河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市等）2020届高三第一次模拟调研数学（理）试题 Word版含解析

河南省六市（南阳市、驻马店市、信阳市等）2020届高三第一次模拟调研数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年河南省六市高三第一次模拟调研试题理科数学 第Ⅰ卷选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若复数满足，则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，，再计算复数模得到答案.‎ ‎【详解】，故，‎ 故，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，复数模，意在考查学生的计算能力.‎ ‎2.集合真子集的个数为( )‎ A. 7 B. 8 C. 31 D. 32‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，再计算真子集个数得到答案.‎ ‎【详解】，故真子集个数为：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.‎ - 22 -‎ ‎3.五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分.古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成，如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系.若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列举出金、木、水、火、土任取两个的所有结果共10种，其中2类元素相生的结果有5种，再根据古典概型概率公式可得结果.‎ ‎【详解】金、木、水、火、土任取两类，共有：‎ 金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10种结果，‎ 其中两类元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5结果，‎ 所以2类元素相生的概率为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于基础题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎4.著名的斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…，满足，，，若，则( )‎ A. 2020 B. 4038 C. 4039 D. 4040‎ ‎【答案】D - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算，代入等式，根据化简得到答案.‎ ‎【详解】，，，故，‎ ‎，‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了斐波那契数列，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎5.已知某超市2018年12个月的收入与支出数据的折线图如图所示：‎ 根据该折线图可知，下列说法错误的是（ ）‎ A. 该超市2018年的12个月中的7月份的收益最高 B. 该超市2018年的12个月中的4月份的收益最低 C. 该超市2018年1-6月份的总收益低于2018年7-12月份的总收益 D. 该超市2018年7-12月份的总收益比2018年1-6月份的总收益增长了90万元 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ 用收入减去支出，求得每月收益，然后对选项逐一分析，由此判断出说法错误的选项.‎ ‎【详解】用收入减去支出，求得每月收益（万元），如下表所示：‎ 月份 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 收益 ‎20‎ ‎30‎ ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎30‎ ‎30‎ ‎50‎ ‎30‎ 所以月收益最高，A选项说法正确；月收益最低，B选项说法正确；月总收益万元，月总收益万元，所以前个月收益低于后六个月收益，C选项说法正确，后个月收益比前个月收益增长万元，所以D选项说法错误.故选D.‎ ‎【点睛】本小题主要考查图表分析，考查收益的计算方法，属于基础题.‎ ‎6.设函数，则函数的图像可能为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数为偶函数排除，再计算排除得到答案.‎ ‎【详解】定义域为： ‎ ‎，函数为偶函数，排除 ‎ ，排除 ‎ 故选 - 22 -‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像，通过函数的单调性，奇偶性，特殊值排除选项是常用的技巧.‎ ‎7.设，满足约束条件，若最大值为，则的展开式中项的系数为( )‎ A. 60 B. 80 C. 90 D. 120‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出可行域和目标函数，根据平移得到，再利用二项式定理计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：画出可行域和目标函数，‎ ‎，即，故表示直线与截距的倍，‎ 根据图像知：当时，的最大值为，故.‎ 展开式的通项为：，‎ 取得到项的系数为：.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生 - 22 -‎ 计算能力和综合应用能力.‎ ‎8.已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：设球半径为，则，解得.‎ 故求体积为：，圆锥的体积：，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎9.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，直线与抛物线交于，两点，若，则为( )‎ A. B. 40 C. 16 D. ‎ ‎【答案】D - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示，过分别作于，于，利用和，联立方程组计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：过分别作于，于.