备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：点与圆锥曲线的关系问题

备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：点与圆锥曲线的关系问题

点与圆锥曲线的关系问题 典型例题： ‎ 例1. （2012年浙江省理4分）定义：曲线上的点到直线的距离的最小值称为曲线到直线的距离．已知曲线：到直线：的距离等于曲线：到直线：的距离，则实数 ▲ ．‎ ‎【答案】。‎ ‎【考点】新定义，点到直线的距离。‎ ‎【解析】由C2：x 2＋(y＋4) 2 ＝2得圆心(0，—4)，则圆心到直线l：y＝x的距离为：。‎ ‎∴由定义，曲线C2到直线l：y＝x的距离为。‎ 又由曲线C1：y＝x 2＋a，令，得：，则曲线C1：y＝x 2＋a到直线l：y＝x的距离的点为(，)。‎ ‎∴。‎ 例2. （2012年上海市理14分）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为轴正方向建立平面直角坐标系（以‎1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向‎12海里A处，如图. 现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线；②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发小时后，失事船所在位置的横坐标为7.‎ ‎ （1）当时，写出失事船所在位置P的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）‎ ‎（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）‎ ‎【答案】解：（1）时，P的横坐标，代入抛物线方程得P的纵坐标。‎ ‎ ∵A（0，12）， ∴ 。 ‎ ‎∴救援船速度的大小为海里/时。‎ ‎ 由tan∠OAP=，得，‎ ‎∴救援船速度的方向为北偏东弧度。‎ ‎ （2）设救援船的时速为海里，经过小时追上失事船，此时位置为。‎ ‎ 由，整理得。‎ ‎ ∵当即=1时最小，即。‎ ‎ ∴救援船的时速至少是25海里才能追上失事船。‎ ‎【考点】曲线与坐标。‎ ‎【解析】（1）求出A点和P点坐标即可求出。‎ ‎ （2）求出时速关于时间的函数关系式求出极值。‎ 例3. （2012年福建省理13分）如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝，过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（II）设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）∵|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8，∴|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8。[来源:学,科,网]‎ 又∵|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝‎2a，∴‎4a＝8，a＝2。‎ 又∵e＝，即＝，∴以c＝1。∴b＝＝。‎ ‎∴椭圆E的方程是＋＝1。‎ ‎（II）由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0。‎ ‎∵动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，∴m≠0且Δ＝0，‎ ‎∴64k‎2m2‎－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化简得4k2－m2＋3＝0①，‎ 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝。∴P。‎ 由得Q(4,4k＋m)。‎ 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。‎ 设M(x1,0)，则·＝0对满足①式的m、k恒成立。‎ ‎∵＝，＝(4－x1,4k＋m)，[来源:Z。xx。k.Com]‎ ‎∴由·＝0，得－＋－4x1＋x＋＋3＝0，‎ 整理，得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0②。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∵②式对满足①式的m，k恒成立，∴，解得x1＝1。[来源:Zxxk.Com]‎ ‎∴存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。‎ ‎【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8，可得‎4a=8，即a=2，利用e＝，b＝，即可求得椭圆E的方程。‎ ‎（Ⅱ）由 消元可得(4k2＋3)x2＋8kmx＋‎4m2‎－12＝0，由动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0)，可得m≠0，△=0，进而可得4k2－m2＋3＝0①，P。由 得Q(4,4k＋m)。假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x1,0)，则·＝0对满足①式的m、k恒成立。由＝，＝(4－x1,4k＋m)和·＝0得(4x1－4)＋x－4x1＋3＝0②。由②式对满足①式的m，k恒成立，得，解得x1＝1。故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。‎ 例4. （2012年福建省文12分）如图所示，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x2＝2py(p＞0)上．‎ ‎（I）求抛物线E的方程；‎ ‎（II）设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．‎ ‎【答案】解：（I）依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°。‎ 设B(x，y)，则x＝|OB|sin30°＝4，y＝|OB|cos30°＝12。‎ 因为点B(4，12)在x2＝2py上，所以(4)2＝2p×12，解得p＝2。‎ 故抛物线E的方程为x2＝4y。‎ ‎（II）由（I）知y＝x2，y′＝x。‎ 设P(x0，y0)，则x0≠0，且l的方程为y－y0＝x0(x－x0)，即y＝x0x－x。‎ 由得。‎ 所以Q。‎ 假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y 轴上，设M(0，y1)，令·＝0对满足y0＝x(x0≠0)的x0，y0恒成立。‎ 由＝(x0，y0－y1)，＝， [来源:Z|xx|k.Com]‎ 由于·＝0，得－y0－y0y1＋y1＋y＝0，即(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0(*)。‎ 由于(*)式对满足y0＝x(x0≠0)的y0恒成立，所以，解得y1＝1。‎ 故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。‎ ‎【考点】抛物线的标准方程，直线与圆锥曲线的综合问题。‎ ‎【解析】（I）依题意，|OB|＝8，∠BOy＝30°，从而可得B(4，12)，利用点B(4，12)在x2＝2py上，可求抛物线E的方程。‎ ‎（II）由（I）知y＝x2，y′＝x，设P(x0，y0)，可得l的方程为y＝x0x－x，与y=－1联立，求得Q。假设以PQ为直径的圆恒过定点M，由图形的对称性知M必在y轴上，设M(0，y1)，由 ·＝0，得(y＋y1－2)＋(1－y1)y0＝0。所以解得y1＝1。故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)。‎