2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）教师word文档+填空题训练

2017届高考数学（文）二轮复习（江苏专用）教师word文档+填空题训练

限时练(一) (建议用时：40 分钟) 1.若 a＋bi＝ 5 1＋2i(i 是虚数单位，a，b∈R)，则 ab＝________. 解析　a＋bi＝ 5 1＋2i＝1－2i，所以 a＝1，b＝－2，ab＝－2. 答案　－2 2.在区间[20，80]内任取一个实数 m，则实数 m 落在区间[50，75]内的概率为 ________. 解析　选择区间长度度量，则所求概率为75－50 80－20 ＝ 5 12. 答案　 5 12 3.已知平面向量 a＝(2，4)，b＝(1，－2)，若 c＝a－(a·b)b，则|c|＝________. 解析　由题意可得 a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6， 所以 c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2，4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，所以|c|＝8 2. 答案　8 2 4.已知集合 A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，若 B∩A＝B，则实数 m 的取值范围是________. 解析　当 B＝∅时，有 m＋1≥2m－1，则 m≤2. 当 B≠∅时，若 B∩A＝B，则 B⊆A，如图所示. 则{m＋1 ≥ －2， 2m－1 ≤ 7， m＋1＜2m－1， 解得 2＜m≤4. 综上，m 的取值范围为(－∞，4]. 答案　(－∞，4] 5.某地政府调查了工薪阶层 1 000 人的月工资收入，并根据调查结果画出如图所示 的频率分布直方图，为了了解工薪阶层对月工资收入的满意程度，要采用分层抽 样的方法从调查的 1 000 人中抽出 100 人做电话询访，则(30，35](单位：百元)月 工资收入段应抽取________人. 解析　月工资收入落在(30，35](单位：百元)内的频率为 1－(0.02＋0.04＋0.05＋ 0.05＋0.01)×5＝1－0.85＝0.15，则 0.15÷5＝0.03，所以各组的频率比为 0.02∶0.04∶0.05∶0.05∶0.03∶0.01＝2∶4∶5∶5∶3∶1， 所以(30，35](单位：百元)月工资收入段应抽取 3 20×100＝15(人). 答案　15 6.运行如图所示的伪代码，其结果为________. S←1 For I From　1　To 7 step 2 S←S＋I End For Print S 解析　该伪代码输出的 S＝1＋1＋3＋5＋7＝17. 答案　17 7.在△ABC 中，设 a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，若 a＝5，A＝π 4 ，cos B＝ 3 5，则边 c＝________. 解析　由题意可得 sin B＝4 5，sin C＝sin(A＋B) ＝sin(π 4 ＋B)＝sin π 4 cos B＋cos π 4 sin B＝ 2 2 ×3 5＋ 2 2 ×4 5＝7 2 10 . 在△ABC 中，由正弦定理可得 a sin A＝ c sin C，则 c＝asin C sin A ＝ 5 × 7 2 10 2 2 ＝7. 答案　7 8.已知数列{an}是等差数列，若 a1＋1，a3＋3，a5＋5 构成公比为 q 的等比数列， 则 q＝________. 解析　法一　因为数列{an}是等差数列，所以 a1＋1，a3＋3，a5＋5 也成等差数列. 又 a1＋1，a3＋3，a5＋5 构成公比为 q 的等比数列， 所以 a1＋1，a3＋3，a5＋5 是常数列，故 q＝1. 法二　因为数列{an}是等差数列，所以可设 a1＝t－d，a3＝t，a5＝t＋d，故由已知 得(t＋3)2＝(t－d＋1)(t＋d＋5)， 得 d2＋4d＋4＝0，即 d＝－2， 所以 a3＋3＝a1＋1，即 q＝1. 答案　1 9.直三棱柱 ABC－A1B1C1 的各条棱长均为 2，E 为棱 CC1 的中点，则三棱锥 A1－ B1C1E 的体积为________. 解析　由题意得 S△A1B1C1＝1 4× 3×22＝ 3，又因为 E 为棱 CC1 的中点，所以 EC1＝1，所以 V 三棱锥 A1－B1C1E＝V 三棱锥 E－A1B1C1＝1 3EC1·S△A1B1C1＝ 3 3 . 答案　 3 3 10.设 F1，F2 分别为双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，若双曲线上存在 一点 P 使得 PF1＋PF2＝3b，PF1·PF2＝9 4ab，则该双曲线的离心率为________. 解析　由双曲线的定义得|PF1－PF2|＝2a，又 PF1＋PF2＝3b，所以(PF1＋PF2)2－ (PF1－PF2)2＝9b2－4a2，即 4PF1·PF2＝9b2－4a2，又 4PF1·PF2＝9ab，因此 9b2 －4a2＝9ab，即 9(b a ) 2 －9(b a )－4＝0， 则(3b a ＋1)(3b a －4)＝0， 解得b a＝4 3(b a＝－1 3 舍去)， 则双曲线的离心率 e＝ 1＋(b a )2 ＝5 3. 答案　5 3 11.若实数 x，y 满足 xy＝1，则 x2＋2y2 的最小值为________. 解析　因为 x2＋2y2≥2 x2·2y2＝2 2xy＝2 2，当且仅当 x＝ 2y 时，取“＝”，所 以 x2＋2y2 的最小值为 2 2. 答案　2 2 12.设函数 f(x)＝{1，x＞0， 0，x＝0， －1，x＜0， g(x)＝x2f(x－1)，则函数 g(x)的递减区间是________. 解析　由题意知 g(x)＝{x2，x＞1， 0，x＝1， －x2，x＜1， 函数图象如图所示，其递 减区间是[0，1). 答案　[0，1) 13.已知菱形 ABCD 的边长为 2，∠BAD＝120°，点 E，F 分别在边 BC，DC 上， BE＝λBC，DF＝μDC.若AE→ ·AF→ ＝1，CE→ ·CF→ ＝－2 3，则 λ＋μ＝________. 解析　如图所示，以菱形 ABCD 的两条对角线所在直线为坐 标轴，建立平面直角坐标系 xOy，不妨设 A(0，－1)，B(－ 3，0)，C(0，1)，D(3，0)，由题意得CE→ ＝(1－λ)CB→ ＝( 3λ－ 3，λ－1)， CF→ ＝(1－μ)CD→ ＝( 3－ 3μ，μ－1). 因为CE→ ·CF→ ＝－2 3，所以 3(λ－1)·(1－μ)＋(λ－1)·(μ－1)＝－ 2 3， 即(λ－1)(μ－1)＝1 3. 因为AE→ ＝AC→ ＋CE→ ＝( 3λ－ 3，λ＋1)，AF→ ＝AC→ ＋CF→ ＝( 3－ 3μ，μ＋1)， 又AE→ ·AF→ ＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2. 由{（λ－1）（μ－1）＝1 3， （λ＋1）（μ＋1）＝2， 整理得 λ＋μ＝5 6. 答案　5 6 14.设 A(1，0)，B(0，1)，直线 l：y＝ax，圆 C：(x－a)2＋y2＝1.若圆 C 既与线段 AB 有公共点，又与直线 l 有公共点，则实数 a 的取值范围是________. 解析　由于圆与直线 l 有交点，则圆心到直线的距离小于等于半径， 即有 a2 1＋a2 ≤1， 所以 a2∈[0， 1＋ 5 2 ]； 由于圆 C 与线段 AB 相交， 则 a≤2 且|a－1| 2 ≤1， 即{1－ 2 ≤ a ≤ 2＋1， a ≤ 2 ⇒1－ 2≤a≤2. 综上可得，实数 a 的取值范围是[1－ 2， 1＋ 5 2 ]. 答案　[1－ 2， 1＋ 5 2 ] 限时练(二) (建议用时：40 分钟) 1.设集合 A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{y|y＝－x2，－1≤x≤2}，则∁R(A∩B)＝ ________. 解析　由已知条件可得 A＝[－2，2]，B＝[－4，0]， ∴∁R(A∩B)＝(－∞，－2)∪(0，＋∞). 答案　(－∞，－2)∪(0，＋∞) 2.某中学为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生，得到他们在某一 天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下图的条形图表示.根据条形图可得这 50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为________小时. 解析　一天平均每人的课外阅读时间应为一天的总阅读时间与学生的比，即 0 × 7＋0.5 × 14＋1.0 × 11＋1.5 × 11＋2.0 × 7 50 ＝0.97(小时). 答案　0.97 3.若复数 z 满足(1＋2i)z＝－3＋4i(i 是虚数单位)，则 z＝________. 解析　∵(1＋2i)z＝－3＋4i，∴z＝－3＋4i 1＋2i ＝（－3＋4i）（1－2i） （1＋2i）（1－2i） ＝5＋10i 5 ＝1＋ 2i. 答案　1＋2i 4.下图是某算法的流程图，则算法运行后输出的结果是________. 解析　由框图的顺序，s＝0，n＝1，s＝(s＋n)n＝(0＋1)×1＝1，n＝n＋1＝2，依 次循环 s＝(1＋2)×2＝6，n＝3，注意此刻 3＞3 仍然否，所以还要循环一次 s＝(6 ＋3)×3＝27，n＝4，此刻输出 s＝27. 答案　27 5.在一个袋子中装有分别标注数字 1，2，3，4，5 的 5 个小球，这些小球除标注 数字外完全相同，现从中随机取 2 个小球，则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是________. 解析　从袋子中随机取 2 个小球共有 10 种不同的方法，其中取出的小球标注的数 字之和为 3 或 6 的方法共有 3 种，因此所求的概率等于 3 10. 答案　 3 10 6.在△ABC 中，BC＝2，A＝2π 3 ，则AB→ ·AC→ 的最小值为________. 解析　依题意得 a2＝b2＋c2－2bccos A， 即 b2＋c2＋bc＝4≥3bc，bc≤4 3，AB→ ·AC→ ＝bccos A ＝－1 2bc≥－2 3，当且仅当 b＝c＝ 4 3时取等号， 因此AB→ ·AC→ 的最小值是－2 3. 