北京市八一学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市八一学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题

北京市八一学校2019～2020学年度第二学期期中试卷 高二数学 一、选择题（共30小题，每小题2分，共计60分）．从四个选项中选择一个最佳选项．‎ ‎1.空集不包含任何元素，也就是空集中的元素个数是（ ）‎ A. 0 B. 1‎ C. D. i（虚数单位，平方等于）‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由空集的定义即可得到答案.‎ ‎【详解】由空集的定义知，空集不含任何元素，所以空集中的元素个数为0.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查空集的定义，考查学生对空集含义的理解，是一道容易题.‎ ‎2.准确表达“0是自然数，直线a在平面内”的是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 元素与集合的关系是和；集合与集合的关系是和.‎ ‎【详解】0是自然数是元素与集合的关系，所以；直线a在平面内是集合与集合的关系，‎ 所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查元素与集合、集合与集合关系，是一道容易题.‎ ‎3.记集合，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先算出，再按交集的定义运算即可.‎ ‎【详解】由已知，，又，所以.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查集合间的基本运算，涉及到交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.‎ ‎4.若，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用作差法比较即可.‎ 详解】，又，，‎ 所以，所以.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查作差法比较不等式的大小，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎5.由均值不等式知道，，当且仅当时取等号；当时，由知道．如下判断全部正确的是（ ）‎ A. 有最小值2，有最大值4 B. 有最小值2，有最小值4‎ C. 有最小值1，ab有最大值4 D. 有最小值1，ab有最小值4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用基本不等式求最值要注意条件是否满足.‎ ‎【详解】，当时，有最小值1，由，知，‎ ‎，即，，当且仅当时，等号成立，‎ 所以ab有最小值4.‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查由基本不等式求最值，要注意一正、二定、三相等，考查学生的运算能力，是一道容易题.‎ ‎6.关于x的不等式的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 只需解不等式组即可.‎ ‎【详解】由题意，原不等式的解等价于不等式组的解，‎ 而的解为，所以原不等式的解集为.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查解分式型不等式，考查学生的数学计算能力、转化与化归思想，是一道容易题.‎ ‎7.下列计算正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 时 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用指数式、对数式的运算性质计算即可.‎ ‎【详解】，故A错误；‎ ‎，故B错误；，故C正确；‎ 当时，，故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查指数式、对数式的运算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎8.（ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用三角函数诱导公式运算即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查三角函数诱导公式的化简、求值，考查学生的运算能力，是一道容易题.‎ ‎9.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用，结合即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，，所以.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎10.已知，则下列计算错误的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对选项A、B利用诱导公式即可判断；对选项C、D利用二倍角公式即可判断.‎ ‎【详解】，故A错误；‎ 因为，，‎ 所以，故B正确；‎ ‎，故C正确；‎ ‎，故D正确.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查三角函数的诱导公式以及三角恒等变换中的给值求值问题，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎11.（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用二倍角的正切公式计算即可，要注意.‎ ‎【详解】由，得，‎ 解得或（舍）.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查利用二倍角公式求特殊角的三角函数值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎12.若，则的导函数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用导数的定义即可得到答案.‎ ‎【详解】由导数的定义可知，.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查导数的定义，考查学生对定义的理解与辨析，是一道容易题.‎ ‎13.下列关于的函数的求导的运算中，正确的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对所给选项进行逐一判断即可.‎ ‎【详解】，故A正确；‎ ‎，故B错误；‎ ‎，故C错误；‎ ‎，故D错误.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查导数的四则运算，涉及到复合函数的导数，考查学生的基本运算能力，是一道容易题.‎ ‎14.已知平行四边形ABCD中，AB=2，AD=1，∠A=60°．