福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期阶段考试数学试题

福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期阶段考试数学试题

www.ks5u.com ‎2019年秋季南安侨光中学高一年第2次阶段考 数学试卷 一、选择题（本大题共13小题，每小题5分，共65分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）‎ ‎1.的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用诱导公式化简求解即可．‎ ‎【详解】cos420°＝cos60°．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查诱导公式以及特殊角的三角函数值的求法，考查计算能力．‎ ‎2.下列函数与函数表示同一个函数的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别判断函数的定义域和对应法则是否和相同即可．‎ ‎【详解】，与的对应法则不相同，不是同一函数 ‎，函数的定义域为R，与的对应法则和定义域相同，是同一函数 ‎，函数的定义域为，定义域不同，不是同一函数 ‎，函数的定义域为，定义域不相同，不是同一函数 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数概念，判断函数的定义域和对应法是否均相同是解决本题的关键 ‎3.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0≥x02-1”的否定为（　　）‎ A. , B. ,‎ C. , D. ,‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．‎ ‎【详解】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0≥x02-1”的否定为：∀x∈（0，+∞），lnx＜x2-1．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查命题的否定．特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．‎ ‎4.若幂函数在上是递减函数，则的值为（ ）‎ A. -1 B. -3 C. 1 D. 3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数f（x）是幂函数列方程m2﹣2m﹣2＝1求得m的值，再讨论是否满足f（x）是（0，+∞）上的减函数．‎ ‎【详解】函数f（x）＝（m2﹣2m﹣2）xm-2是幂函数，‎ 则m2﹣2m﹣2＝1，即m2﹣2m﹣3＝0，‎ 解得m＝3或m＝﹣1；‎ 当m＝3时， m﹣2＝1，函数f（x）＝x不是（0，+∞）上的减函数，不满足题意；‎ 当m＝﹣1时，m﹣2＝-3，函数f（x）＝是（0，+∞）上的减函数，满足题意；‎ 所以m的值为-1．‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．‎ ‎5.函数零点所在区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的单调性，通过求解f（2），f（1）的值，利用零点判断定理，从而得出结论．‎ ‎【详解】∵函数是x＞0时的连续增函数，‎ 函数f（1）＝1＜0，f（2）＝ln2＞0，f（1）•f（2）＜0，‎ ‎∴函数的零点所在区间为（1，2）；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了函数零点问题，函数零点判断定理的应用，本题是一道基础题．‎ ‎6.下列各函数中，最小值为的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本初等函数性质求最小值逐项判断 ‎【详解】对A, 0,最小值为0，不合题意；‎ 对B, 当x=0等号成立，符合题意 对C, ,最小值为1，不合题意；‎ 对D, 不符合题意 故选：B ‎【点睛】本题主要考查了基本初等函数求解函数的最值（值域），是基础题 ‎7.函数的定义域是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数成立的条件，即可求出函数的定义域．‎ ‎【详解】要使函数有意义，则，‎ 即，‎ 故1≤x＜2，‎ 即函数的定义域为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，要求熟练掌握常见函数成立的条件，比较基础．‎ ‎8.已知扇形的周长为，圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得：2R+Rα＝4，2联立解得即可得出．‎ ‎【详解】由题意可得：2R+Rα＝4，2,联立解得α＝2,R＝1则面积为 ‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了弧长公式、扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎9.三个数，，的大小关系，从小到大的顺序是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依据对数的性质，指数的性质，分别确定0.76，60.7，数值的大小，然后判定选项．