【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版13-1-1坐标系学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版13-1-1坐标系学案

‎§13.1　坐标系与参数方程 第1课时　坐标系 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.‎ 会求伸缩变换，求点的极坐标和应用直线、圆的极坐标方程是重点，主要与参数方程相结合进行考查，以解答题的形式考查，难度中档.‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系 ‎(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ 可取任意角．‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：‎ 或，这就是极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin θ(0≤θ<π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) 或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a(0<θ<π)‎ 概念方法微思考 ‎1．平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？‎ 提示　不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点．‎ ‎2．由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？‎ 提示　平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．‎ 题组一　思考辨析 ‎1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)若点P的直角坐标为(1，－)，则点P的一个极坐标是.(　√　)‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(　√　)‎ ‎(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(　×　)‎ 题组二　教材改编 ‎2．若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为(　　)‎ A．ρ＝，0≤θ≤ B．ρ＝，0≤θ≤ C．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ D．ρ＝cos θ＋sin θ，0≤θ≤ 答案　A 解析　∵y＝1－x(0≤x≤1)，‎ ‎∴ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)；‎ ‎∴ρ＝.‎ ‎3．在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是(　　)‎ A. B. C．(1,0) D．(1，π)‎ 答案　B 解析　方法一　由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x2＋y2＝－2y，化成标准方程为x2＋(y＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为.‎ 方法二　由ρ＝－2sin θ＝2cos，知圆心的极坐标为，故选B.‎ 题组三　易错自纠 ‎4．在极坐标系中，已知点P，则过点P且平行于极轴的直线方程是(　　)‎ A．ρsin θ＝1 B．ρsin θ＝ C．ρcos θ＝1 D．ρcos θ＝ 答案　A 解析　先将极坐标化成直角坐标表示，P转化为直角坐标为x＝ρcos θ＝2cos ＝，y＝ρsin θ＝2sin ＝1，即(，1)，过点(，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsin θ＝1.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为 ．‎ 答案　x2＋y2－2y＝0‎ 解析　由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.‎ ‎6．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．‎ 解　由ρ＝4sin θ可得圆的直角坐标方程为x2＋y2＝4y，‎ 即x2＋(y－2)2＝4.‎ 由ρsin θ＝a可得直线的直角坐标方程为y＝a(a>0)．‎ 设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．‎ 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.‎ 在Rt△DOB中，易求DB＝a，‎ ‎∴B点的坐标为.‎ 又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴2＋a2－4a＝0，‎ 即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.所以a＝3.‎ 题型一　极坐标与直角坐标的互化 ‎1．(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r>0)为极坐标方程；‎ ‎(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．‎ 解　(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入x2＋y2＝r2(r>0)，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ＝r.‎ 所以以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ<2π)．‎ ‎(2)方法一　把ρ＝，sin θ＝代入ρ＝8sin θ，‎ 得＝8·，化简得x2＋y2－8y＝0，‎ 即x2＋(y－4)2＝16.‎ 方法二　方程ρ＝8sin θ两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsin θ，因为ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y，所以x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.‎ ‎2．在极坐标系中，已知曲线C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，C2：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；‎ ‎(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离．‎ 解　(1)∵C1：ρcos θ－ρsin θ－1＝0，‎ ‎∴x－y－1＝0表示一条直线．‎ 由C2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆．‎ ‎(2)由(1)知，点(1,0)在直线x－y－1＝0上，‎ ‎∴直线C1过圆C2的圆心．‎ 因此两交点A，B的连线是圆C2的直径．‎ ‎∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.‎ 思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．‎ ‎(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ 题型二　求曲线的极坐标方程 例1 将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.‎ ‎(1)求曲线C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1，得x2＋2＝1，‎ 即曲线C的标准方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率为k＝，‎ 于是所求直线的方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 故所求直线的极坐标方程为ρ＝.‎ 思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤 ‎(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点．‎ ‎(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式．‎ ‎(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ 跟踪训练1 已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.