数学理（A）卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末考试（2017-01）

数学理（A）卷·2018届广东省清远市清城区高二上学期期末考试（2017-01）

广东省清远市清城区高二第一学期期末统考（A）卷 数学（理）试题 ‎(本卷满分150分，时间120分钟)‎ 一、 选择题（60分，每题5分）‎ ‎1．i是虚数单位，复数=（　　）‎ A．1﹣i B．﹣1+i C．+i D．﹣+i ‎2．变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎3．设p：x2﹣3x+2＞0，q：＞0，则p是q（　　）‎ A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．函数f（x）=log0.5（x2﹣4）的单调减区间为（　　）‎ A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（2，+∞）‎ ‎5．如图所示，函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）离y轴最近的零点与最大值均在抛物线y=﹣x2+x+1上，则f（x）=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．二项式（a＞0）的展开式的第二项的系数为﹣，则dx的值为（　　）‎ A．3或 B． C．3 D．3或 ‎7．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（　　）‎ A．10+4+4 B．10+2+4 C．14+2+4 D．14+4+4‎ ‎8．为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（　　）‎ A．150 B．180 C．200 D．280‎ ‎9．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如表），由最小二乘法求得回归直线方程=0.72x+58.4．‎ 零件数x（个）‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间y ‎71‎ ‎76‎ ‎79‎ ‎89‎ 表中有一个数据模糊不清，经推断，该数据的准确值为（　　）‎ A．85 B．86 C．87 D．88‎ ‎10．（x+）（3x﹣）5的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（　　）‎ A．2520 B．1440 C．﹣1440 D．﹣2520‎ ‎11．圆柱的底面半径为r，其全面积是侧面积的倍．O是圆柱中轴线的中点，若在圆柱内任取一点P，则使|PO|≤r的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．下列四个命题中，正确的有（　　）‎ ‎①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；‎ ‎②命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“对∀x∈R，均有x2+x+1＞0”；‎ ‎③命题 “p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；‎ ‎④若函数f（x）=x3+3ax2+bx+a2在x=﹣1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．‎ A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3个 一、 填空题（20分，每题5分）‎ ‎13．已知向量，且与共线，则x的值为　　．‎ ‎14．已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），P（ξ≤4）=0.84，则P（ξ≤0）=　　．‎ ‎15．已知函数f（x）=+2ax﹣lnx，若f（x）在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　　．‎ ‎16．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：y=2x+10，且双曲线的一个焦点在抛物线y2=20x的准线上，则双曲线的方程为　　．‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17．（12分）如图所示，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是梯形，AD∥BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB=∠DAA1．‎ ‎（Ⅰ）求证：A1B⊥BC；‎ ‎（Ⅱ）若AD=AB=3BC，∠A1AB=60°，点D在平面ABB1A1上的射影恰为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小．‎ ‎18．（12分）已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．‎ ‎（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．‎ ‎19．（12分）现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．‎ ‎（Ⅰ）求该射手恰好命中一次得的概率；‎ ‎（Ⅱ）求该射手的总得分X的分布列及数学期望EX．‎ ‎20．（12分）国家“十三五”计划，提出创新兴国，实现中国创新，某市教育局为了提高学生的创新能力，把行动落到实处，举办一次物理、化学综合创新技能大赛，某校对其甲、乙、丙、丁四位学生的物理成绩（x）和化学成绩（y）进行回归分析，求得回归直线方程为y=1.5x﹣35．由于某种原因，成绩表（如表所示）中缺失了乙的物理和化学成绩．‎ 甲 乙 丙 丁 物理成绩（x）‎ ‎75‎ m ‎80‎ ‎85‎ 化学成绩（y）‎ ‎80‎ n ‎85‎ ‎95‎ 综合素质 ‎155‎ ‎160‎ ‎165‎ ‎180‎ ‎（x+y）‎ （1） 请设法还原乙的物理成绩m和化学成绩n；‎ ‎（2）在全市物理化学科技创新比赛中，由甲、乙、丙、丁四位学生组成学校代表队参赛．共举行3场比赛，每场比赛均由赛事主办方从学校代表中随机抽两人参赛，每场比赛所抽的选手中，只要有一名选手的综合素质分高于160分，就能为所在学校赢得一枚荣誉奖章．若记比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ，试根据上表所提供数据，预测该校所获奖章数ξ的分布列与数学期望．