答案　－2 3 7.在平面直角坐标系 xOy 中，若点 P(m，1)到直线 4x－3y－1＝0 的距离为 4，且 点 P 在不等式 2x＋y≥3 表示的平面区域内，则 m＝________. 解析　依题意得{|4m－4| 5 ＝4， 2m＋1 ≥ 3， 解得 m＝6. 答案　6 8.已知 sin(α＋ π 12)＝1 4，则 sin(5π 12 －α)＝________. 解析　由 sin(α＋ π 12)＝1 4，得 cos(α＋ π 12)＝± 15 4 ， 所以 sin(5π 12 －α)＝cos(α＋ π 12)＝± 15 4 . 答案　± 15 4 9.已知四棱锥 V ­ABCD，底面 ABCD 是边长为 3 的正方形，VA⊥平面 ABCD，且 VA＝4，则此四棱锥的侧面中，所有直角三角形的面积的和是________. 解析　可证四个侧面都是直角三角形，其面积 S＝2×1 2×3×4＋2×1 2×3×5＝27. 答案　27 10.已知双曲线 C：x2 a2－y2 b2＝1 的焦距为 10，点 P(2，1)在 C 的渐近线上，则 C 的 方程为________. 解析　由焦距为 10 知，c＝5，即 a2＋b2＝25，根据双曲线方程可知，渐近线方程 为 y＝± b ax，代入点 P 的坐标得，a＝2b，联立方程组可解得 a2＝20，b2＝5，所以 双曲线方程x2 20－y2 5 ＝1. 答案　x2 20－y2 5 ＝1 11.已知函数 y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线斜率 k＝(x0－3)(x0＋1)2，则 该函数的单调递减区间为________. 解析　由导数的几何意义可知，f′(x0)＝(x0－3)(x0＋1)2≤0，解得 x0≤3，即该函 数的单调递减区间是(－∞，3]. 答案　(－∞，3] 12.在△ABC 中，三个内角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，若 b＝2 5，B＝π 4 ， sin C＝ 5 5 ，则 c＝________，a＝________. 解析　由正弦定理得 b sin B＝ c sin C，所以 c＝bsin C sin B ＝ 2 5 × 5 5 2 2 ＝2 2.由 c＜ b 得 C＜B，故 C 为锐角，所以 cos C＝2 5 5 ，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝3 10 10 ，由正弦定理得 b sin B ＝ a sin A，所以 a＝bsin A sin B ＝ 2 5 × 3 10 10 2 2 ＝6. 答案　2 2　6 13.已知函数 f(x)＝x3－3a2x－6a2＋3a(a＞0)有且仅有一个零点 x0，若 x0＞0，则 a 的取值范围是________. 解析　已知 f(x)＝x3－3a2x－6a2＋3a(a＞0)，则 f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)， ①若 f′(x)≥0 恒成立，则 a＝0，这与 a＞0 矛盾. ②若 f′(x)≤0 恒成立，显然不可能. ③若 f′(x)＝0 有两个根 a，－a，而 a＞0，则 f(x)在区间(－∞，－a)上单调递增， 在区间(－a，a)上单调递减，在区间(a，＋∞)上单调递增，故 f(－a)＜0，即 2a2－ 6a＋3＜0，解得3－ 3 2 ＜a＜3＋ 3 2 . 答案　(3－ 3 2 ， 3＋ 3 2 ) 14.已知等比数列{an}的首项为4 3，公比为－1 3，其前 n 项和为 Sn，若 A≤Sn－ 1 Sn≤B 对 n∈N*恒成立，则 B－A 的最小值为________. 解析　依题意得 Sn＝ 4 3[1－(－1 3 )n ] 1－(－1 3 ) ＝1－(－1 3 ) n .当 n 为奇数时，Sn＝1＋(1 3 ) n ∈(1， 4 3]； 当 n 为偶数时，Sn＝1－(1 3 ) n ∈[8 9，1). 由函数 y＝x－1 x在(0，＋∞)上是增函数得 Sn－ 1 Sn的取值范围是[－17 72，0)∪(0， 7 12]， 因此有 A≤－17 72，B≥ 7 12，B－A≥ 7 12＋17 72＝59 72， 即 B－A 的最小值是59 72. 答案　59 72 限时练(三) (建议用时：40 分钟) 1.设全集 U＝{n|1≤n≤10，n∈N *}，A＝{1，2，3，5，8}，B＝{1，3，5，7，9}， 则(∁UA)∩B＝________. 解析　由题意，得 U＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，故∁UA＝{4，6，7， 9，10}，所以(∁UA)∩B＝{7，9}. 答案　{7，9} 2.不等式 4 x－2 ≤x－2 的解集是________. 解析　①当 x－2＞0，即 x＞2 时，不等式可化为(x－2)2≥4，所以 x≥4； ②当 x－2＜0，即 x＜2 时，不等式可化为(x－2)2≤4，所以 0≤x＜2. 答案　[0，2)∪[4，＋∞) 3.已知直线 l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥ l2”的________条件. 解析　若 a＝－1，则 l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直； 若 l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0， 所以 a＝－1 或 a＝2，因此“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. 答案　充分不必要 4.函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调增区间是________. 解析　因为 f(x)＝(x－3)ex，则 f′(x)＝ex(x－2)，令 f′(x)＞0，得 x＞2，所以 f(x)的 单调增区间为(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 5.在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.已知 A＝π 6 ，a＝1，b＝ 3， 则角 B＝________. 解析　由正弦定理得 a sin A＝ b sin B， 得 sin B＝bsin A a ＝ 3 2 ，又因为 A＝π 6 ，且 b＞a，所以 B∈(π 6 ， 5π 6 )， 所以 B＝π 3 或2π 3 . 答案　π 3 或2π 3 6.执行如图所示的流程图，如果输入的 t∈[－2，2]，则输出的 S 的取值范围为 ________. 解析　由流程图可知 S 是分段函数求值， 且 S＝{2t2－2，t ∈ [－2，0）， t－3，t ∈ [0，2]， 其值域为(－2，6]∪[－3，－1]＝[－3，6]. 答案　[－3，6] 7.若命题“∀x∈R，ax2－ax－2≤0”时真命题，则实数 a 的取值范围是________. 解析　当 a＝0 时，不等式显然成立；当 a≠0 时，由题意知{a＜0， Δ＝a2＋8a ≤ 0，得 －8≤a＜0.综上－8≤a≤0. 答案　[－8，0] 8.从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数 a，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数 b，则向量 m＝(a，b)与向量 n＝(1，－1)垂直的概率为________. 解析　由题意可知 m＝(a，b)有(2，1)，(2，3)(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)， (4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共 12 种情况.因为 m⊥n，即 m·n ＝0，所以 a×1＋b×(－1)＝0，即 a＝b， 满足条件的有(3，3)，(5，5)，共 2 个.故所求的概率为1 6. 答案　1 6 9.已知正四棱锥底面边长为 4 2，体积为 32，则此正四棱锥的侧棱长为________. 解析　设正四棱锥的高为 h，底面正方形的边长为 a， 则 a＝4 2，V＝1 3a2h＝32，解得 h＝3，所以此正四棱锥的侧棱长为 h2＋( 2a 2 )2 ＝ 5. 答案　5 10.已知圆 C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1，且圆 C2 与圆 C1 关于直线 x－y－1＝0 对称， 则圆 C2 的方程为________. 解析　C1：(x＋1)2＋(y－1)2＝1 的圆心为(－1，1)，所以它关于直线 x－y－1＝0 对称的点为(2，－2)，对称后半径不变，所以圆 C2 的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1. 答案　(x－2)2＋(y＋2)2＝1 11.将某选手的 9 个得分去掉 1 个最高分，去掉 1 个最低分，7 个剩余分数的平均 分为 91.现场作的 9 个分数的茎叶图后来有 1 个数据模糊，无法辨认，在图中以 x 表示，7 个剩余分数的方差为________. 8 9 7 7 4 0 1 0 x 9 1 解析　由题图可知去掉的两个数是 87，99，所以 87＋90×2＋91×2＋94＋90＋x＝ 91×7，解得 x＝4，所以 s2＝1 7×[(87－91)2＋(90－91)2×2＋(91－91)2×2＋(94－ 91)2×2]＝36 7 . 答案　36 7 12.设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，an＞0，若 S6－2S3＝5，则 S9－S6 的最小值 为________. 解析　设等比数列{an}的公比为 q，则由 an＞0 得 q＞0，Sn＞0.又 S6－2S3＝(a4＋a5 ＋a6)－(a1＋a2＋a3)＝S3q3－S3＝5，则 S3＝ 5 q3－1 ，由 S3＞0，得 q3＞1，则 S9－S6＝ a7＋a8＋a9＝S3q6＝ 5q6 q3－1 ＝ 5 1 q3－ 1 q6 ，令 1 q3＝t，t∈(0，1)，则 1 q3－ 1 q6＝t－t2＝ －(t－1 2) 2 ＋1 4∈(0， 1 4]，所以当 t＝1 2，即 q3＝2 时， 1 q3－ 1 q6取得最大值1 4，此时 S9 －S6 取得最小值 20. 