【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第6讲函数的奇偶性与周期性作业

【数学】2020届数学（理）一轮复习人教A版第6讲函数的奇偶性与周期性作业

课时作业(六)　第6讲　函数的奇偶性与周期性 时间 / 45分钟　分值 / 100分 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 基础热身 ‎1.下列函数中,在其定义域上是偶函数的是 (　　)‎ A.y=2-x ‎ B.y=x-3‎ C.y=sinxx ‎ D.y=lg(2-x)-lg(2+x)‎ ‎2.[2018·孝义一模] 若函数f(x)=‎2‎‎-x‎-2,x<0,‎g(x),x>0‎为奇函数,则f[g(2)]= (　　) ‎ A.-2 B.-1 ‎ C.0 D.2‎ ‎3.[2018·泉州3月质检] 已知函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(x+4),f(1)=1,则f(-9)= (　　)‎ A.-1 B.-5 ‎ C.1 D.5‎ ‎4.已知函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数,若f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[2,3]上是 (　　)‎ A.减函数 B.增函数 C.先增后减的函数 D.先减后增的函数 ‎5.若函数f(x)=‎1‎x-2m+1‎是奇函数,则实数m=　　　　. ‎ 能力提升 ‎6.[2018·烟台诊断] 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈(-1,0)时,f(x)=e-x,则f‎9‎‎2‎= (　　)‎ A.e B.-e ‎ C.‎1‎e D.-‎‎1‎e ‎7.[2018·郑州外国语学校调研] 已知函数f(x)=a‎2‎‎·‎3‎x-1‎‎3‎x‎+1‎是定义在R上的奇函数,且函数g(x)=x+ax在(0,+∞)上单调递增,则实数a的值为 (　　)‎ A.-1 B.-2‎ C.1 D.2‎ ‎8.[2019·广东六校一联] 已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),f(x)=-f(-x),且在[0,1]上有f(x)=x2,则f‎2019‎‎1‎‎2‎= (　　)‎ A.‎9‎‎4‎ B.‎‎1‎‎4‎ C.-‎9‎‎4‎ D.-‎‎1‎‎4‎ ‎9.若函数f(x)(x∈R)满足f(-1+x),f(1+x)均为奇函数,则下列四个结论正确的是 (　　)‎ A.f(-x)为奇函数 ‎ B.f(-x)为偶函数 C.f(x+3)为奇函数 ‎ D.f(x+3)为偶函数 ‎10.[2018·邯郸期末] 函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f‎5‎‎2‎的值为 (　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎‎1‎‎4‎ C.-‎1‎‎4‎ D.-‎‎1‎‎2‎ ‎11.[2018·天津河西区三模] 设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=‎-x‎2‎+1,0≤x<1,‎‎2-‎2‎x,x≥1,‎若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是 (　　)‎ A.-1 B.-‎‎1‎‎3‎ C.-‎1‎‎2‎ D.‎‎1‎‎3‎ ‎12.[2019·云南曲靖一中月考] 已知函数f(x)=ln(|x|-1)-log‎1‎‎2‎(x2+1),则使不等式f(x)-f(2x-1)<0成立的x的取值范围是 (　　)‎ A.(1,+∞) ‎ B.‎‎-∞,-‎‎1‎‎3‎ C.‎-∞,-‎‎1‎‎3‎∪(1,+∞) ‎ D.(-∞,-1)∪(1,+∞)‎ ‎13.已知函数f(x)=ln(x+x‎2‎‎+1‎),若实数a,b满足f(a)+f(b-2)=0,则a+b= (　　)‎ A.-2 B.-1 ‎ C.0 D.2‎ ‎14.