‎ ‎21、（12分）如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，侧面SAB⊥底面ABCD，并且SA=SB=AB=2，F为SD的中点．‎ ‎（1）求三棱锥S﹣FAC的体积；‎ ‎（2）求直线BD与平面FAC所成角的正弦值．‎ ‎22、（10分）已知函数f（x）=|x﹣m|﹣|x﹣2|．‎ ‎（1）若函数f（x）的值域为﹣4，4]，求实数m的值；‎ ‎（2）若不等式f（x）≥|x﹣4|的解集为M，且2，4]⊆M，求实数m的取值范围．‎ 数学（理）答案 一、CCBD CCBA ABCA 二、13、﹣2 14、0.16 15、a≥ 16、 ‎ 三、‎ ‎17、证明：（Ⅰ）连接AB1、A1D、BD，设AB1交A1B于点O，‎ 连OD，如图所示．‎ 由AA1=AB，∠DAB=∠DAA1，可得△AA1D≌△ABD，‎ 所以A1D=BD，‎ 由于O是线段A1B的中点，所以DO⊥A1B，‎ 又根据菱形的性质知AO⊥A1B，所以A1B⊥平面ADO，‎ 所以A1B⊥AD，又因为AD∥BC，所以A1B⊥BC．‎ 解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知A1B⊥AB1，‎ 又由题意知DO⊥平面ABB1A1，‎ 故可分别以射线、射线、射线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．‎ 设AD=AB=3BC=3a，‎ 由∠A1AB=60°知，|OA|=|OB1|=，‎ 所以|OD|==，‎ 从而A（0，﹣，0），B（，0，0），B1（0，，0），D（0，0，），‎ 所以．‎ 由=，得，所以．‎ 设平面DCC1D1的一个法向量为=（x0，y0，z0），‎ 由，得，‎ 取y0=1，则，，所以=（）．‎ 又平面ABB1A1的法向量为，‎ 所以．‎ 故平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角的大小为．‎ ‎18、解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，‎ 解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．‎ 又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，‎ ‎∴F（0，2），∴p=4，‎ 故抛物线C2的标准方程为x2=8y．‎ ‎（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，‎ ‎∴，‎ 即（*）‎ 联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．‎ 依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，‎ ‎∴，，‎ 将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，‎ 解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．‎ 联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，‎ 令△'=64k2﹣32=0，解得．‎ 经检验，，m=﹣1符合要求．‎ 此时，，‎ ‎∴．‎ ‎19、解：（I）记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D 由题意知P（B）=，P（C）=P（D）=‎ 由于A=B++‎ 根据事件的独立性和互斥性得 P（A）=P（B）+P（）+P（）=P（B）P（）P（）+P（）P（C）P（）+P（）P（）P（D）‎ ‎=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×‎ ‎=‎ ‎（II）根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5‎ 根据事件的对立性和互斥性得 P（X=0）=P（）=（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）=‎ P（X=1）=P（B）=×（1﹣）×（1﹣）=‎ P（X=2）=P（+）=P（）+P（）=（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×=‎ P（X=3）=P（BC）+P（BD）=××（1﹣）+×（1﹣）×=‎ P（X=4）=P（）=（1﹣）××=‎ P（X=5）=P（BCD）=××=‎ 故X的分布列为 ‎ X ‎ 0‎ ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ 4‎ ‎ 5‎ ‎ P 所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×=‎ ‎20、解：（1）由已知可得，，因为回归直线 y=1.5x﹣35过点样本中心，‎ 所以，∴3m﹣2n=80，‎ 又m+n=160，解得m=80，n=80．‎ ‎（2）在每场比赛中，比赛中赢得荣誉奖章的枚数为ξ的可能值为：0，1，2，3．‎ 获得一枚荣誉奖章的概率P=1﹣=，ξ～B（3，），P（ξ=0）==；‎ P（ξ=1）==，‎ P（ξ=2）==，‎ P（ξ=3）==，‎ 所以预测ξ的分布列为：‎ ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故预测Eξ=nP=3×=．‎ ‎21、解：（1）由题意，三棱锥S﹣FAC的体积=三棱锥S﹣DAC的体积的一半．‎ 取AB的中点O，连接SO，则SO⊥底面ABCD，SO=，‎ ‎∵S△DAC==，‎ ‎∴三棱锥S﹣FAC的体积==；‎ ‎（2）连接OD，OC，则OC=OD=，∴SC=SD=3，‎ ‎△SAD中，SA=AD=2，F为SD的中点，∴AF==．‎ ‎△SCD中，SC=SD=3，CD=2，∴9+4CF2=2（9+4），∴CF=，‎ ‎△FAC中，cos∠AFC==，‎ ‎∴sin∠AFC=，‎ ‎∴S△AFC=×××=‎ 设D到平面AFC的距离为h，则，∴h=，‎ ‎∴直线BD与平面FAC所成角的正弦值÷=‎ ‎22、解：（1）由不等式的性质得：||x﹣m|﹣|x﹣2||≤|x﹣m﹣x+2|=|m﹣2|‎ 因为函数f（x）的值域为﹣4，4]，‎ 所以|m﹣2|=4，‎ 即m﹣2=﹣4或m﹣2=4‎ 所以实数m=﹣2或6．…‎ ‎（2）f（x）≥|x﹣4|，即|x﹣m|﹣|x﹣2|≥|x﹣4|‎ 当2≤x≤4时，|x﹣m|≥|x﹣4|+|x﹣2|⇔|x﹣m|≥﹣x+4+x﹣2=2，|x﹣m|≥2，‎ 解得：x≤m﹣2或x≥m+2，‎ 即原不等式的解集M=（﹣∞，m﹣2]或M=m+2，+∞），‎ ‎∵2，4]⊆M，‎ ‎∴m+2≤2⇒m≤0或m﹣2≥4⇒m≥6‎ 所以m的取值范围是（﹣∞，0]∪6，+∞）．‎