‎ ‎，则，‎ 根据得到：，即，‎ 根据得到：，即，‎ 解得，，故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线中弦长问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.‎ ‎10.已知为圆：上任意一点，，若线段的垂直平分线交直线于点，则点的轨迹方程为( )‎ A. B. ‎ - 22 -‎ C. （） D. （）‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图所示：连接，根据垂直平分线知，，故轨迹为双曲线，计算得到答案.‎ ‎【详解】如图所示：连接，根据垂直平分线知，‎ 故，故轨迹为双曲线，‎ ‎，，，故，故轨迹方程为.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了轨迹方程，确定轨迹方程为双曲线是解题的关键.‎ ‎11.已知是等差数列的前项和，若，设，则数列的前项和取最大值时的值为( )‎ - 22 -‎ A. 2020 B. 20l9 C. 2018 D. 2017‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意计算，，，计算，，，得到答案.‎ ‎【详解】是等差数列的前项和，若，‎ 故，，，，故，‎ 当时，，，，‎ ‎，‎ 当时，，故前项和最大.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.‎ ‎12.方程在区间内的所有解之和等于( )‎ A. 4 B. 6 C. 8 D. 10‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出函数和的图像，和均关于点中心对称，计算得到答案.‎ ‎【详解】，验证知不成立，故，‎ - 22 -‎ 画出函数和的图像，‎ 易知：和均关于点中心对称，图像共有8个交点，‎ 故所有解之和等于.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了方程解的问题，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定函数关于点中心对称是解题的关键.‎ 第Ⅱ卷非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，若，则________.‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据垂直得到，代入计算得到答案.‎ ‎【详解】，则，解得，‎ 故，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，向量模，意在考查学生的计算能力.‎ - 22 -‎ ‎14.设函数，则满足的的取值范围为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.‎ ‎【详解】，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，‎ 需满足，且，解得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.‎ ‎15.六位同学坐在一排，现让六位同学重新坐，恰有两位同学坐自己原来的位置，则不同的坐法有________种（用数字回答）.‎ ‎【答案】135‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择，再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，计算得到答案.‎ ‎【详解】根据题意先确定2个人位置不变，共有种选择.‎ 再确定4个人坐4个位置，但是不能坐原来的位置，共有种选择，‎ 故不同的坐法有.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了分步乘法原理，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎16.若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________.‎ ‎【答案】‎ - 22 -‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】由知x＞0，故.‎ 令，则.‎ 当时，；当时，.‎ 所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.‎ 故，即.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17.如图中，为的中点，，，.‎ ‎（1）求边的长；‎ ‎（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.‎ ‎【答案】（1）10；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，进而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，可求S△ADC6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分线的性质可得，根据S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．‎ ‎【详解】（1）因在边上，所以，‎ 在和中由余弦定理，得，‎ - 22 -‎ 因为，，，，‎ 所以，所以，.‎ 所以边的长为10.‎ ‎（2）由（1）知为直角三角形，所以，.‎ 因为是的角平分线，‎ 所以.‎ 所以，所以.‎ 即的面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎18.在四棱椎中，四边形为菱形，，，，，，分别为，中点..‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）证明，得到平面，得到证明.‎ ‎（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，计算夹角得到答案.‎ - 22 -‎ ‎【详解】（1）因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，‎ 又因为是的中点，所以，又因为，，所以，‎ 又，，，所以，‎ 又，，所以平面，所以，‎ 又因为是菱形，，所以，又，‎ 所以平面，所以.‎ ‎（2）由题意结合菱形的性质易知，，，‎ 以点为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，‎ 则，，，，，‎ 设平面的一个法向量为，则：，‎ 据此可得平面的一个法向量为，‎ 设平面的一个法向量为，则：，‎ 据此可得平面的一个法向量为，‎ ‎，‎ 平面与平面所成锐二面角的余弦值.