[2018·延安模拟] 若函数f(x)是偶函数,当x≥0时,f(x)=lg(x+1),则满足f(2x+1)<1的实数x的取值范围是　　　　. ‎ ‎15.(10分)设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x.‎ ‎(1)求f(π)的值;‎ ‎(2)当-4≤x≤4时,求f(x)的图像与x轴所围成的图形的面积;‎ ‎(3)写出函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调区间.‎ ‎16.(10分)已知定义域为R的函数f(x)=‎-‎2‎x+b‎2‎x+1‎‎+a是奇函数.‎ ‎(1)求a,b的值;‎ ‎(2)若对任意t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范围.‎ 难点突破 ‎17.(5分)[2018·天津南开区模拟] 设f(x)=ex,f(x)=g(x)-h(x),且g(x)为偶函数,h(x)为奇函数,若存在实数m,使得当x∈[-1,1]时,不等式mg(x)+h(x)≥0恒成立,则m的最小值为 (　　)‎ A.e‎2‎‎-1‎e‎2‎‎+1‎ B.‎‎2‎e‎2‎‎+1‎ C.e‎2‎‎+1‎e‎2‎‎-1‎ D.‎‎1-‎e‎2‎‎1+‎e‎2‎ ‎18.(5分)[2018·南充二诊] 已知函数f(x)=‎2xx-1‎,函数g(x)对任意的x∈R,都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,且y=f(x)与y=g(x)的图像有m个交点,分别记为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则‎∑‎i=1‎m(xi+yi)=　　　　. ‎ 课时作业(六)‎ ‎1.C　[解析] 易知y=2-x在其定义域上是非奇非偶函数,y=x-3在其定义域上是奇函数,y=sinxx在其定义域上是偶函数,y=lg(2-x)-lg(2+x)在其定义域上是奇函数,因此选C.‎ ‎2.D　[解析] ∵函数f(x)=‎2‎‎-x‎-2,x<0,‎g(x),x>0‎为奇函数,∴g(x)=-2x+2,∴g(2)=-22+2=-2,∴f[g(2)]=f(-2)=22-2=2,故选D.‎ ‎3.C　[解析] 因为f(x)是偶函数且周期为4,所以f(-9)=f(9)=f(8+1)=f(1)=1,故选C.‎ ‎4.B　[解析] 因为f(x)是R上以2为周期的偶函数,且在[-1,0]上是减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.故选B.‎ ‎5.‎1‎‎2‎　[解析] ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),‎ 即‎1‎‎-x-2m+1‎=-‎1‎x-2m+1‎, ‎ ‎∴-x-2m+1=-x+2m-1,∴-2m+1=2m-1,‎ ‎∴m=‎1‎‎2‎.‎ ‎6.B　[解析] 因为函数f(x)满足f(x+2)=f(x),所以函数f(x)是以2为周期的周期函数,‎ 则f‎9‎‎2‎=f‎9‎‎2‎‎-4‎=f‎1‎‎2‎.因为函数f(x)为奇函数,且当x∈(-1,0)时,f(x)=e-x,‎ 所以f‎1‎‎2‎=-f‎-‎‎1‎‎2‎=-e‎1‎‎2‎=-e,即f‎9‎‎2‎=-e,故选B.‎ ‎7.A　[解析] ∵函数f(x)=a‎2‎‎·‎3‎x-1‎‎3‎x‎+1‎是定义在R上的奇函数,∴f(0)=a‎2‎‎-1‎‎2‎=0,则a=±1,经检验当a=-1或a=1时函数f(x)均为奇函数.‎ ‎∵函数g(x)=x+ax=1+ax在(0,+∞)上单调递增,‎ ‎∴a<0,∴a=-1,故选A.‎ ‎8.D　[解析] ∵f(x)=f(2-x)且f(x)=-f(-x),‎ ‎∴f(x)=-f(-x)=-f(2+x)=f(-2-x)=f(x+4),‎ ‎∴函数f(x)是周期为4的奇函数.‎ 又∵在[0,1]上有f(x)=x2,‎ ‎∴f‎2019‎‎1‎‎2‎=f‎505×4-‎‎1‎‎2‎=-f‎1‎‎2‎=-‎1‎‎4‎.