答案　20 13.已知变量 x，y 满足约束条件{x＋y－2 ≤ 0， x－2y－2 ≤ 0， 2x－y＋2 ≥ 0. 若 z＝y－ax 取得最大值的最优 解不唯一，则实数 a 的值为________. 解析　法一　由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示， 可知 A(0，2)，B(2，0)，C(－2，－2)，则 zA＝2，zB＝－ 2a，zC＝2a－2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯 一，只要 zA＝zB＞zC 或 zA＝zC＞zB 或 zB＝zC＞zA 即可， 解得 a＝－1 或 a＝2. 法二　目标函数 z＝y－ax 可化为 y＝ax＋z，令 l0：y＝ ax，平移 l0，则当 l0∥AB 或 l0∥AC 时符合题意，故 a＝－1 或 a＝2. 答案　－1 或 2 14.设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且 f(x)＝2x＋ m 2x，设 g(x)＝{f（x），x＞1， f（－x），x ≤ 1， 若函数 y＝g(x)－t 有且只有一个零点，则实数 t 的取值范围是________. 解析　由 f(x)是定义在 R 上的奇函数可得 f(0)＝1＋m＝0， 解得 m＝－1，则 f(x)＝2x－ 1 2x， f′(x)＝2xln 2＋ln 2 2x ＞0，则 f(x)在 R 上是递增函数.函数 y＝g(x) －t 有且只有一个零点即函数 y＝g(x)，y＝t 的图象只有一个交点，作出函数 y＝ g(x)，y＝t 的图象如图所示，由图可知实数 t 的取值范围是[－3 2， 3 2]. 答案　[－3 2， 3 2] 限时练(四) (建议用时：40 分钟) 1.设集合 M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则 M∩N＝______. 解析　因为 N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，所以 M∩N＝{0，1}. 答案　{0，1} 2.一支田径队有男女运动员 98 人，其中男运动员有 56 人.按男女比例用分层抽样 的方法，从全体运动员中抽出一个容量为 28 的样本，那么应抽取女运动员人数是 ________. 解析　设应抽取的女运动员人数是 x，则 x 98－56 ＝28 98，易得 x＝12. 答案　12 3.复数 1 1＋i＝________. 解析　 1 1＋i＝ 1－i （1＋i）（1－i）＝1－i 2 ＝1 2－1 2i. 答案　1 2－1 2i 4.某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________. I←1 S←1 While　S≤24 S←S×I I←I＋1 End　While Print　I 解析　逐次写出运行结果.该伪代码运行 5 次，各次 S 和 I 的值分别是 1 和 2；2 和 3；6 和 4；24 和 5；120 和 6，所以该算法输出的 I＝6. 答案　6 5.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是________. 解析　利用古典概型的概率公式求解.将一颗骰子先后抛掷两次，向上的点数共有 36 种不同的结果，其中点数相同的有 6 个，故所求概率为 6 36＝1 6. 答案　1 6 6.已知等比数列{an}满足 a5a6a7＝8，则其前 11 项之积为________. 解析　利用等比数列的性质求解.由 a5a6a7＝a36＝8 得，a6＝2，所以，其前 11 项之 积为 a1a2…a11＝a116 ＝211. 答案　211 7.对于任意 x∈[1，2]，都有(ax＋1)2≤4 成立，则实数 a 的取值范围为________. 解析　由不等式(ax＋1)2≤4 在 x∈[1，2]恒成立，得－2≤ax＋1≤2 在 x∈[1，2] 恒成立，利用分离参数的方法得{a ≤ (1 x ) min， a ≥ (－3 x ) max， 利用反比例函数的单调性得－3 2≤a≤1 2. 答案　[－3 2， 1 2] 8.若 α 是锐角，且 cos(α＋ π 3 )＝－ 3 3 ，则 sin α的值等于________. 解析　∵α 是锐角，∴π 3 ＜α＋π 3 ＜5π 6 ， 又 cos(α＋ π 3 )＝－ 3 3 ，∴sin(α＋ π 3 )＝ 6 3 . ∴sin α＝sin[(α＋ π 3 )－ π 3 ] ＝sin(α＋ π 3 )cos π 3 －cos(α＋ π 3 )sin π 3 ＝ 6 3 ×1 2－(－ 3 3 )× 3 2 ＝ 6＋3 6 . 答案　 6＋3 6 9.设四面体的六条棱的长分别为 1，1，1，1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的 棱异面，则 a 的取值范围是________. 解析　由题知令 BD＝BC＝AD＝AC＝1，AB＝a，则 DC＝ 2， 分别取 DC，AB 的中点 E，F，连接 AE、BE、EF.由于 EF⊥DC，EF ⊥AB.而 BE＝ 1－( 2 2 )2 ＝ 1－1 2 ＝ 2 2 ，BF＜BE，AB＝2BF ＜2BE＝ 2. 答案　(0， 2) 10.过点 P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分成两部分，使得这两部 分的面积之差最大，则该直线的方程为________. 解析　当 OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为 x＋y－2＝0. 答案　x＋y－2＝0 11.两座相距 60 m 的建筑物 AB、CD 的高度分别为 20 m、50 m，BD 为水平面， 则从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为________. 解析　在△ACD 中，容易求得 AD＝20 10， AC＝30 5，又 CD＝50，由余弦定理可得 cos∠CAD＝AD2＋AC2－CD2 2AD·AC ＝ 2 2 ，所以∠CAD＝45°， 即从建筑物 AB 的顶端 A 看建筑物 CD 的张角为 45°. 答案　45° 12.两个半径分别为 r1，r2 的圆 M、N，公共弦 AB 长为 3，如图所 示，则AM→ ·AB→ ＋AN→ ·AB→ ＝________. 解析　连接圆心 MN 与公共弦相交于点 C，则 C 为公共弦 AB 的中点，且 MN⊥AB， 故AM→ ·AB→ ＝|AB→ ||AM→ |·cos∠MAC＝|AB→ |·|AC→ |＝1 2|AB→ |2＝9 2，同理AN→ ·AB→ ＝|AB→ ||AN→ |·cos ∠NAC＝|AB→ ||AC→ |＝1 2|AB→ |2＝9 2， 故AM→ ·AB→ ＋AN→ ·AB→ ＝9. 答案　9 13.设 a＝2 0110.1，b＝ln 2 012 2 010，c＝log 1 2 2 011 2 010，则 a，b，c 的大小关系是 ________. 解析　由指数函数、对数函数图象可知 a＞1，0＜b＜1，c＜0，所以 a＞b＞c. 答案　a＞b＞c 14.设 f(x)＝|ln x|，若函数 g(x)＝f(x)－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数 a 的 取值范围是________. 解析　原问题等价于方程|ln x|＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令 h(x)＝ln x⇒h′(x) ＝1 x， 由 h(x)在(x0，ln x0)处切线 y－ln x0＝ 1 x0(x－x0)过原点得 x0＝e，即曲线 h(x)过原点 的切线斜率为1 e，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 2 2 ，所以实数 a 的 取值范围是(ln 2 2 ， 1 e). 答案　(ln 2 2 ， 1 e) 限时练(五) (建议用时：40 分钟) 1.已知集合 A＝{－1，0，1，2}，B＝{x|x2－1＞0}，则 A∩B＝________. 解析　由题意得 B＝{x|x＜－1 或 x＞1}，则 A∩B＝{2}. 答案　{2} 2.已知复数 z 满足：z(1－i)＝2＋4i，其中 i 为虚数单位，则复数 z 的模为 ________. 解析　由题意得 z＝2＋4i 1－i ＝（2＋4i）（1＋i） （1－i）（1＋i） ＝－1＋3i.所以|z|＝|－1＋3i|＝ （－1）2＋32＝ 10. 答案　 10 3.将四个人(含甲、乙)分成两组，每组两人，则甲、乙为同一组的概率为 ________. 解析　设 4 个人分别为甲、乙、丙、丁，依题意，基本事件有(甲乙，丙丁)，(甲 丙，乙丁)，(甲丁，丙乙)，共 3 种.满足要求的事件只有(甲乙，丙丁)，共 1 种， 所以其概率为1 3. 答案　1 3 4.直线 l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0 的斜率是________. 解析　设直线 l 的斜率为 k，则 k＝－ sin 30° cos 150°＝ 3 3 . 答案　 3 3 5.已知函数 f(x)＝{log3x，x＞0， 2x，x ≤ 0， 那么 f[f(1 9 )]＝________. 解析　因为 f(1 9 )＝log3 1 9 ＝log33－2＝－2， 所以 f[f(1 9 )]＝f(－2)＝2－2＝1 4. 答案　1 4 6.某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图所示的频率分 布直方图.样本数据分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100].若 采用分层抽样的方法从样本中抽取分数在[80，100]范围内的数据 16 个，则其中 分数在[90，100]范围内的样本数据有________个. 解析　分数在[80，100]内的频率为(0.025＋0.015)×10＝0.4，而分数在[90，100] 内的频率为 0.015×10＝0.15.设分数在[90，100]内的样本数据有 x 个， 则由16 x ＝ 0.4 0.15，得 x＝6. 答案　6 7.