‎ ‎【详解】∵0.76∈（0，1）；60.7＞1；=1‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题．‎ ‎10.函数的图象大致是（）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】因为2、4是函数的零点，所以排除B、C；‎ 因为时，所以排除D,故选A ‎11.已知 ，且，若恒成立，则实数的值取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用“乘1法”和基本不等式的性质，恒成立⇔ 2m＜．即可得出．‎ ‎【详解】∵x＞0，y＞0，‎ ‎∴48．当且仅当x＝2y＝4时取等号．‎ 若恒成立，∴2m＜8， 解得m＜4．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质、恒成立的等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知函数,则满足的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 判断函数的奇偶性和单调性，根据函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．‎ ‎【详解】是奇函数且函数f（x）是增函数，又 ‎ 则不等式等价为，‎ 即，得 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．‎ ‎13.已知函数，若对于任意的实数、、，均存在以、、为三边边长的三角形，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对实数分、、三种情况讨论，求出函数的最大值和最小值，由题意得出，由此可求出实数的取值范围.‎ ‎【详解】当时，，当且仅当时，等号成立，且，，此时，；‎ ‎①若时，函数在区间上单调递减，则，即，‎ 那么，当时，，，‎ 由题意可得，则有，解得，此时，；‎ ‎②当时，且当时，，则，，成立，此时；‎ ‎③当时，函数在区间上单调递增，则，即，则，，‎ 由题意可得，则有，解得，此时.‎ 综上所述，.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题考查函数最值的应用，同时也考查了分段函数的最值，解题的关键就是将题意转化为关于函数最值相关的不等式求解，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.‎ 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）‎ ‎14.的角所对应的弧度数为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由180°＝π，得1°，则答案可求．‎ ‎【详解】∵180°＝π，‎ ‎∴1°，则15°＝15．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查弧度与角度的互化，是基础题．‎ ‎15.已知，，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角三角函数基本关系求得的值 ‎【详解】知，∈（0，），则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题．‎ ‎16.已知二次函数只有一个零点，则实数__________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 函数f（x）有唯一解时△＝0即可求解 ‎【详解】∵是二次函数则a+2≠0 故△＝，则a＝或 故答案为：或 ‎【点睛】本题主要考查函数零点问题．注意零点不是点，是函数f（x）＝0时x的值．‎ ‎17.已知函数在上是递减函数，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得a＞0，且1﹣a×2≥0，由此求得实数a的取值范围．‎ ‎【详解】由题意可得，a＞0，故函数t＝1﹣ax在区间[0，2]上单调递减．‎ 再根据在区间[0，2]上单调递减，可得1﹣a×2≥0，‎ 解得0＜a≤ ，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于基础题．‎ ‎18.已知函数， 若恰有个实数根，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知中分段函数的解析式，分类讨论满足f（x）＝0恰有2个实数根的实数a的取值范围，综合可得答案．‎ ‎【详解】当a≤0时，方程f（x）＝0无实根；‎ 当0＜a＜1时，要使f（x）＝0恰有2个实数根，须2a≥1，‎ ‎∴‎ 当a≥1时，要使f（x）＝0恰有2个实数根，须21﹣a≤0，‎ ‎∴a≥2‎ 综上，所求为，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查的知识点是分段函数的应用，分类讨论思想，方程根的存在性质及个数判断，难度中档．‎ 三、解答题：（本大题共5小题，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎19.（1）求值： ；‎ ‎（2）已知角的终边经过点，求的值.