‎ ‎(1)求圆C和直线l的极坐标方程；‎ ‎(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．‎ 解　(1)∵ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，‎ ‎∴ρ2＋2ρcos θ－2ρsin θ＝0，‎ ‎∴圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.‎ 又直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 消去t后得y＝x＋1，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为sin θ－cos θ＝.‎ ‎(2)当θ＝时，|OP|＝2sin＝2，‎ ‎∴点P的极坐标为，|OQ|＝＝，‎ ‎∴点Q的极坐标为，故线段PQ的长为.‎ 题型三　极坐标方程的应用 例2　在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求＋.‎ 解　(1)由曲线C1的参数方程为(α为参数)，得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋(y－2)2＝1，‎ 则C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－4ρsin θ＋7＝0，‎ 由于直线C2过原点，且倾斜角为，‎ 故其极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(2)由得ρ2－(2＋2)ρ＋7＝0，设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1＋ρ2＝2＋2，ρ1ρ2＝7，‎ ‎∴＋＝＝＝.‎ 思维升华 极坐标应用中的注意事项 ‎(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位．‎ ‎(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题．‎ ‎(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系．‎ 跟踪训练2 (2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．‎ 解　(1)设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝.‎ 由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ>0)．‎ 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)．‎ 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，‎ 于是△OAB的面积S＝|OA|·ρB·sin∠AOB ‎＝4cos α· ‎＝2≤2＋.‎ 当α＝－时，S取得最大值2＋.‎ 所以△OAB面积的最大值为2＋.‎ ‎1．在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程．‎ 解　(1)ρ＝可化为ρ－ρsin θ＝2，‎ ‎∵ρ＝，ρsin θ＝y，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.‎ ‎(2)设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，‎ 根据题意＝3·，‎ 解得θ0＝或θ0＝，‎ ‎∴直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)或θ＝(ρ∈R)．‎ ‎2．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若射线θ＝分别与曲线C1，C2交于A，B两点(异于极点)，求|AB|的值．‎ 解　(1)由⇒ 两式相乘得x2－y2＝4.‎ 因为 所以曲线C1的极坐标方程为ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝4，‎ 即ρ2cos 2θ＝4，‎ 因为ρ＝4cos θ，所以ρ2＝4ρcos θ，‎ 则曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0.‎ ‎(2)联立得ρA＝2，‎ 联立得ρB＝2，‎ 故|AB|＝|ρB－ρA|＝2－2.‎ ‎3．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2sin，曲线C2的极坐标方程为ρsin θ＝a(a>0)，射线θ＝φ，θ＝φ＋，θ＝φ－，θ＝φ＋与曲线C1分别交异于极点O的四点A，B，C，D.‎ ‎(1)若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程；‎ ‎(2)求|OA|·|OC|＋|OB|·|OD|的值．‎ 解　(1)C1：ρ2＝2ρ＝2ρsin θ＋2ρcos θ，‎ 化为直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ 把C2的方程化为直角坐标方程为y＝a，因为曲线C1关于曲线C2对称，故直线y＝a经过圆心(1,1)，‎ 解得a＝1，故C2的直角坐标方程为y＝1.‎ ‎(2)由题意可得，|OA|＝2sin，‎ ‎|OB|＝2sin＝2cos φ，|OC|＝2sin φ，‎ ‎|OD|＝2cos，‎ 所以|OA|·|OC|＋|OB|·|OD|‎ ‎＝8sinsin φ＋8coscos φ ‎＝8cos ＝8×＝4.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为ρ(sin θ＋cos θ)＝.‎ ‎(1)求C的极坐标方程；‎ ‎(2)射线OM：θ＝θ1与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|·|OQ|的取值范围．‎ 解　(1)圆C的普通方程是(x－2)2＋y2＝4，‎ 又x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(2)设P(ρ1，θ1)，则有ρ1＝4cos θ1，‎ 设Q(ρ2，θ1)，且直线l的极坐标方程是ρ(sin θ＋cos θ)＝，‎ 则有ρ2＝，‎ 所以|OP||OQ|＝ρ1ρ2＝ ‎＝，‎ 所以2≤|OP||OQ|≤3.‎ 即|OP||OQ|的取值范围是[2,3]．‎ ‎5.如图，在直角坐标系xOy中，曲线C1：(α为参数)．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ ‎(1)求曲线C1的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)若直线l与C1，C2在第一象限分别交于A，B两点，P为C2上的动点，求△PAB面积的最大值．‎ 解　(1)依题意得，曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝7，‎ 曲线C1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－3＝0，‎ 直线l的直角坐标方程为y＝x.‎ ‎(2)曲线C2的直角坐标方程为(x－4)2＋y2＝16，‎ 设A，B，‎ 则ρ－4ρ1cos －3＝0，即ρ－2ρ1－3＝0，得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)，‎ ρ2＝8cos ＝4，则|AB|＝|ρ2－ρ1|＝1，‎ C2(4,0)到l的距离为d＝＝2，以AB为底边的△PAB的高的最大值为4＋2，‎ 则△PAB的面积的最大值为×1×(4＋2)＝2＋.‎ ‎6．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2是圆心在极轴上，且经过极点的圆．已知曲线C1上的点M对应的参数φ＝，射线θ＝与曲线C2交于点D.‎ ‎(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点A，B为曲线C1上的两个点且OA⊥OB，求＋的值．‎ 解　(1)将M及对应的参数φ＝，代入 得即 所以曲线C1的方程为φ为参数，‎ 所以曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1.‎ 设圆C2的半径为R，由题意，圆C2的极坐标方程为ρ＝2Rcos θ(或(x－R)2＋y2＝R2)，‎ 将点D代入ρ＝2Rcos θ，得1＝2Rcos ，‎ 即R＝1，‎ 所以曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cos θ，‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1.‎ ‎(2)设A(ρ1，θ)，B在曲线C1上，‎ 所以＋ρsin2θ＝1，＋ρcos2θ＝1，‎ 所以＋＝＋＝＋＝.‎