如果关于 x 的不等式 5x2－a≤0 的正整数解是 1，2，3，4，那么实数 a 的取值 范围是________. 解析　由 5x2－a≤0，得－ a 5≤x≤ a 5，因为正整数解是 1，2，3，4，则 4≤ a 5＜ 5， 所以 80≤a＜125. 答案　[80，125) 8.已知将圆锥的侧面展开恰为一个半径为 2 的半圆，则圆锥的体积是________. 解析　依题意可得原圆锥的母线长为 l＝2， 设底面半径为 r，则 2πr＝π×2⇒r＝1， 从而高 h＝ l2－r2＝ 22－12＝ 3， 所以圆锥的体积为 V＝1 3Sh＝1 3πr2h＝ 3π 3 . 答案　 3π 3 9.执行如图所示的流程图，如果输入的 x，t 均为 2，那么输出的 S＝________. 解析　循环体部分的运算为： 第一步，M＝2，S＝5，k＝2； 第二步，M＝2，S＝7，k＝3.故输出的结果为 7. 答案　7 10.已知向量 a，b 均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则 a，b 的夹角为 ________. 解析　(a－2b)·a＝|a|2－2a·b＝0，(b－2a)·b＝|b|2－2a·b＝0，所以|a|2＝|b|2，即|a|＝ |b|， 故|a|2－2a·b＝|a|2－2|a|2cos〈a，b〉＝0， 可得 cos〈a，b〉＝1 2，又因为 0≤〈a，b〉≤π，所以〈a，b〉＝π 3 . 答案　π 3 11.设 α 为锐角，若 cos(α＋ π 6 )＝3 5，则 sin(α－ π 12)＝________. 解析　因为 α∈(0， π 2 )，所以 α＋π 6 ∈(π 6 ， 2π 3 )， 故 sin(α＋ π 6 )＞0，从而 sin(α＋ π 6 )＝ 1－ 9 25 ＝4 5， 所以 sin(α－ π 12)＝sin(α＋ π 6 － π 4 )＝sin(α＋ π 6 )cos π 4 － cos(α＋ π 6 )sin π 4 ＝ 2 10. 答案　 2 10 12.设 F1，F2 分别是椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)左、右焦点，点 P 在椭圆 C 上， 线段 PF1 的中点在 y 轴上，若∠PF1F2＝30°，则椭圆 C 的离心率为________. 解析　法一　设线段 PF1 的中点为 Q，则 OQ 是△PF1F2 的中位线，则 PF2∥OQ， 又由 OQ⊥x 轴，得 PF2⊥x 轴. 将 x＝c 代入x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)中，得 y＝± b2 a ， 则点 P(c， ± b2 a ). 由 tan∠PF1F2＝ PF2 F1F2＝ 3 3 ，得 b2 a 2c＝ 3 3 ， 即 3b2＝2 3ac，得 3(a2－c2)＝2 3ac， 则 3c2＋2 3ac－3a2＝0， 两边同时除以 a2 得 3e2＋2 3e－3＝0， 解得 e＝－ 3(舍去)或 e＝ 3 3 . 法二　设线段 PF1 的中点为 Q，则 OQ 是△PF1F2 的中位线，则 PF2∥OQ，则由 OQ⊥x 轴，得 PF2⊥x 轴. 将 x＝c 代入x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)中， 得 y＝± b2 a ， 则点 P(c， ± b2 a ).由椭圆的定义，得 PF1＝2a－b2 a ， 由∠PF1F2＝30°，得 PF1＝2PF2， 即 2a－b2 a ＝2b2 a ，得 2a2＝3b2＝3(a2－c2)， 得 a2＝3c2，得c2 a2＝1 3， 故椭圆 C 的离心率 e＝c a ＝ 3 3 . 答案　 3 3 13.已知 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，则1 a＋1 b＋1 c的最小值为________. 解析　因为 a＞0，b＞0，c＞0，且 a＋b＋c＝1，所以1 a＋1 b＋1 c＝a＋b＋c a ＋a＋b＋c b ＋a＋b＋c c ＝3＋b a＋c a＋a b＋c b＋a c＋b c＝3＋(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥3＋2＋2＋2＝ 9.当且仅当 a＝b＝c＝1 3时，取等号. 答案　9 14.若一个数列的第 m 项等于这个数列的前 m 项的乘积，则称该数列为“m 积数 列”.若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2 014 积数列”，且 a1＞1，则当其 前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为________. 解析　由题可知 a1a2a3·…·a2 014＝a2 014， 故 a1a2a3·…·a2 013＝1，由于{an}是各项均为正数的等比数列且 a1＞1，所以 a1 007 ＝1，公比 q∈(0，1)， 所以 a1 006＞1 且 0＜a1 008＜1， 故当数列{an}的前 n 项的乘积取最大值时 n 的值为 1 006 或 1 007. 答案　1 006 或 1 007 限时练(六) (建议用时：40 分钟) 1.已知集合 M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则 M∩N＝________. 解析　{1，2，3}∩{2，3，4}＝{2，3}. 答案　{2，3} 2.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在 6 场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 ________. 解析　平均数x － ＝14＋17＋18＋18＋20＋21 6 ＝18，故方差 s2＝1 6(42＋12＋02＋02＋ 22＋32)＝5. 答案　5 3.已知复数 z 满足(z－2)i＝1＋i(i 为虚数单位)，则 z 的模为________. 解析　由(z－2)i＝1＋i，得 z＝1＋i i ＋2＝3－i，所以|z|＝ 10. 答案　 10 4.如图是一个算法的流程图，则最后输出的 S＝________. 解析　这是一个典型的当型循环结构， 当 n＝1，3，5，7，9，11 时满足条件， 执行下面的语句，S＝1＋3＋5＋7＋9＋11＝36，当 n＝13 时不满足条件，退出循 环，执行输出 S＝36. 答案　36 5.已知 m∈{－1，0，1}，n∈{－1，1}，若随机选取 m，n，则直线 mx＋ny＋1＝0 恰好不经过第二象限的概率是________. 解析　依题意，注意到可形成数组(m，n)共有 6 组，其中相应直线 mx＋ny＋1＝0 恰好不经过第二象限的数组(m，n)共有 2 组(它们是(0，1)与(－1，1))，因此所求 的概率是2 6＝1 3. 答案　1 3 6.在△ABC 中，BD→ ＝2DC→ ，若AD→ ＝λ1AB→ ＋λ2AC→ ，则λ1λ2 的值为________. 解析　利用向量的运算法则求解.因为AD→ ＝AB→ ＋BD→ ＝AB→ ＋2 3BC→ ＝AB→ ＋2 3(AC→ －AB→ )＝1 3 AB→ ＋2 3AC→ ，所以λ1＝1 3，λ2＝2 3，故 λ1λ2＝2 9. 答案　2 9 7.已知函数 f(x)＝|x2＋2x－1|，若 a＜b＜－1，且 f(a)＝f(b)，则 ab＋a＋b 的取值范 围是________. 解析　作出函数图象可知若 a＜b＜－1，且 f(a)＝f(b)，即为 a2＋2a－1＝－(b2＋2b －1)， 整理得(a＋1)2＋(b＋1)2＝4， 设{a＝－1＋2cos θ， b＝－1＋2sin θ，θ∈(π， 5π 4 )， 所以 ab＋a＋b＝－1＋2sin 2θ∈(－1，1). 答案　(－1，1) 8.在△ABC 中，a＝8，B＝60°，C＝45°，则 b＝________. 解析　由已知得 sin A＝sin(B＋C)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝ 6＋ 2 4 ， 又 a＝8， ∴b＝asin B sin A ＝ 8 × 3 2 6＋ 2 4 ＝ 16 3 6＋ 2 ＝12 2－4 6. 答案　12 2－4 6 9.在平面直角坐标系 xOy 中，直线 3x＋4y－5＝0 与圆 x2＋y2＝4 相交于 A，B 两 点，则弦 AB 的长等于________. 解析　圆 x2＋y2＝4 的圆心 O(0，0)到直线 3x＋4y－5＝0 的距离 d＝|－5| 5 ＝1， 弦 AB 的长 AB＝2 r2－d2＝2 3. 答案　2 3 10.已知函数 y＝anx2(an≠0，n∈N*)的图象在 x＝1 处的切线斜率为 2an－1＋1(n≥2)， 且当 n＝1 时其图象过点(2，8)，则 a7 的值为________. 解析　因为 y＝anx2 在 x＝1 处的切线斜率为 2an， 所以 2an＝2an－1＋1(n≥2)， 即 an＝an－1＋1 2(n≥2)， 又 8＝4a1⇒a1＝2， 所以 a7＝a1＋6×1 2＝5. 答案　5 11.设 l 是一条直线，α，β，γ是不同的平面，则在下列命题中，假命题是 ________(填序号). ①如果 α⊥β，那么 α 内一定存在直线平行于 β ②如果 α 不垂直于 β，那么 α 内一定不存在直线垂直于 β ③如果 α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ ④如果 α⊥β，l 与 α，β都相交，那么 l 与 α，β所成的角互余 解析　如果 α⊥β，那么 α 内一定存在直线平行于 β， 即命题①正确；如果 α 不垂直于 β， 那么 α 内一定不存在直线垂直于 β， 即命题②正确；如果 α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l， 那么 l⊥γ，即命题③正确； 如果 α⊥β，l 与 α，β都相交， 那么 l 与 α，β所成的角不一定互余，即命题④不正确. 答案　④ 12.已知函数 y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ ≤ π 2 )的部分图象如图，则 φ 的值为 ________. 解析　由三角函数图象可得周期 T＝2(5π 6 － π 3 )＝π＝2π ω ，解得 ω＝2.由函数图 象过点(π 3 ，0)， 所以 sin(2 × π 3 ＋φ)＝0⇒φ＝π 3 ＋2kπ，k∈Z， 且 0＜φ≤π 2 ，所以φ＝π 3 . 