高中数学必修2教案:1_3_3球的表面积与体积 (2)

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高中数学必修2教案:1_3_3球的表面积与体积 (2)

第三课时 球的表面积与体积 ‎(一)教学目标 ‎1.知识与技能 ‎(1)了解球的表面积与体积公式(不要求记忆公式).‎ ‎(2)培养学生空间想象能力和思维能力.‎ ‎2.过程与方法 通过作轴截面,寻找旋转体类组合体中量与量之间的关系.‎ ‎3.情感、态度与价值 让学生更好地认识空间几何体的结构特征,培养学生学习的兴趣.‎ ‎(二)教学重点、难点 重点:球的表面积与体积的计算 难点:简单组合体的体积计算 ‎(三)教学方法 讲练结合 教学过程 教学内容 师生互动 设计意图 新课引入 复习柱体、锥体、台体的表面积和体积,点出主题.‎ 师生共同复习,教师点出点题(板书)‎ 复习巩固 探索新知 ‎1.球的体积:‎ ‎2.球的表面积:‎ 师:设球的半径为R,那么它的体积:,它的面积现在请大家观察这两个公式,思考它们都有什么特点?‎ 生:这两个公式说明球的体积和表面积都由球的半径R惟一确定.其中球的体积是半径R的三次函数,球的表面积是半径R的二次函数.‎ 师 (肯定) :球的体积公式和球的表面积公式以后可以证明.这节课主要学习它们的应用.‎ 加强对公式的认识培养学生理解能力 典例分析 例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.求证:‎ ‎(1)球的体积等于圆柱体积的;‎ ‎(2)球的表面积等于圆柱的侧面积.‎ 证明:(1)设球的半径为R 教师投影例1并读题,学生先独立完成.教师投影答案并点评(本题联系各有关量的关键性要素是球的半径)‎ 本题较易,学生独立完成,有利于培养学生问题解决的能力.‎ ‎,则圆柱的底面半径为R,高为2R.‎ 因为,‎ ‎,‎ 所以,.‎ ‎(2)因为,‎ ‎,‎ 所以,S球 = S圆柱侧.‎ 例2 球与圆台的上、下底面及侧面都相切,且球面面积与圆台的侧面积之比为3:4,则球的体积与圆台的体积之比为( )‎ A.‎6:13‎ B.5:14‎ C.3:4 D.7:15‎ ‎【解析】如图所示,作圆台的轴截面等腰梯形ABCD,球的大圆O内切于梯形ABCD.‎ 设球的半径为R,圆台的上、下底面半径分别为r1、r2,由平面几何知识知,圆台的高为2R,母线长为r1 + r2.‎ ‎∵∠AOB = 90°,OE⊥AB (E为切点),‎ ‎∴R2 = OE2 = AE·BE = r1·r2.‎ 由已知S球∶S圆台侧= 4R2∶(r1+r2)2 = 3∶4‎ ‎(r1 + r2)2 =‎ V球∶V圆台 =‎ 教师投影例2并读题,‎ 师:请大家思考一下这道题中组合体的结构特征.‎ 生:球内切于圆台.‎ 师:你准备怎样研究这个组合体?‎ 生:画出球和圆台的轴截面.‎ 师:圆台的高与球的哪一个量相等?‎ 生:球的直径.‎ 师:根据球和圆台的体积公式,你认为本题解题关键是什么?‎ 生:求出球的半径与圆台的上、下底面半径间的关系.‎ 师投影轴截面图,边分析边板书有关过程.‎ 师:简单几何体的切接问题,包括简单几何体的内外切和内外接,在解决这类问题时要准确地画出它们的图形,一般要通过一些特殊点,如切点,某些顶点,或一些特殊的线,如轴线或高线等,作几何体的截面,在截面上运用平面几何的知识,研究有关元素的位置关系和数量关系,进而把问题解决.‎ 通过师生讨论,突破问题解决的关键,培养学生空间想象能力和问题解决的能力.‎ ‎=故选A.‎ 例3 在球面上有四个点P、A、B、C,如果PA、PB、PC两两垂直且PA = PB = PC = a,求这个球的体积.‎ 解:∵PA、PB、PC两两垂直,‎ PA = PB = PC = a.‎ ‎∴以PA、PB、PC为相邻三条棱可以构造正方体.‎ 又∵P、A、B、C四点是球面上四点,‎ ‎∴球是正方体的外接球 ,正方体的对角线是球的直径.‎ ‎∴.