则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可判断A；利用数量积的定义以及数量积的运算律可判断B、C、D.‎ ‎【详解】，故A错误；‎ ‎，故B错误；‎ ‎，故C正确；‎ ‎，故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查向量的线性运算、数量积、向量模的计算，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎15.已知正方体（如图），则（ ）‎ A. 直线CF与GD所成的角与向量所成的角相等 B. 向量是平面ACH的法向量 C. 直线CE与平面ACH所成角的正弦值与的平方和等于1‎ D. 二面角的余弦值等于 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以D为原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法依次对所给选项进行检验.‎ ‎【详解】以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则 ‎，‎ 对于选项A，连接，因为为等边三角形，所以异面直线CF与GD所成 的角为，而，所以 ‎，所以，故A错误；‎ 对于选项B，，，‎ 则，，所以 ‎，，即，，又，所以 平面，所以向量是平面ACH的法向量，故B正确；‎ 对于选项C，设直线CE与平面ACH所成角为，，‎ 所以，所以，故C错误；‎ 对于选项D，连接，设，连接，‎ 因为，M为中点，所以，‎ 所以为的二面角，易得，‎ ‎，所以，‎ 所以D错误.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查利用坐标法求线面角、面面角以及证明线面垂直，考查学生的计算能力，是一道中档题.‎ ‎16.（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用加法法则运算即可.‎ ‎【详解】.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查复数的加法运算，是一道基础题.‎ ‎17.若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复数的除法，求出复数z即可.‎ ‎【详解】复数z满足， ，‎ 故本题选B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的四则运算，要求掌握复数的除法运算，比较基础.‎ ‎18.复数的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出共轭复数，再利用复数的几何意义即可得到答案.‎ ‎【详解】复数的共轭复数为，其所对应的点为，在第三象限.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查复数的几何意义，属于容易题.‎ ‎19.若总成立，则函数的图象（ ）‎ A. 关于点对称 B. 关于对称 C. 以4为周期 D. 关于原点对称 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令，由得，即为奇函数，即是奇函数，可得函数的图象的对称性.‎ ‎【详解】令，由已知，，‎ 所以为奇函数，即函数的图象关于原点对称.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查抽象函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.‎ ‎20.若函数的零点是2，则函数的零点是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据零点的定义即可得到答案.‎ ‎【详解】由已知，，所以，即1为函数的零点.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查抽象函数的零点问题，属于容易题.‎ ‎21.把函数的图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的图象所对应的函数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 注意横坐标伸缩变换针对的是自变量x.‎ ‎【详解】由题意，函数的图象上的每个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到的 图象所对应的函数是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数伸缩变换问题，要注意，横坐标伸缩变换针对的是自变量x，本题是一道容易题.‎ ‎22.下列大小比较正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由指数函数的单调性可判断A；由对数函数的单调性可判断B；由幂函数的单调性可判断C；由余弦函数值可判断D.‎ ‎【详解】由在上是增函数，知，故A错误；‎ 由在上是减函数，知，故B错误；‎ 由在上是减函数，知，故C正确；‎ 由，知，故D错误.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查比较大小的问题，涉及到指数函数、对数函数、幂函数的单调性以及余弦函数，是一道容易题.‎ ‎23.过点的直线与圆有两个交点A和B，它们与原点O确定的三角形OAB的面积最大值是（ ）‎ A. B. ‎1 ‎C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，即可得到最大值.‎ ‎【详解】如图，设，则，‎ 当时，取得等号.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，涉及到三角形面积的最值，是一道容易题.‎ ‎24.已知函数，其中，则（ ）‎ A. 函数的定义域是 B. 函数的值域是 C. 不等式的解集是 D. 零点是 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别对所给选项进行逐一判断即可.‎ ‎【详解】由已知，函数的定义域是，故A错误；‎ 因为，所以，，故B错误；‎ 由，得，解得，‎ 又，所以，所以不等式的解集是，故C错误；‎ 令，得，所以，‎ 所以的零点为，故D正确.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查函数的定义域、值域、函数的零点、解不等式，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎25.已知函数．记“，”为，记“为；p中常数a的取值范围记为集合A，q中常数a 的取值范围记为集合B．则下列说法正确的是（ ）‎ ‎①p是q的充分条件；②p是q的必要条件；③集合A是B的子集；‎ ‎④集合B是A的子集；⑤集合A是B的真子集；⑥集合B是A的真子集．