答案　π 3 13.若函数 f(x)＝ax2＋20x＋14(a>0)对任意实数 t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在 两实数 x1，x2，使得|f(x1)－f(x2)|≥8 成立，则实数 a 的最小值为________. 解析　利用二次函数图象求解.由题意可得(f(x)max－f(x)min)min≥8.f(x)min 越大， 所以当[t－1，t＋1]关于对称轴对称时， f(x)max－f(x)min 取得最小值，为 f(t＋1)－f(t)＝a≥8， 所以实数 a 的最小值为 8. 答案　8 14.已知函数 f(x)＝x3 3 ＋ax2 2 ＋2bx＋c 在区间(0，1)内取极大值，在区间(1，2)内取 极小值，则 z＝(a＋3)2＋b2 的取值范围为________. 解析　因为函数 f(x)在区间(0，1)内取极大值，在区间(1，2)内取极小值， 所以{f′（0）＞0， f′（1）＜0， f′（2）＞0， 即{b > 0， 1＋a＋2b＜0， a＋b＋2＞0， 对应可行域如图，目标函数 z＝(a＋3)2＋b2 的几何意义是可行域上的点(a，b)到定 点 P(－3，0)的距离的平方，点 P 到边界 a＋b＋2＝0 的距离的平方为( 1 2 ) 2 ＝ 1 2，到点(－1，0)的距离的平方为 4，因为可行域不含边界，所以 z 的取值范围是 (1 2，4). 答案　(1 2，4) 限时练(七) (建议用时：40 分钟) 1.已知复数a＋3i 1－2i是纯虚数，则实数 a＝________. 解析　a＋3i 1－2i＝a－6＋（2a＋3）i 5 ，所以当 a＝6 时，复数a＋3i 1－2i为纯虚数. 答案　6 2.函数 y＝ln(1＋1 x)＋ 1－x2的定义域为________. 解析　要使函数有意义，需{1＋1 x ＞0， 1－x2 ≥ 0， 即{x＋1 x ＞0， x2 ≤ 1， 即{x＜－1或x＞0， －1 ≤ x ≤ 1，解得 0＜x≤1，所以其定义域为(0，1]. 答案　(0，1] 3.检验某产品直径尺寸的过程中，将某尺寸分成若干组，[a，b)是其中的一组，抽 查出的个体数在该组上的频率为 m，该组在频率分布直方图上的高为 h，则|a－b| ＝________. 解析　根据概率分布直方图的概念可知，|a－b|×h＝m，由此可知|a－b|＝m h. 答案　m h 4.已知集合 A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若 A⊆B，则实数 a－b 的取值范围是 ________. 解析　集合 A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为 A⊆B， 所以 a≤2，b≥4，所以 a－b≤2－4＝－2， 即实数 a－b 的取值范围是(－∞，－2]. 答案　(－∞，－2] 5.在四边形 ABCD 中，AC→ ＝(1，2)，BD→ ＝(－4，2)，则该四边形的面积为 ________. 解析　依题意得，AC→ ·BD→ ＝1×(－4)＋2×2＝0， 所以AC→ ⊥BD→ ，所以四边形 ABCD 的面积为1 2|AC→ |·|BD→ |＝1 2× 5× 20＝5. 答案　5 6.根据如图所示的伪代码可知，输出的 S＝________. i←1 While i＜8 　i←i＋2 　S←2i＋3 End While Print S 解析　初始值 i＝1，第一次循环：i＝3，S＝9； 第二次循环：i＝5，S＝13； 第三次循环：i＝7，S＝17； 第四次循环：i＝9，S＝21； 此时不满足条件“i＜8”，循环停止，输出 S 的值为 21. 答案　21 7.点 P 从(1，0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π 3 弧长到达点 Q，则点 Q 的坐标 为________. 解析　由三角函数定义可知点 Q 的坐标(x，y)满足 x＝cos 2π 3 ＝－1 2，y＝sin 2π 3 ＝ 3 2 . 答案　(－1 2， 3 2 ) 8.在△ABC 中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在 BC 上任取一点 D，使△ABD 为钝角三角形的概率为________. 解析　过点 A 作 AH⊥BC 于点 H，则 BH＝1. 过点 A 作 AG⊥AB 交 BC 于点 G，则 BG＝4. 要使△ABD 为钝角三角形，则点 D 在线段 BH 或 CG 上(不含端点 B，H，G)，故 所求概率为 P＝1＋2 6 ＝1 2. 答案　1 2 9.设 α 和 β 为不重合的两个平面，给出下列四个命题： ①若 α 内的两条相交直线分别平行于 β 内的两条直线，则 α 平行于 β； ②若 α 外一条直线 l 与 α 内的一条直线平行，则 l 和 α 平行； ③设 α 和 β 相交于直线 l，若 α 内有一条直线垂直于 l，则 α 和 β 垂直； ④直线 l 与 α 垂直的充要条件是 l 与 α 内的两条直线垂直. 则其中为真命题的是________(填序号). 解析　由面面平行，线面平行的判定定理可知①②是正确的；③错误；④l 与 α 内的两条直线垂直不能得到直线 l 与 α 垂直，l 与 α 内的两条直线垂直是直线 l 与 α 垂直的必要不充分条件. 答案　①② 10.以双曲线x2 3 －y2＝1 的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为________. 解析　由双曲线方程x2 3 －y2＝1 得 c＝2 ，所以双曲线右焦点的坐标为(2，0)，即p 2 ＝2，所以 2p＝8，所以抛物线的标准方程为 y2＝8x. 答案　y2＝8x 11.已知函数 f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则 实数 k 的取值范围是________. 解析　在同一平面直角坐标系中分别作出函数 f(x)，g(x)的图象如图所示， 方程 f(x)＝g(x)有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结 合图象可知，当直线 y＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线 y＝x－1 的斜率时符合题意，故1 2＜k＜1. 答案　(1 2，1) 12.若 sin θ＝－3 5，θ∈(－ π 2 ，0)，则 2sin(2θ＋ π 3 )＝________. 解析　因为 sin θ＝－3 5，θ∈(－ π 2 ，0)， 所以 cos θ＝ 1－sin2θ＝4 5， 所以 sin 2θ＝2sin θcos θ＝－24 25，cos 2θ＝2cos2θ－1＝ 7 25， 所以 2sin(2θ＋ π 3 )＝2sin 2θcos π 3 ＋ 2cos 2θsin π 3 ＝2×(－24 25)×1 2＋2× 7 25× 3 2 ＝7 3－24 25 . 答案　7 3－24 25 13.在等差数列{an}中，已知 an a2n是一个与 n 无关的常数，则该常数的可能值的集合 为________. 解析　由题意知 an a2n＝ a1＋（n－1）d a1＋（2n－1）d ＝1 2＋ 1 2a1－1 2d a1＋（2n－1）d. 当 d＝0 时，上式＝1；当 a1＝d 时，上式＝1 2. 答案　{1， 1 2} 14.已知正实数 x，y，z 满足 2x(x＋1 y ＋1 z)＝yz，则(x＋1 y)(x＋1 z )的最小值为 ________. 解析　由题知，(x＋1 y)(x＋1 z)＝x2＋x z＋x y＋ 1 yz ＝x(x＋1 y＋1 z)＋ 1 yz， 又 2x(x＋1 y ＋1 z)＝yz，则(x＋1 y)(x＋1 z)＝yz 2 ＋ 1 yz. 又因为 x，y，z 为正实数，所以yz 2 ＋ 1 yz≥2 yz 2 · 1 yz＝ 2，当且仅当 yz＝ 2时，等 号成立， 所以(x＋1 y)(x＋1 z)的最小值为 2. 答案　 2 限时练(八) (建议用时：40 分钟) 1.已知集合 A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|x2－2x≤0}，则 A∩B＝________. 解析　∵B＝[0，2]，∴A∩B＝[0，1]. 答案　[0，1] 2.复数5（1＋4i）2 i（1＋2i） ＝________. 解析　5（1＋4i）2 i（1＋2i） ＝5（－15＋8i） －2＋i ＝5（－15＋8i）（－2－i） （－2＋i）（－2－i） ＝5（38－i） 5 ＝ 38－i. 答案　38－i 3.某市高三数学抽样考试中，对 90 分以上(含 90 分)的成绩进行统计，其频率分布 图如图所示，若 130～140 分数段的人数为 90 人，则 90～100 分数段的人数为 ________. 解析　高三年级总人数为： 90 0.05＝1 800；90～100 分数段人数的频率为 0.45；分 数段的人数为 1 800×0.45＝810. 答案　810 4.曲线 y＝1 x在 x＝2 处的切线斜率为________. 解析　根据导数的几何意义，只要先求出导数以后，将 x＝2 代入即可求解.因为 y′＝－ 1 x2，所以 y′|x＝2＝－1 4，即为切线的斜率. 答案　－1 4 5.将一枚骰子(一种六个面上分别标有 1，2，3，4，5，6 个点的正方体玩具)先后 抛掷 2 次，向上的点数分别记为 m，n，则点 P(m，n)落在区域|x－2|＋|y－2|≤2 的概率是________. 解析　利用古典概型的概率公式求解.将一枚骰子先后抛掷 2 次，向上的点数分别 记为 m，n，则点 P(m，n)共有 36 个，其中落在区域|x－2|＋|y－2|≤2 内的点有(1， 1)，(1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)， (4，2)，共 11 个，故所求概率是11 36. 答案　11 36 6.已知向量 a＝(3，1)，b＝(－1， 1 2)，若 a＋λb 与 a 垂直，则 λ 等于________. 解析　根据向量线性运算、数量积运算建立方程求解.由条件可得 a＋λb＝ (3－λ，1＋1 2λ)，所以(a＋λb)⊥a⇒3(3－λ)＋1＋1 2λ＝0⇒λ＝4. 答案　4 7.已知正数 x，y 满足 x＋2y＝2，则x＋8y xy 的最小值为________. 解析　利用“1”的代换，结合基本不等式求解.