‎ ‎∴‎ 教师投影例3并读题,学生先思考、讨论,教师视情况控制时间,给予引导,最后由学生分析,教师板书有关过程.‎ 师:计算球的体积,首先必须先求出球的半径.由于PA、PB、PC是两两垂直的而且相等的三条棱,所以P – ABC可以看成一个正方体的一角,四点P、A、B、C在球上,所以此球可视为PA、PB、PC为相邻三条棱的正方体的外接球,其直径为正方体的对角线.‎ 本题有两种解题方法,此处采用构造法解题,目标培养学生联想,转化化归的能力.另一种方法,因要应用球的性质,可在以后讨论.‎ 随堂练习 ‎1.(1)将一个气球的半径扩大1倍,它的体积扩大到原来的几倍?‎ ‎(2)一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm,求球的体积.‎ ‎(3)一个球的体积是‎100 cm2,试计算它的表面积(取3.14,结果精确到‎1cm2,可用计算器). ‎ 参考答案:‎ ‎1.(1)8倍;(2)(3)104.‎ 学生独立完成 巩固所学知识 归纳总结 ‎1.球的体积和表面积 ‎2.等积变换 ‎3.轴截面的应用 学生独立思考、归纳,然后师生共同交流、完善 归纳知识,提高学生自我整合知识的能力.‎ 课后作业 ‎1.3 第三课时 习案 学生独立完成 固化练习 提升能力 备用例题 例1.已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半,且AC = BC = 6,AB = 4,求球面面积与球的体积.‎ ‎ 【分析】 可以用球的截面性质。即截面小圆的圆心到球心的线段垂直于截面小圆平面.‎ ‎ 【解析】 如图,设球心为O,球半径为R,作OO1⊥平面ABC于O1,由于OA = OB = OC = R,则O1是△ABC的外心.‎ ‎ 设M是AB的中点,由于AC = BC,则O1∈CM.‎ 设O‎1M = x,易知O‎1M⊥AB,则O‎1A = ,O‎1C = CM – O‎1M = – x ‎ 又O‎1A = O‎1C ‎ ∴ .解得 则O‎1A = O1B = O‎1C = .‎ 在Rt△OO‎1A中,O1O = ,∠OO‎1A = 90°,OA = R,‎ 由勾股定理得.解得.‎ 故.‎ 图4—3—9‎ 例2.如图所示棱锥P – ABCD中,底面ABCD是正方形,边长为a,PD = a,PA = PC =,且PD是四棱锥的高.‎ ‎(1)在这个四棱锥中放入一个球,求球的最大半径;‎ ‎(2)求四棱锥外接球的半径.‎ ‎【分析】(1)当所放的球与四棱锥各面都相切时球的半径最大,即球心到各个面的距离均相等,联想到用体积分割法求解.(2)四棱锥的外接球的球心到P、A、B、C、D五点的距离均为半径,只要找出球心的位置即可.球心O在过底面中心E且垂直于底面的垂线上.‎ ‎【解析】(1)设此球半径为R,最大的球应与四棱锥各个面都相切,设球心为S,连结SA、SB、SC、SP,则把此四棱锥分为五个棱锥,设它们的高均为R.‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ S□ABCD = a2.‎ VP – ABCD = VS – PDA + VS – PDC + V S – ABCD + VS – PAB + Vs – PBC ,‎ ‎,‎ B A C D P F 图4—3—10‎ ‎,‎ 所以,,‎ 即球的最大半径为.‎ ‎(2)法一:设PB的中点为F.‎ 因为在Rt△PDB中,FP = FB = FD,‎ 在Rt△PAB中,FA = FP = FB,‎ 在Rt△PBC中,FP = FB = FC,‎ 所以FP = FB = FA = FC = FD.‎ 所以F为四棱锥外接球的球心,则FP为外接球的半径.‎ 法二:球心O在如图EF上,设OE = x,EA = ,‎ 又 即球心O在PB中点F上.‎ ‎【评析】方法二为求多面体(底面正多面边形)外接球半径的通法;求多面体内切球半径经常采用体积分割求和方法.‎
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