（ ）‎ A. ①③⑤ B. ②④⑥ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎，，只需即可，，只需即可，分别求出的a的范围为集合A、集合B即可得到答案.‎ ‎【详解】因为，由复合函数的单调性，知是增函数，，‎ ‎，只需即可，又，即 ‎，解得，所以；‎ ‎，只需即可，又，‎ 即，解得，所以，所以是的真子集，‎ 故p是q的充分条件，集合A是B的子集，集合A是B的真子集.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查函数恒成立、能成立求参数范围的问题，涉及到子集、真子集、充分条件、必要条件，是一道中档题.‎ ‎26.函数的切线经过点，相应的切点坐标是（ ）‎ A. B. ‎ C. 或 D. 或 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为，由已知，解得，要注意检验切点是否在切线上.‎ ‎【详解】设切点为，则切线的斜率为，解得，‎ 当时，，此时切点为，但不满足方程，故舍去；‎ 当时，，此时切点为，满足方程.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎27.函数的增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求定义域，再求函数的导函数，令解不等式即可.‎ ‎【详解】由已知，函数的定义域为，，令，得，所以函数 的增区间是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎28.函数的极小值点是（ ）‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. D. 不存在的 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据极值点的定义判断.‎ ‎【详解】由极小值的定义知，在1附近点的函数值都比1处的函数值大，故1是函数 的极小值点.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查函数极值点的定义，考查学生对定义的理解，是一道容易题.‎ ‎29.函数在上的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用导数研究函数在上的单调性即可得到最小值.‎ ‎【详解】，当时，‎ ‎，当时，，所以函数在上单调递减，‎ 在上单调递增，所以函数的最小值为.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的最小值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎30.某次考试都是判断题，每做对一道题得10分，做错得0分．一共有10道题，满分是100分．甲、乙、丙、丁四位同学的解答和得分如下表．由此可知丁同学的得分是（ ）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 得分 甲 对 错 对 对 错 错 对 错 错 对 ‎50‎ 乙 错 对 对 错 对 错 错 对 对 错 ‎70‎ 丙 错 错 错 对 对 对 错 错 对 错 ‎80‎ 丁 错 错 对 对 对 错 错 错 对 错 A. 70 B. ‎80 ‎C. 90 D. 100‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由乙70分，丙80分，则乙丙答案一样的题是正确的，而甲与乙有3，6题一样，甲与丙有2，4，8题答案，所以甲做对的题号为2，3，4，6，8，所以10个题的正确答案为：错错对对对错错错对错，即可算得丁的得分.‎ ‎【详解】因为乙有70分，丙有80分，则乙丙答案一样的有1，5，7，9，10题，且这些题目都是正确的，若这些题至少有1个不正确，不妨设为1号题，则甲1号题正确，5，7，9，10题错误，由于甲得了50分，所以2，3，4，6，8中有4道正确1道错误，而乙、丙还需在2，3，4，6，8中乙对3道，丙对4道，乙、丙在这些题号答案不一样，显然不能同时成立，所以1，5，7，9，10题乙、丙答案正确，所以甲做对的题号为2，3，4，6，8，又甲与乙有3，6题答案一样，甲与丙有2，4，8题答案一样，满足乙得分为70分，丙得分为80分，故10个题的正确答案为：错错对对对错错错对错，故丁的得分为100分.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查简单的推理与证明，考查学生的逻辑推理能力，观察能力，是一道中档题.‎ 二、填空题（共10小题，每小题2分，共20分）．直接将‘十进制的数字结果’写在横线上．‎ ‎31.书架有三层，第一层有5本不同的数学书，第二层有4本不同的语文书，第三层有3本不同的英语书．现从书架上任取两本不同科目的书，有_________取法．‎ ‎【答案】47‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分所取的两本书为数学、语文，数学、英语，语文、英语三种情况讨论即可.‎ ‎【详解】分三类：‎ 第一类：所取的两本书为数学、语文，共有种不同取法；‎ 第二类：所取的两本书为数学、英语，共有种不同取法；‎ 第三类：所取的两本书为语文、英语，共有种不同取法；‎ 由加法原理，共有种取法.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查分类加法计数原理、分步乘法计数原理，考查学生分类讨论思想，是一道容易题.‎ ‎32.有5位同学各自独立地报名课外兴趣小组，可报名的小组有中华传统文化、生物技术（Biotechnology）、数学应用共3个．如果每位同学限报一个小组，小组招收人数没有上限，那么所有可能的不同的报名结果有_________种．‎ ‎【答案】243‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 每位同学都有3种不同的报名方式，根据分步乘法原理即可求解.‎ ‎【详解】每位同学都有3种不同的报名方式，根据分步乘法原理，知有5位同学不同的报名 方式有种.‎ 故答案：‎ ‎【点睛】本题考查简单的计数问题的应用，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎33.用0，1，2，3，4这5个数字组成三位数，其中有_________个无重复数字的偶数．‎ ‎【答案】30‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分个位为0和不为0两类进行讨论，注意特殊位置优先安排.‎ ‎【详解】当个位数为0时，从剩下的4个数中选出两个排在十位、百位，共有个这样的数；‎ 当个位数为2或4时，从剩下的非零的3个数中选一个排百位，再从余下的3个数中选一个 排十位，共有个这样的数.‎ 综上，共有30个无重复数字的偶数.‎ 故答案为：30‎ ‎【点睛】本题考查排列与组合中的排数问题，考查学生的分类讨论思想，逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎34.有4位同学和2位教师一起合影．若教师不能坐在两端，也不坐在一起，则有_________种坐法．