因为 x，y 为正数，且 x＋2y＝2，x＋8y xy ＝(1 y＋8 x)(x 2＋y)＝ x 2y＋8y x ＋5≥2 x 2y· 8y x ＋5＝9，当且仅当 x＝4y＝4 3时，等号成 立，所以x＋8y xy 的最小值为 9. 答案　9 8.给出四个命题： ①平行于同一平面的两个不重合的平面平行； ②平行于同一直线的两个不重合的平面平行； ③垂直于同一平面的两个不重合的平面平行； ④垂直于同一直线的两个不重合的平面平行； 其中真命题的序号是________. 解析　若 α∥β，α∥γ，则 β∥γ， 即平行于同一平面的两个不重合的平面平行，故①正确； 若 a∥α，a∥β，则α与β平行或相交，故②错误； 若 α⊥γ，β⊥γ，则平面 α 与 β 平行或相交，故③错误； 若 a⊥α，a⊥β，则 α 与 β 平行，故④正确. 答案　①④ 9.设某流程图如图所示，该算法运行后输出的 k 的值是________. 解析　阅读算法中流程图知： 运算规则是 S＝S×k2 故 第一次进入循环体后 S＝1×32＝9，k＝3； 第二次进入 循环体后 S＝9×52＝225＞100，k＝5.退出循环，其输出结果 k＝5.故 答案为：5. 答案　5 10.已知等差数列{an}的公差不为零，a1＋a2＋a5＞13，且 a1，a2，a5 成等比数列， 则 a1 的取值范围为________. 解析　利用 a1，a2，a5 成等比数列确定公差与首项的关系，再解不等式即可.设等 差数列{an}的公差为 d，则 d≠0，所以 a1，a2，a5 成等比数列⇒a22＝a1a5⇒(a1＋d)2 ＝a1(a1＋4d)⇒d＝2a1，代入不等式 a1＋a2＋a5＞13，解得 a1＞1. 答案　(1，＋∞) 11.P 为直线 y＝ b 3ax 与双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1 是左焦点，PF1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e＝________. 解析　由{y＝ b 3ax， x2 a2－y2 b2＝1， 得{x＝－3 2 4 a， y＝－ 2 4 b， 又 PF1 垂直于 x 轴，所以 3 2 4 a＝c， 即离心率为 e＝c a＝3 2 4 . 答案　3 2 4 12.在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，a＝8，b＝10，△ABC 的面 积为 20 3，则△ABC 的最大角的正切值是________. 解析　由 S△ABC＝1 2absin C，代入数据解得 sin C＝ 3 2 ， 又 C 为三角形的内角，所以 C＝60°或 120°. 若 C＝60°，则在△ABC 中，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－2abcos C＝84， 此时，最大边是 b，故最大角为 B， 其余弦值 cos B＝a2＋c2－b2 2ac ＝ 3 2 21， 正弦值 sin B＝ 5 3 2 21，正切值 tan B＝5 3 3 ； 若 C＝120°，此时，C 为最大角，其正切值为 tan 120°＝－ 3. 答案　5 3 3 或－ 3 13.若存在区间 M＝[a，b](a＜b)，使得{y|y＝f(x)，x∈M}＝M，则称区间 M 为函 数 f(x)的一个“稳定区间”.给出下列四个函数：①y＝ex，x∈R；②f(x)＝x3；③f(x) ＝cos πx 2 ；④f(x)＝ln x＋1.其中存在稳定区间的函数有________(写出所有正确命 题的序号). 解析　根据新定义逐一判断.因为函数 y＝ex，x∈R 递增，且 ex＞x，x∈R 恒成立， 函数 y＝ex，x∈R 不存在“稳定区间”，故①不存在“稳定区间”；函数 f(x)＝x3 存 在稳定区间[－1，0]或[0，1]或[－1，1]，故②存在“稳定区间”；函数 f(x)＝cos πx 2 存在稳定区间[0，1]，故③存在“稳定区间”；函数 f(x)＝ln x＋1 在(0， ＋∞)上递增，且 ln x＋1≤x，x＞0 恒成立，函数 f(x)＝ln x＋1 在定义域上不存在 “稳定区间”，故④不存在“稳定区间”. 答案　②③ 14.若关于 x 的方程 |x| x＋2 ＝kx2 有四个不同的实根，则实数 k 的取值范围是 ________. 解析　由于关于 x 的方程 |x| x＋2 ＝kx2 有四个不同的实根，x＝0 是此方程的一个根， 故关于 x 的方程 |x| x＋2 ＝kx2 有 3 个不同的非零的实数解. ∴方程1 k＝{x（x＋2），x＞0， －x（x＋2），x＜0有 3 个不同的非零的实数解， 即函数 y＝1 k的图象和函数 g(x)＝{x（x＋2），x＞0， －x（x＋2），x＜0的图象有 3 个交点，画出函 数 g(x)的图象，如图所示， 故 0＜1 k＜1，解得 k＞1. 答案　(1，＋∞) 限时练(九) (建议用时：40 分钟) 1.已知集合 M {0，1，2，3，4}，则满足 M∩{0，1，2}＝{0，1}的集合 M 的个 数为________. 解析　由题意易知 M＝{0，1}或{0，1，3}或{0，1，4}或{0，1，3，4}，所以满 足 M∩{0，1，2}＝{0，1}的集合 M 的个数为 4. 答案　4 ⊂≠ 2.若3＋bi 1－i ＝a＋bi(a，b 为实数，i 为虚数单位)，则 a＋b＝________. 解析　由3＋bi 1－i ＝（3＋bi）（1＋i） （1－i）（1＋i） ＝3－b＋（3＋b）i 2 ＝a＋bi，得 a＝3－b 2 ，b ＝3＋b 2 ，解得 b＝3，a＝0，所以 a＋b＝3. 答案　3 3.若命题 p：|x|＝x，命题 q：x2＋x≥0，则 p 是 q 的________条件. 解析　设 p：{x||x|＝x}＝x|x≥0＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0 或 x≤－1}＝B，因 为 AB，所以 p 是 q 的充分不必要条件. 答案　充分不必要 4.若一组样本数据 2，3，7，8，a 的平均数为 5，则该组数据的方差 s2＝ ________. 解析　因为2＋3＋7＋8＋a 5 ＝5，所以 a＝5，所以 s2＝1 5[(2－5)2＋(3－5)2＋(7－5)2 ＋(8－5)2＋(5－5)2]＝26 5 . 答案　26 5 5.函数 f(x)＝sin xcos x＋ 3 2 cos 2x 的最小正周期为________. 解析　由 f(x)＝sin xcos x＋ 3 2 cos 2x＝1 2sin 2x＋ 3 2 cos 2x＝sin(2x＋ π 3 )，得最小正周期为π. 答案　π 6.已知四边形 ABCD 是半径为 2 的圆的内接正方形，现在圆的内部随机取一点 P， 点 P 落在正方形 ABCD 内部的概率为________. 解析　由已知可得，正方形边长为 2 2，再利用几何概型概率计算公式可得概率 为（2 2）2 π × 22＝ 2 π. 答案　 2 π 7.执行如图所示的流程图，如果输入 a＝2，b＝2，那么输出的 a 的值为________. 解析　log32＞4 不成立，执行第一次循环，a＝22＝4； log34＞4 不成立，执行第二次循环，a＝42＝16； log316＞4＝log334＝log381 不成立，执行第三次循环，a＝162＝256； log3256＞4＝log381 成立，跳出循环，输出的 a 的值为 256. 答案　256 8.在△ABC 中，已知AB→ ·AC→ ＝tan A，则当 A＝π 6 时，△ABC 的面积为________. 解析　根据平面向量数量积的概念得AB→ ·AC→ ＝|AB→ |·|AC→ |cos A， 当 A＝π 6 时，根据已知可得|AB→ |·|AC→ |＝2 3， 故△ABC 的面积为1 2|AB→ |·|AC→ |·sin π 6 ＝1 6. 答案　1 6 9.对于数列{an}，定义数列{bn}满足：bn＝an＋1－an(n∈N*)，且 bn＋1－bn＝ 1(n∈N*)，a3＝1，a4＝－1，则 a1＝________. 解析　由 bn＋1－bn＝1 知数列{bn}是公差为 1 的等差数列，又 b3＝a4－a3＝－2， 所以 b1＝－4，b2＝－3，b1＋b2＝(a2－a1)＋(a3－a2)＝a3－a1＝－7，解得 a1＝8. 答案　8 10.已知实数 x，y 满足{y ≤ 2， 3x－y－3 ≤ 0， 2x＋y－2 ≥ 0， 则目标函数 z＝3x＋y 的最大值为 ________. 解析　作出可行域如图所示： 作直线 l0：3x＋y＝0，再作一组平行于 l0 的直线 l：3x＋y＝z，当直线 l 经过点 M 时，z＝3x＋y 取得最大值， 由{3x－y－3＝0， y＝2， 得{x＝5 3， y＝2， 所以点 M 的坐标为(5 3，2)， 所以 zmax＝3×5 3＋2＝7. 答案　7 11.如图，在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，D 为棱 AA1 的中点，若 截面△BC1D 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为 ________. 解析　依题意可知，截面△BC1D 是等腰直角三角形，其面积为 6，可知 BD＝C1D＝2 3，设 AB＝a，AD＝h，在直角三角形 ABD 与直角三角形 BCC1 中由勾股定理得： {a2＋h2＝（2 3）2， a2＋4h2＝（2 6）2，解得{a2＝8， h＝2， 所以 V＝S△ABC·2h＝ 3 4 a2·2h＝ 3 4 ×8×4＝8 3. 答案　8 3 12.已知过椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的焦点且垂直于 x 轴的弦的长为a 2，则双曲线x2 a2 －y2 b2＝1 的离心率为________. 解析　将 x＝c 代入椭圆方程，得c2 a2＋y2 b2＝1，即y2 b2＝b2 a2，解得 y＝± b2 a .由题意知2b2 a ＝ a 2，即 a2＝4b2. 设双曲线焦距为 2c′，同 c′2＝a2＋b2＝5b2，所以其离心率为 e＝c′ a ＝ 5b 2b ＝ 5 2 . 答案　 5 2 13.设函数 f(x)＝{2x－a，x＜1， 4（x－a）（x－2a），x ≥ 1.若 f(x)恰有两个零点，则实数 a 的 取值范围是________. 解析　当 a≥1 时，要使 f(x)恰有两个零点，需满足 21－a≤0，即 a≥2； 当 a＜1 时，要使 f(x)恰有两个零点，需满足{a＜1 ≤ 2a， 21－a＞0， 解得1 2≤a＜1. 