‎ ‎【答案】（1）2；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用指数幂运算及对数运算求解 ‎（2）根据三角函数的定义，讨论及计算r，再利用正余弦函数的定义求出，即可求解 ‎【详解】（1）原式=. ‎ ‎（2）∵r＝＝5，‎ 当时， ∴sin＝，cos＝＝，‎ ‎∴2sin＋cos＝－＋＝－.‎ 当时， ∴sin＝，cos＝＝，‎ ‎∴2sin＋cos＝.综上，=‎ ‎【点睛】本题考查指数幂与对数运算，考查正弦函数的定义，解题的关键是正确运用定义讨论，属于基础题．‎ ‎20.已知集合，,，()．‎ ‎（1）求集合；‎ ‎（2）若命题，命题，且是的充分条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出集合的等价条件，结合交集的定义进行求解即可．‎ ‎（2）利用集合关系讨论，列不等式进行求解即可．‎ ‎【详解】（1）即 ‎ ‎ ,又 ‎ ‎（2）依题意得，‎ 当时 ‎ 当时 ‎ 综上所述或 ‎【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，求出集合的等价条件，结合集合关系进行转化是解决本题的关键．比较基础．‎ ‎21.已知，函数.‎ ‎（1）求的定义域；‎ ‎（2）若在上的最小值为，求的值.‎ ‎【答案】（1） ； （2） .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意，函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；‎ ‎（2）由题意，化简得，设，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解．‎ ‎【详解】（1）由题意，函数，‎ 满足 ，解得，即函数的定义域为．‎ ‎（2）由，‎ 设，则表示开口向下，对称轴的方程为，‎ 所以在上为单调递增函数，在单调递减，‎ 根据复合函数的单调性，可得 因为，函数在为单调递增函数，在单调递减，‎ 所以，解得；‎ 故实数的值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查了对数函数的图象与性质的应用，以及与对数函数复合函数的最值问题，其中解答中熟记对数函数的图象与性质，合理分类讨论求解是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎22.某企业生产一种产品，根据经验，其次品率与日产量 （万件）之间满足关系, （其中为常数，且，已知每生产1万件合格的产品以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元（注:次品率=次品数/生产量， 如表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品）.‎ ‎（1）试将生产这种产品每天盈利额 （万元）表示为日产量 （万件）的函数；‎ ‎（2）当日产量为多少时，可获得最大利润?‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用每天的赢利为P（x）＝日产量（x）×正品率（1﹣Q）×2﹣日产量（x）×次品率（Q）×1，整理即可得到P（x）与x的函数式；‎ ‎（2）当a＜x≤11时，求得P（x）的最大值；当1≤x≤a时，设12﹣x＝t，利用基本不等式可得x＝9时，等号成立，故可分类讨论得：当1＜a＜3时，当x＝11时，取得最大利润； 3≤a＜9时，运用复合函数的单调性可得当x＝a时取得最大利润；当9≤a≤11时，当日产量为9万件时，取得最大利润．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ ‎∴.‎ 当时，，‎ ‎∴.‎ 综上，日盈利额（万元）与日产量x（万件）的函数关系式为 ‎，（其中a为常数，且）.‎ ‎（2）当时，，其最大值为55万元.‎ 当时，，设，则，‎ 此时，，‎ 显然，当且仅当，即时，有最大值，为13.5万元.‎ 令，得，‎ 解得（舍去）或，‎ 则（i）当时，日产量为11万件时，可获得最大利润5.5万元.‎ ‎（ii）当时，时，‎ 函数可看成是由函数与复合而成的.‎ 因为，所以，故在上为减函数 又在上为减函数，所以在上为增函数 故当日产量为a万件时，可获得最大利润万元.‎ ‎（iii）当时，日产量为9万件时，可获得最大利润13.5万元.‎ ‎【点睛】本题考查利润函数模型的应用，并且利用基本不等式求得函数的最值问题，也考查分类讨论思想方法，是难题．‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；‎ ‎（2）对任意，恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用奇函数的定义证明即可；‎ ‎（2）先判断的单调性并求值域，构造函数，讨论a的正负确定最小值求解即可 ‎【详解】（1）定义域为R，f（﹣x）f（x）；∴f（x）为奇函数；‎ ‎（2）f（x）1‎ 由于e2x+1为增函数且e2x+1＞0，∴为减函数，∴f（x）为R上的增函数，故f（x）<1‎ 对任意，恒成立，‎ 令 当，在单调递减，则单调递增，故的最小值为，则只需 当时， ，而f（x）<1,故不恒成立，舍去 综上：的取值范围为 ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性，单调性，恒成立问题，解题的关键在于判断两个函数的单调性属于综合题．‎ ‎ ‎