‎ ‎【答案】144‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先排4位同学，将教师插入4位同学产生的3个空位中，再由乘法原理即可得到答案.‎ ‎【详解】先排4位同学共有种不同排法，由于教师不能坐在两端，也不坐在一起，将2位老师插 入4位同学产生的3个空位中，共种不同排法，由乘法原理，共有种不同排 法.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查排列的实际应用，涉及到特殊元素分析法，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.‎ ‎35.把6块相同的牛排分给4位同学，每人至少一块，有_________种分法．‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分4位同学分得的牛排数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可.‎ ‎【详解】分两类：‎ 第一类：当4位同学分得的牛排数为1，1，1，3时，共有种；‎ 第二类：当4位同学分得的牛排数为1，1，2，2时，共有种，‎ 由加法原理，知共有种不同分法.‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题考查简单的计数问题，本题当然也可以采用隔板法，将6块牛排排成一排，产生5个空位，从中选择3个空位插入3个板，共有种不同插板方式.考查学生的逻辑推理能力，是一道容易题.‎ ‎36.把6张不同的充值卡分给4位同学，每人至少1张，有_________种分法 ‎【答案】1560‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分4位同学分得的卡数为1，1，1，3和1，1，2，2两种情况讨论即可.‎ ‎【详解】分两类：‎ 第一类：当4位同学分得的卡数为1，1，1，3时，共有种；‎ 第二类：当4位同学分得的卡数为1，1，2，2时，共有种，‎ 由加法原理，知共有种不同分法.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查排列与组合中的部分均匀分组问题，考查学生逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎37.若，则_________‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由可得，再利用组合数公式计算即可.‎ ‎【详解】由已知，，，所以，‎ 即，，解得.‎ 故答案为：5‎ ‎【点睛】本题考查排列数、组合数的运算，考查学生的基本计数能力，是一道容易题.‎ ‎38.在的展开式中，含的项的二项式系数为_________‎ ‎【答案】10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由二项式定理得到通项，令x的次数等于4，解得r即可得到二项式系数.‎ ‎【详解】二项展开式的通项为，令，‎ 得，故展开式第三项为含的项，所以含的项的二项式系数为.‎ 故答案为：10‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理的应用，要注意项的系数与二项式系数的区别，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.‎ ‎39.若，则_________‎ ‎【答案】123‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在所给式子中分别令，，相减得到得值，又令得到得值，相加即可得到答案.‎ ‎【详解】令，得，‎ 令，得①，‎ 令，得②，‎ ‎①—②，得，所以，‎ 又，所以.‎ 故答案为：123‎ ‎【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式中部分项的系数和，考查学生的基本计算能力，是一道中档题.‎ ‎40.某班共有40学生．某次考试中，甲、乙、丙3位同学的成绩都在班级前10名．甲的成绩比乙高，乙的成绩比丙高，全班没有并列名次．如果把甲、乙的成绩排名依次作为横坐标x、纵坐标y，那么这样的点坐标共有_________个．‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设丙的成绩排名为，则，将所求问题转化为从小于等于10的正整数中选取3个数，最大那个数为，最小那个数为即可.‎ ‎【详解】设丙的成绩排名为，由题意，，所求问题相当于从小于等于10的正整 数中选取3个数，最大那个数为，最小那个数为，则共有种，故甲、乙的 成绩排名依次作为横坐标x、纵坐标y，那么这样的点坐标共有120个.‎ 故答案为：120‎ ‎【点睛】本题考查排列组合的综合应用，考查学生转化与化归思想，是一道中档题.‎ 三、解答题（共2小题，每小题10分，共20分）．写出演算、推理等解答的全部过程．‎ ‎41.已知函数，其中．‎ ‎（1）求的值：‎ ‎（2）求函数单调区间 ‎【答案】（1）；（2）单调增区间为，单调减区间为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用倍角公式、辅助角公式化简，再将代入计算即可；‎ ‎（2）由得，分别解，两个不等式即可得到单调区间.‎ ‎【详解】（1），‎ 所以.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 由，得；‎ 由，得.‎ 所以函数的单调增区间为，单调减区间为.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换与三角函数性质得综合应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.‎ ‎42.已知函数 ‎（1）当时，求的最小值：‎ ‎（2）求证：时，总有大于0的极大值．‎ ‎【答案】（1）0；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，利用导数研究其单调性，即可得到答案；‎ ‎（2），因为，所以只需讨论，两种情况，利用单调性找到极大值即可得到证明.‎ ‎【详解】（1）当时，，则，‎ 令，得；令，得或；‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，‎ 注意到当时，，且，所以的最小值为.‎ ‎（2）证明：‎ 由已知，，因为，‎ 若时，则，令，得；令，‎ 得或，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 在上单调递减，所以得极大值为 ‎；‎ 若时，则，令，得；令，‎ 得或，所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 在上单调递减，所以得极大值为.‎ 综上，时，总有大于0的极大值.‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的最值、极值，考查学生的逻辑推理能力，数学运算能力，是一道中档题.‎ ‎ ‎