综上，实数 a 的取值范围是[1 2，1)∪[2，＋∞). 答案　[1 2，1)∪[2，＋∞) 14.如图，△ABC 是边长为 2 3的等边三角形，P 是以 C 为圆心， 1 为半径的圆上的任意一点，则AP→ ·BP→ 的最小值为________. 解析　以点 C 为原点，水平方向为 x 轴，建立如图所示的平面直 角坐标系，则圆 C：x2＋y2＝1，于是可设点 P(cos θ，sin θ). 又因为△ABC 是边长为 2 3的等边三角形， 所以 A(－ 3，－3)，B( 3，－3)，所以AP→ ＝(cos θ＋ 3，sin θ＋3)，BP→ ＝ (cos θ－ 3，sin θ＋3)，所以AP→ ·BP→ ＝cos2θ－3＋sin2θ＋6sin θ＋9＝7＋ 6sin θ， 所以当 sin θ＝－1 时，AP→ ·BP→ 取得最小值为 1. 答案　1 限时练(十) (建议用时：40 分钟) 1.设集合 A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则 M 中元 素的个数为________. 解析　由集合中元素的互异性，可知集合 M＝{5，6，7，8}，所以集合 M 中共有 4 个元素. 答案　4 2.已知 m∈R，复数m＋i 1＋i－1 2 的实部和虚部相等，则 m＝________. 解析　因为m＋i 1＋i－1 2＝（m＋i）（1－i） （1＋i）（1－i）－1 2＝m＋（1－m）i 2 ，由已知得 m＝1－ m，得 m＝1 2. 答案　1 2 3.从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取 2 个数，则所取 2 个数的乘积为偶数的 概率是________. 解析　从 1，2，3，4 这四个数中一次随机地取 2 个数的所有基本事件为(1，2)， (1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有 6 种，而满足所取 2 个数的乘积为 偶数的基本事件为(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共有 5 种，根据古典 概型的公式可得所求的概率为 P＝5 6. 答案　5 6 4.设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝________. 解析　由条件可得，(a＋b)2＝10， (a－b)2＝6，两式相减得 4a·b＝4，所以 a·b＝1. 答案　1 5.根据如图所示的伪代码可知，输出的结果 S 为________. S←0 I←1 While　S≤10 　S←S＋I2 　I←I＋1 End　While Print　S 解析　根据伪代码，开始时 S＝0，I＝1，此时满足 S≤10，接下来有 S＝0＋12＝ 1，I＝1＋1＝2，此时满足 S≤10，接下来有 S＝1＋22＝5，I＝2＋1＝3，此时满足 S≤10，接下来有 S＝5＋32＝14，I＝3＋1＝4，此时不满足 S≤10，结束循环，输 出 S＝14. 答案　14 6.设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S2＝3，S4＝15，则 S6 的值为________. 解析　由条件可得{S2＝a1＋a1q＝3， S4＝a1＋a1q＋a1q2＋a1q3＝15，解得{a1＋a1q＝3， q2＝4， 那么 S6＝S4 ＋(a1＋a1q)q4＝63. 答案　63 7.为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张 压数据(单位：kPa)的分组区间为[12，13)，[13，14)，[14，15)，[15，16)，[16， 17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组、第二组，…，第五组.如图是根 据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有 20 人，第三组中没 有疗效的有 6 人，则第三组中有疗效的人数为________. 解析　第一组和第二组的频率之和为 0.4，故样本容量为 20 0.4＝50，第三组的频率 为 0.36，故第三组的人数为 50×0.36＝18，故第三组中有疗效的人数为 18－6＝ 12. 答案　12 8.已知正三棱锥的底面边长为 6，侧棱长为 5，则此三棱锥的体积为________. 解析　正三棱锥的高 h＝ 52－（2 3）2＝ 13，底面积 S＝ 3 4 ×62＝9 3，故体积 V＝1 3×9 3× 13＝3 39. 答案　3 39 9.过点(3，1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4 的弦，其中最短弦的长为________. 解析　最短弦为过点(3，1)，且垂直于点(3，1)与圆心的连线的弦，易知弦心距 d ＝ （3－2）2＋（1－2）2＝ 2，所以最短弦长为 2 r2－d2＝2 22－（ 2）2＝ 2 2. 答案　2 2 10.若实数 x，y 满足不等式组{x－2 ≤ 0， y－1 ≤ 0， x＋2y－a ≥ 0， 目标函数 z＝x－2y 的最大值为 2， 则实数 a＝________. 解析　作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示. 由{x＝2， x－2y＝2可知点 A(2，0)是最优解，直线 x＋2y－a＝0 过点 A(2，0)， 所以 a＝2. 答案　2 11.在△ABC 中，已知 BC＝1，B＝π 3 ，且△ABC 的面积为 3，则 AC 的长为________. 解析　由于△ABC 的面积 S＝1 2×AB×BC×sin B＝1 2×AB×1× 3 2 ＝ 3，所以 AB ＝4. 由余弦定理得 AC2＝1＋16－2×1×4×cos π 3 ＝13，所以 AC＝ 13，即 AC 的长 为 13. 答案　 13 12.已知函数 f(x)＝{|lg x|，x＞0， 2|x|，x ≤ 0， 则函数 y＝2f2(x)－3f(x)＋1 的零点个数是 ________. 解析　方程 2f2(x)－3f(x)＋1＝0 的解为 f(x)＝1 2或 1，作出 y＝f(x)的图象，由图象 知零点的个数为 5. 答案　5 13.设直线 x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线分别 交于点 A，B.若点 P(m，0)满足 PA＝PB，则该双曲线的离心率是________. 解析　联立直线方程 x－3y＋m＝0 与双曲线渐近线方程 y＝± b ax 可得交点坐标为 ( am 3b－a， bm 3b－a)，(－am 3b＋a， bm 3b＋a)，则 kAB＝1 3， 由 PA＝PB，可得线段 AB 的中点与点 P 连线的斜率为－3，即 bm 3b－a ＋ bm 3b＋a 2 －0 am 3b－a ＋ －am 3b＋a 2 －m ＝ －3，化简得 4b2＝a2，所以 e＝ a2＋b2 a2 ＝ 5 2 . 答案　 5 2 14.若 a，b 均为正实数，且 a＋ b－a≤m b恒成立，则实数 m 的最小值是 ________. 解析　由于 a，b 均为正实数，且 a＋ b－a≤m b， 显然有 m＞0，b≥a， 两边平方得 a＋b－a＋2 a（b－a）≤m2b， 即 b＋2 a（b－a）≤m2b， 于是 m2≥1＋2 a b－(a b )2 ， 令a b＝t(0＜t≤1)， 则 m2≥1＋2 t－t2在 0＜t≤1 时恒成立， 即 m2≥1＋2 －(t－1 2 )2 ＋1 4，从而 m2≥2， 故的最小值为 2. 答案　 2 限时练(十一) (建议用时：40 分钟) 1.设全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－2x＜0}，B＝{x|x＞1}，则集合 A∩∁UB＝ ________. 解析　∁UB＝{x|x≤1}，A＝{x|0＜x＜2}，故 A∩∁UB＝{x|0＜x≤1}. 答案　{x|0＜x≤1} 2.复数(1＋2i)2 的共轭复数是________. 解析　(1＋2i)2＝1＋4i－4＝－3＋4i，其共轭复数为－3－4i. 答案　－3－4i 3.已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3·a9＝2a25，a2＝1，则 a1＝________. 解析　利用等比数列的通项公式求出公比，再求首项.设等比数列{an}的公比为 q(q＞0)，则 a3·a9＝2a25⇒a23·q6＝2(a3q2)2⇒q＝ 2，又 a2＝1，所以 a1＝ 2 2 . 答案　 2 2 4.从某项综合能力测试中抽取 10 人的成绩，统计如下表，则这 10 人成绩的方差 为________. 分数 5 4 3 2 1 人数 3 1 1 3 2 解析　考查统计初步知识，先求平均数，x － ＝ 1 10(5×3＋4×1＋3×1＋2×3＋1×2) ＝3，再根据方差公式 s2＝1 n ∑ n i＝1 (xi－x － )2 代入数据，s2＝ 1 10[3×(5－3)2＋(4－3)2＋(3 －3)2＋3×(2－3)2＋2×(1－3)2]＝12 5 . 答案　12 5 5.函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ 为常数，A>0，ω>0，0<φ<π)的图象如图所 示，则 f (π 3 )的值为________. 解析　利用三角函数图象求出解析式，再求解函数值，由三角函数图象可得 A＝ 2，3 4T＝11π 12 －π 6 ＝3 4π，所以周期 T＝π＝2π ω ，解得 ω＝2.又函数图象过点 (π 6 ，2)，所以 f(π 6 )＝2sin(2 × π 6 ＋φ)＝2，0<φ<π，解得 φ＝π 6 ，所以 f(x)＝2sin (2x＋ π 6 )，f(π 3 )＝2sin(2π 3 ＋ π 6 )＝1. 答案　1 6.已知集合 A＝{2，5}，在 A 中可重复的依次取出三个数 a，b，c，则“以 a，b， c 为边恰好构成三角形”的概率是________. 解析　“在 A 中可重复的依次取出三个数 a，b，c”的基本事件总数为 23＝8，事 件“以 a，b，c 为边不能构成三角形”分别为(2，2，5)，(2，5，2)，(5，2，2)， 所以 P＝1－3 8＝5 8. 答案　5 8 7.