，则此双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 因为双曲线的一条渐近线经过点（3，-4），‎ 故选D.‎ 考点：双曲线简单性质 ‎【名师点睛】渐近线是双曲线独特的性质，在解决有关双曲线问题时，需结合渐近线从数形结合上找突破口.与渐近线有关的结论或方法还有：（1）与双曲线共渐近线的可设为；（2）若渐近线方程为，则可设为；（3） 双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长；（4）的一条渐近线的斜率为.可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．另外解决不等式恒成立问题关键是等价转化，其实质是确定极端或极限位置.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎9.若直线y＝2x与双曲线 (a＞0，b＞0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为(　　)‎ A. (1，) B. (，＋∞)‎ C. (1， ] D. [，＋∞)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得双曲线的渐近线方程,由双曲线与直线有交点，应有渐近线的斜率 ,再由离心率可得结论.‎ ‎【详解】双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为，‎ 由双曲线与直线有交点知，应有，‎ 故，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质、双曲线的离心率、‎ 渐近线以及直线与双曲线的位置关系，属于中档题.‎ ‎10.定义在R上的可导函数 f(x)=x2 + 2xf′(2)+15，在闭区间[0,m]上有最大值15,最小值-1,‎ 则m的取值范围是(　　)‎ A. m≥2 B. 2≤m≤‎4 ‎C. m≥4 D. 4≤m≤8‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题可得，则，‎ ‎，故，‎ ‎,由二次函数的最值可得.‎ ‎11.设函数在区间上单调递减,则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ 由，则，‎ ‎ 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增，‎ 又函数在区间上单调递减，所以，解得，故选A．‎ 点睛：本题主要考查了函数的单调性的应用，利用函数的单调性求解参数的取值范围问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．‎ ‎12.已知O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y 轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：如图取与重合，则由直线同理由,故选A.‎ 考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.‎ ‎【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型. 如图取与重合，则由直线同理由 ‎.‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)‎ ‎13.已知函数的图象在点M（1 , f（1））处的切线方程是+2,‎ 则的值等于 ‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由M（1,f（1））处的切线方程是+2,可得：则：．‎ 考点：导数的几何意义与切线.‎ ‎14.已知双曲线E：–=1（a>0，b>0）．矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：不妨设，所以，由及，得：，两边同除以，则有，解方程得，（舍去），所以应该填．‎ 考点：双曲线的简单几何性质．‎ ‎【此处有视频，请去附件查看】‎ ‎15.已知函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，则实数k的取值范围是____________‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 分析：先求导，再根据导函数零点分布确定不等式，解不等式得结果.‎ 详解：因为 ，所以 ‎ 因为函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1(k>0)在（0,4）上是减函数，‎ 所以 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题（有解，恒成立，无解等），而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.‎ ‎16.如图，F1，F2是双曲线C1：x2－＝1与椭圆C2的公共焦点，点A是C1，C2在第一象限的公共点．若|F‎1F2|＝|F‎1A|，则C2的离心率是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 利用双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式即可得出．‎ ‎【详解】由双曲线可得，，，……①，‎ 椭圆中，……②，‎ 由①②得，‎ 又，‎ ‎，即，‎ 所以椭圆的离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了双曲线与椭圆的定义及其离心率计算公式，属于基础题．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知命题p：；命题q：.若p是真命题，且q是假命题，求实数x的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【详解】p为真:等价于不等式 q 为假等价于不等式的解．然后这两个不等式的解集求并集即是所求x的取值范围．由得：，解得 由得：‎ 因为 p为真命题，q为假命题，则 ‎ 所以或 ‎18.设函数，‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）当时，求函数的最值．‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为；（2） 最大值为，最小值为．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先求导，然后由与求得单调区间；（2）先由导数与极值的关系求得极值，再与两端点值比较求得最值．‎ 试题解析：（1），‎ 令，即，∴；‎ 令，即，∴．‎ ‎∴的单调增区间为，单调减区间为．‎ ‎（2）∵当时，，当时，，‎ ‎∴为函数的极小值，‎ 又，‎ 比较可知，当时，的最大值为，最小值为．‎ 考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、导数与函数极值的关系；3、函数的最值．‎ ‎【方法点睛】求函数在某闭区间上的最值，首先需求函数在开区间内的极值，然后，将的各个极值与在闭区间上的端点的函数值、比较，才能得出函数在上的最值．‎ ‎19.已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过点M(4,1)，N(2,2).‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若斜率为1的直线与椭圆C交于不同的两点，且点M到直线l的距离为，求直线l的方程.‎ ‎【答案】(1) ＝1,(2) x－y－1＝0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设椭圆的方程为，由椭圆经过点，，利用待定系数法即可得到椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线方程为：，联立，得，由点到直线的距离公式即可得到直线的方程.‎ ‎【详解】(1)设椭圆C的方程为mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)，由题意得 解得 ‎ ‎∴椭圆C的方程为 ＝1.‎ ‎(2)由题意可设直线l的方程为y＝x＋m，将其代入椭圆方程,‎ 得5x2＋8mx＋‎4m2‎－20＝0.‎ 则Δ＝(‎8m)2－4×5(‎4m2‎－20)＝－‎16m2‎＋400＞0，‎ ‎∴－5＜m＜5. ‎ 又点M(4,1)到直线l的距离为 ‎∴m＝－1或m＝－5(舍去).‎ ‎∴直线l方程为x－y－1＝0.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要注意待定系数法和点到直线的距离公式的合理运用，属于基础题．‎ ‎20.设函数在和处有极值，且，求的值，并求出相应的极值.‎ ‎【答案】（1）；极大值为，极小值.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求导函数，再利用函数在和处有极值，且，可得方程组，从而可求的值，考虑函数的单调性，即可确定函数的极值.‎ 详解】，‎ ‎∵在和处有极值，且，‎ ‎∴，∴，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴函数在，上，，函数为增函数；‎ 函数在上，，函数为减函数，‎ ‎∴当时，有极大值；‎ 当时，有极小值．‎ ‎【点睛】本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与单调性，解题的关键是正确运用极值条件，属于中档题.‎ ‎21.已知Rt△AOB的三个顶点都在抛物线y2＝2px上，其中直角顶点O为原点，OA所在直线的方程为y＝x，△AOB的面积为6，求该抛物线的方程．‎ ‎【答案】y2＝3x或y2＝－3x.‎ ‎【解析】‎ ‎∵OA⊥OB，且OA所在直线的方程为y＝x，OB所在直线的方程为y＝－x，‎ 由得A点坐标为，由得B点坐标为(6p，－2p)，‎ ‎∴OA＝|p|，OB＝4|p|，又S△OAB＝p2＝6，∴p＝±.‎ ‎∴该抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.‎ ‎22.设函数f(x)＝(x＋2)2－2ln(x＋2)．‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的单调区间； (Ⅱ)若关于x的方程f(x)＝x2＋3x＋a在区间[－1，1]上只有一个实数根，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】（Ⅰ）的单调递增区间是,的单调递减区间是;（Ⅱ）‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】解：（Ⅰ）函数的定义域为，因为，‎ 所以当时，；当时，.‎ 故的单调递增区间是；的单调递减区间是.（注： -1处写成“闭的”亦可）‎ ‎（Ⅱ）由得：，‎ 令，则，‎ 所以时，，时，，‎ 故在上递减，在上递增， ‎ 要使方程在区间上只有一个实数根，则必须且只需 解之得 所以实数的取值范围．‎