‎ ‎9.C　[解析] ∵f(x+1)与f(x-1)都是奇函数,‎ ‎∴函数f(x)的图像关于点(1,0)及点(-1,0)对称,‎ ‎∴f(x)+f(2-x)=0,f(x)+f(-2-x)=0,‎ 故有f(2-x)=f(-2-x),‎ ‎∴函数f(x)是周期为4的周期函数,‎ ‎∴f(-x-1+4)=-f(x-1+4),‎ ‎∴f(-x+3)=-f(x+3),‎ ‎∴f(x+3)是奇函数.故选C.‎ ‎10.A　[解析] 由函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),‎ ‎∴f(x)的周期为2.当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f‎5‎‎2‎=f‎1‎‎2‎=2×‎1‎‎2‎×‎1-‎‎1‎‎2‎=‎1‎‎2‎,故选A.‎ ‎11.B　[解析] 易知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,‎ 又函数f(x)是定义在R上的偶函数,‎ 所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,‎ 则由f(1-x)≤f(x+m),‎ 得|1-x|≥|x+m|,即(1-x)2≥(x+m)2,‎ 即g(x)=(2m+2)x+m2-1≤0在x∈[m,m+1]时恒成立,‎ 则g(m)=(3m-1)(m+1)≤0,‎g(m+1)=(m+1)(3m+1)≤0,‎解得-1≤m≤-‎1‎‎3‎,即m的最大值为-‎1‎‎3‎. ‎ ‎12.D　[解析] 函数f(x)=ln(|x|-1)-log‎1‎‎2‎(x2+1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),在定义域上为偶函数,且当x>1时,f(x)是增函数,‎ 所以f(x)-f(2x-1)<0⇒f(x)0,解得x<‎1‎‎3‎或x>1,故x<-1或x>1,‎ 所以不等式f(x)-f(2x-1)<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞),故选D.‎ ‎13.D　[解析] 易知f(x)+f(-x)=ln(x+x‎2‎‎+1‎)+ln(-x+‎(-x‎)‎‎2‎+1‎)=0,‎ ‎∵f(a)+f(b-2)=0,∴f(a)=f(2-b),‎ 由f(x)=ln(x+x‎2‎‎+1‎),可得f(x)单调递增,∴a=2-b,∴a+b=2.故选D.‎ ‎14.(-5,4)　[解析] ∵当x≥0时,f(x)=lg(x+1),‎ ‎∴f(9)=1,且f(x)在[0,+∞)上单调递增.‎ ‎∵f(x)是偶函数,‎ ‎∴由f(2x+1)<1得f(|2x+1|)k-2t2. ‎ 由题意知,对任意t∈R,3t2-2t-k>0恒成立,‎ 所以Δ=4+12k<0,解得k<-‎1‎‎3‎.‎ ‎17.A　[解析] 由f(x)=g(x)-h(x),‎ 即ex=g(x)-h(x)①,得e-x=g(-x)-h(-x),‎ 又g(x),h(x)分别为偶函数、奇函数,‎ 所以e-x=g(x)+h(x)②.联立①②,‎ 可以解得g(x)=‎1‎‎2‎(ex+e-x),h(x)=‎1‎‎2‎(e-x-ex).‎ 由mg(x)+h(x)≥0,即m·‎1‎‎2‎(ex+e-x)+‎1‎‎2‎(e-x-ex)≥0,‎ 得m≥ex‎-‎e‎-xex‎+‎e‎-x,即m≥‎2‎‎1+‎e‎-2x-1.‎ 因为存在实数m,使得当x∈[-1,1]时,不等式mg(x)+h(x)≥0恒成立,‎ 且‎2‎‎1+‎e‎-2x-1在[-1,1]上的最大值为e‎2‎‎-1‎e‎2‎‎+1‎,所以m≥e‎2‎‎-1‎e‎2‎‎+1‎,‎ 所以m的最小值为e‎2‎‎-1‎e‎2‎‎+1‎,故选A.‎ ‎18.3m　[解析] 对任意的x∈R,都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,‎ 即g(2018-x)+g(x-2016)=4,故g(x)的图像关于点(1,2)中心对称,‎ 函数f(x)=‎2xx-1‎=2+‎2‎x-1‎的图像也关于点(1,2)中心对称,故两个函数图像有相同的对称中心,故每两个关于(1,2)对称的交点的横坐标之和为2,纵坐标之和为4,故得到x1+x2+…+xm=m‎2‎×2=m,y1+y2+…+ym=m‎2‎×4=2m,‎ 故‎∑‎i=1‎m‎(xi+yi)=3m.‎