设变量 x，y 满足不等式组{x＋y ≥ 3， x－y ≥ －1 2x－y ≤ 3， ，则目标函数 z＝2x＋3y 的最小值是 ________. 解析　不等式组对应的可行域如图，由图可知，当目标函数经 过图中点(2，1)时取得最小值 7. 答案　7 8.下图是一个算法的流程图，最后输出的 S＝________. 解析　当 a＝5，P＝25＞24，S＝25；a＝6，P＝24＜25，输出的 S＝25. 答案　25 9.表面积为 12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为________. 解析　建立目标函数后利用导数求解.设圆柱的底面圆半径为 r，高为 l，则表面积 为 2πr2＋2πrl＝12π，则 l＝6－r2 r ，r∈(0， 6)，体积为 V＝πr2l＝πr2·6－r2 r ＝ π(6r－r3)， r∈(0， 6)，所以 V′＝π(6－3r2)， 由 V′＝0 解得 r＝ 2，且 r∈(0， 2)时 V′>0，r∈( 2， 6)时 V′<0， 所以 r＝ 2时，该圆柱的体积取得最大值，此时高 l＝ 4 2＝2 2，底面半径与高的 比值为r l＝1 2. 答案　1 2 10.在锐角△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别是 a，b，c，若 a＝4，b＝5，△ABC 的面积为 5 3，则 c＝________，sin A＝________. 解析　由三角形面积公式可以求出 sin C，得到锐角 C 的值，借助余弦定理求出 c 边，最后利用正弦定理求 sin A.由 S△ABC＝1 2absin C，代入数据解得 sin C＝ 3 2 ，又 C 为锐角三角形的内角，所以 C＝60°.在△ABC 中，由余弦定理得 c2＝a2＋b2－ 2abcos C＝21，即 c＝ 21.再在△ABC 中，由正弦定理得 sin A＝asin C c ＝ 4 × 3 2 21 ＝2 7 7 . 答案　 21　2 7 7 11.已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x∈(0，＋∞)时，都有不等式 f(x)＋ xf′(x)＞0 成立，若 a＝40.2f(40.2)，b＝(log43)f(log43)，c＝(log4 1 16)f(log4 1 16)，则 a， b，c 的大小关系是________. 解析　由 f(x)＋xf′(x)＞0 得(xf(x))′＞0，令 g(x)＝xf(x)，则 g(x)在(0，＋∞)递增，且 为偶函数，且 a＝g(40.2)，b＝g(log43)，c＝g(log4 1 16)＝g(－2)＝g(2)，因为 0＜log43 ＜1＜40.2＜2，所以 c＞a＞b. 答案　c＞a＞b 12.已知函数 f(x)＝{log2（1－x），x ≤ 0， f（x－1）＋1，x＞0， f(x)＝x 的根从小到大构成数列{an}， 则 a2 015＝________. 解析　利用函数图象得数列通项公式，再求第 2 015 项.作出函 数 f(x)的图象如图，由图象可知方程 f(x)＝x 的根依次是 0，1，2， 3，…，所以 an＝n－1，故 a2 015＝2 015－1＝2 014. 答案　2 014 13.在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛 物线 y2＝4x 的准线相交于 A，B 两点.若△AOB 的面积为 2，则双曲线的离心率为 ________. 解析　利用三角形面积建立基本量的关系求解.抛物线 y2＝4x 的准线方程是 x＝ －1，双曲线的渐近线 y＝± b ax 与 x＝－1 的交点坐标分别是 A(－1，－b a)，B (－1， b a).又△AOB 的面积为 2，所以1 2×2b a ×1＝2， 即 b＝2a，b2＝c2－a2＝4a2，c＝ 5a， 所以离心率 e＝c a＝ 5. 答案　 5 14.如图，Ox、Oy 是平面内相交成 120°的两条数轴，e1，e2 分 别是与 x 轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP→ ＝xe1＋ye2，则 将有序实数对(x，y)叫做向量OP→ 在坐标系 xOy 中的坐标. (1)若OP→ ＝3e1＋2e2，则|OP→ |＝________； (2)在坐标系 xOy 中，以原点为圆心的单位圆的方程为________. 解析　由题意可得 e1·e2＝cos 120°＝－1 2. (1)|OP→ |＝ （3e1＋2e2）2＝ 9＋4－6＝ 7； (2)设圆 O 上任意一点 Q(x，y)， 则OQ→ ＝xe1＋ye2，|OQ→ |＝1， 即 x2＋2xy×(－1 2 )＋y2＝1， 故所求圆的方程为 x2－xy＋y2－1＝0. 答案　(1) 7　(2)x2－xy＋y2－1＝0 限时练(十二) (建议用时：40 分钟) 1.集合 M＝{x|lg x＞0}，N＝{x|x2≤4}，则 M∩N＝________. 解析　M＝{x|lg x＞0}＝{x|x＞1}，N＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，M∩N＝{x|1＜ x≤2}. 答案　{x|1＜x≤2} 2.高三(1)班共有 48 人，学号依次为 1，2，3，…，48，现用系统抽样的方法抽取 一个容量为 4 的样本，已知学号 5，29，41 在样本中，那么还有一个同学的学号 应为________. 解析　根据系统抽样是“等距离”抽样的特点解题.将 48 人分成 4 组，每组 12 人， 所以用系统抽样抽出的学生学号构成以 12 为公差的等差数列，所以还有一个学生 的学号是 17. 答案　17 3.设 i 为虚数单位，则复数3＋4i i ＝________. 解析　依题意：3＋4i i ＝（3＋4i）i i2 ＝4－3i. 答案　4－3i 4.执行下图所示的流程图，输出的 S 为________. 解析　根据流程图得执行的结果是：S＝－1＋(－1)22＋(－1)33＋(－1)44＋…＋ (－1)2 0162 016 ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－2 015＋2 016)＝1 008. 答案　1 008 5.若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m、n 作为点 P 的坐标，则点 P 落在圆 x2 ＋y2＝16 内的概率为________. 解析　∵试验发生的总事件数是 6×6，而点 P 落在圆 x2＋y2＝16 内包括(1，1)， (1，2)，(1，3)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)共 8 种，由古典概型公 式得到 P＝ 8 6 × 6＝2 9. 答案　2 9 6.当 x∈(0， π 2 )时，函数 y＝sin x＋ 3cos x 的值域为________. 解析　因为 y＝2sin(x＋ π 3 )，x∈(0， π 2 )⇒x＋π 3 ∈(π 3 ， 5π 6 )⇒sin(x＋ π 3 )∈(1 2，1] ⇒y∈(1，2]，所以值域为(1，2]. 答案　(1，2] 7.若命题“∃x∈R，使得 x2＋(a－1)x＋1≤0”为假命题，则实数 a 的范围 ________. 解析　由题意：x2＋(a－1)x＋1＞0 恒成立. 则对应方程 x2＋(a－1)x＋1＝0 无实数根. 则 Δ＝(a－1)2－4＜0，即 a2－2a－3＜0， 所以－1＜a＜3. 答案　(－1，3) 8.已知向量 a＝(cos x，sin x)，b＝( 2， 2)，a·b＝8 5，则 cos(x－ π 4 )＝________. 解析　因为 a·b＝ 2cos x＋ 2sin x＝2cos(x－ π 4 )＝8 5，所以 cos(x－ π 4 )＝4 5. 答案　4 5 9.在正项等比数列{an}中，Sn 是其前 n 项和.若 a1＝1，a2a6＝8，则 S8＝________. 解析　因为{an}是正项等比数列，所以 a2a6＝a24＝8⇒a4＝2 2＝a1q3⇒q＝ 2，所以 S8＝1－（ 2）8 1－ 2 ＝15( 2＋1). 答案　15( 2＋1) 10.设 f(x)＝x2－2x－4ln x，则 f′(x)＞0 的解集为________. 解析　f(x)定义域为(0，＋∞)，又由 f′(x)＝2x－2－4 x＝2（x－2）（x＋1） x ＞0，解 得 x＞2，所以 f′(x)＞0 的解集为(2，＋∞). 答案　(2，＋∞) 11.曲线 y＝ x x＋2 在点(－1，－1)处的切线方程为________. 解析　y′＝ 2 （x＋2）2，所以 k＝y′|x＝－1＝2，故切线方程为 y＝2x＋1. 答案　y＝2x＋1 12.已知 a、b、c 是△ABC 的三边，且 B＝120°，则 a2＋ac＋c2－b2＝________. 解析　利用余弦定理，再变形即得答案. 答案　0 13.若双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)与直线 y＝2x 有交点，则离心率 e 的取值范围 为________. 解析　如图所示， ∵双曲线的渐近线方程为 y＝±b ax，若双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)与直线 y＝2x 有交点，则应有b a＞2， ∴b2 a2＞4，c2－a2 a2 ＞4， 解得 e2＝c2 a2＞5，e＞ 5. 答案　( 5，＋∞) 14.设 f(x)是定义在 R 上的增函数，且对于任意的 x 都有 f(1－x)＋f(1＋x)＝0 恒成 立.如果实数 m、n 满足不等式组{m＞3， f（m2－6m＋23）＋f（n2－8n）＜0， 那么 m2＋n2 的取值范围是________. 解析　由 f(1－x)＋f(1＋x)＝0 得， f(n2－8n)＝f[(n2－8n－1)＋1] ＝－f[1－(n2－8n－1)] ＝－f(－n2＋8n＋2)， 所以 f(m2－6m＋23)＜－f(n2－8n)＝f(－n2＋8n＋2)， 又 f(x)是定义在 R 上的增函数， 所以 m2－6m＋23＜－n2＋8n＋2， 即为(m－3)2＋(n－4)2＜4，且 m＞3， 所以(m，n)在以(3，4)为圆心，半径为 2 的右半个圆内， 当为点(3，2)时，m2＋n2＝13， 圆心(3，4)到原点的距离为 5， 此时 m2＋n2＝(5＋2)2＝49， 所以 m2＋n2 的取值范围是(13，49). 答案　(13，49)