‎ ‎【点睛】本题考查了线线垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ - 22 -‎ ‎19.设椭圆的左右焦点分别为，离心率是，动点在椭圆上运动，当轴时，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）延长分别交椭圆于点（不重合）.设，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意直接计算得到，，得到椭圆方程.‎ ‎（2）不妨设，且，设，代入 数据化简得到 ‎，故，得到答案.‎ ‎【详解】（1），所以，，化简得，‎ 所以，，所以方程为；‎ ‎（2）由题意得，不在轴上，不妨设，且，设，‎ 所以由，得，‎ 所以，‎ - 22 -‎ 由，得，代入，‎ 化简得：，‎ 由于，所以，同理可得，‎ 所以，所以当时，最小为 ‎【点睛】本题考查了椭圆方程，椭圆中的向量运算和最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20.已知函数（）在定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）若有两个不同的极值点，，且，若不等式恒成立.求正实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到有两个不相等实根，令，计算函数单调区间得到值域，得到答案.‎ ‎（2），是方程的两根，故，化简得到，设函数，讨论范围，计算最值得到答案.‎ ‎【详解】（1）由题可知有两个不相等的实根，‎ 即：有两个不相等实根，令，‎ ‎，，‎ ‎，；，，‎ - 22 -‎ 故在上单增，在上单减，∴.‎ 又，时，；时，，‎ ‎∴，即.‎ ‎（2）由（1）知，，是方程的两根，‎ ‎∴，则 因为在单减，∴，又，∴‎ 即，两边取对数，并整理得：‎ 对恒成立，‎ 设，，‎ ‎，‎ 当时，对恒成立，‎ ‎∴在上单增，故恒成立，符合题意；‎ 当时，，时，‎ ‎∴在上单减，，不符合题意.‎ 综上，.‎ ‎【点睛】本题考查了根据极值点求参数，恒成立问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎21.某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全公司范围内举行一次 - 22 -‎ 普查，为此需要抽验1000人的血样进行化验，由于人数较多，检疫部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验1000次.方案②：按个人一组进行随机分组，把从每组个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴性，这个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验次）；否则，若呈阳性，则需对这个人的血样再分别进行一次化验，这样，该组个人的血总共需要化验次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概率为，且这些人之间的试验反应相互独立.‎ ‎（1）设方案②中，某组个人的每个人的血化验次数为，求的分布列；‎ ‎（2）设，试比较方案②中，分别取2，3，4时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下，相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数）‎ ‎【答案】（1）分布列见解析；（2）406.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为，得到分布列.‎ ‎（2）计算，代入数据计算比较大小得到答案.‎ ‎【详解】（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为，则.‎ 所以个人的血混合后呈阴性反应的概率为，呈阳性反应的概率为.‎ 依题意可知，，所以的分布列为：‎ ‎（2）方案②中.‎ 结合（1）知每个人的平均化验次数为：‎ - 22 -‎ 时，，此时1000人需要化验的总次数为690次，‎ 时，，此时1000人需要化验的总次数为604次，‎ 时，，此时1000人需要化验的次数总为594次，‎ 即时化验次数最多，时次数居中，时化验次数最少，而采用方案①则需化验1000次，‎ 故在这三种分组情况下，相比方案①，‎ 当时化验次数最多可以平均减少次.‎ ‎【点睛】本题考查了分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.心形线是由一个圆上的一个定点，当该圆在绕着与其相切且半径相同的另外一个圆周上滚动时，这个定点的轨迹，因其形状像心形而得名，在极坐标系中，方程（）表示的曲线就是一条心形线，如图，以极轴所在的直线为轴，极点为坐标原点的直角坐标系中.已知曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与相交于、、三点，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）（）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 22 -‎ ‎（1）化简得到直线方程为，再利用极坐标公式计算得到答案.‎ ‎（2）联立方程计算得到，，计算得到答案 .‎ ‎【详解】（1）由消得，即，‎ 是过原点且倾斜角为的直线，∴的极坐标方程为（）.‎ ‎（2）由得，∴，‎ 由得∴，∴.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程，极坐标方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若的解集包含，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对范围分类整理得：，分类解不等式即可．‎ ‎（2）利用已知转化为“当时，”恒成立，利用绝对值不等式的性质可得：，问题得解．‎ - 22 -‎ ‎【详解】当时，，‎ 当时，由得，解得；‎ 当时，无解；‎ 当时，由得，解得，‎ 所以的解集为 ‎（2）的解集包含等价于在上恒成立，‎ 当时，等价于恒成立，‎ 而，∴，‎ 故满足条件的的取值范围是 ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，还考查了转化能力及绝对值不等式的性质，考查计算能力，属于中档题．‎ - 22 -‎ - 22 -‎