江西省宜春市上高县上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试卷

江西省宜春市上高县上高二中2020届高三上学期第三次月考数学（理）试卷

一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为，圆面中剩余部分的面积为，当与的比值为时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 ( ) ‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎3．在△ABC中，， M是AB的中点，N是CM的中点，则( )‎ A．, B． C． D．‎ ‎4.下列四个结论：①命题“”否定是“”；‎ ‎②若是真命题，则可能是真命题；③“且”是“”的充要条件；‎ ‎④当时，幂函数在区间上单调递减.‎ 其中正确的是（ ）‎ A.①④ B. ②③ C. ①③ D. ②④‎ ‎5.我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）‎ ‎6、已知，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的单调递减区间是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎8．若，且．则下列结论正确的是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9、如图是函数在区间上的图象,为了得到这个函数的图象,只需将的图象上的所有的点(    ) ‎ A. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变 B. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变 C. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的,纵坐标不变 D. 向左平移个长度单位,再把所得各点的横坐标变为原来的2倍,纵坐标不变 ‎10．在边长为1的正三角形ABC中， 且则的最大值是（ ）‎ A． B．- C． D．‎ ‎11．设函数 ，若互不相等的实数满足，‎ 则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数存在极值，若这些极值的和大于，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．已知函数，若正实数满足，则的最小值为______________.‎ ‎14、若，则实数的值为____________.‎ ‎15、已知且则= ‎ ‎16．若函数是R上的单调函数，且对任意的实数x都有，‎ 则 . ‎ 三、解答题（70分）‎ ‎17.(本小题满分10分)已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，‎ 求实数的取值范围.‎ ‎18．（本小题满分12分）‎ 据报道，全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点，一时间“英语考试该如何改革”引起广泛关注，为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法，某媒体在该地区选择了3600人进行调查，就“是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表：‎ 态度 调查人群 应该取消 应该保留 无所谓 在校学生 ‎2100人 ‎120人 人 社会人士 ‎600人 人 人 ‎（Ⅰ）已知在全体样本中随机抽取人，抽到持“应该保留”态度的人的概率为，现用分层抽样的方法在所有参与调查的人中抽取人进行问卷访谈，问应在持“无所谓”态度的人中抽取多少人？‎ ‎（Ⅱ）在持“应该保留”态度的人中，用分层抽样的方法抽取人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中在校学生人数的分布列和数学期望．‎ ‎19．（本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）若对任意，都有成立，求的取值范围；‎ ‎（2）若先将的图象上每个点纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，然后再向左平移个单位得到函数的图象，求函数在区间内的所有零点之和．‎ ‎20（本小题满分12分）．如图，直三棱柱中，，，分别为、的中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）已知与平面所成的角为，求二面角的余弦值. ‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 如图，在平面四边形ABCD中， AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°.‎ ‎(1)若BC＝2，求∠CBD的大小；‎ ‎(2)设△BCD的面积为S，求S的取值范围．‎ ‎22（本小题满分12分）.已知函数，．‎ ‎(1)若在内单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若函数有两个极值点分别为，，证明：‎ ‎2020届高三年级第三次月考数学（理科）试题答案 ‎1——12：CADAB ABDAB CB 13. 1 14. 1 15. 16. ‎ ‎17. 解：（Ⅰ）当时，………………………3分 由易得不等式解集为；………………………5分 ‎（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，‎ 因为在处取得最大值，…………………7分 所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，‎ 即.……………………………10分 ‎18.（Ⅰ）解：因为抽到持“应该保留”态度的人的概率为0.05,‎ 所以，所以. ……………………………2分 所以持“无所谓”态度的人数共有. …………. ……3分 所以应在“无所谓”态度抽取人.  …………………………4分 ‎（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知持“应该保留”态度的一共有180人， ………………………..…5分 所以在所抽取的6人中，在校学生为人，‎ 社会人士为人， …………………………………………….……7分 则第一组在校学生人数 ‎,,, ……….……9分 即的分布列为:‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎……………………………………….……11分 所以 ……………………………………………….……12分 ‎19.解：（1）. 若对任意，都有 成立，则只需即可 ∵，∴，‎ ‎∴当，即时， 有最小值，故. ‎ ‎（2）依题意可得，由得，由图可知，在上有4个零点： ，根据对称性有，从而所有零点和为.‎ ‎20【详解】‎ ‎（1）取中点，连接、,‎ ‎ ，平面，平面 ‎，而平面,平面, 平面．‎ 为中点，，，‎ ‎，，四边形为平行四边形，‎ ‎．平面．‎ ‎（2）以为坐标原点，射线为轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系．‎ 设，，，则，，．‎ 设平面的法向量，‎ 则，，又，，‎ 故，取，得．‎ 因为与平面所成的角为，，‎ 所以， ，‎ 解得，．‎ 由（1）知平面的法向量，‎ 所以二面角的余弦值为 ‎21.解：（1）在中，因为，，，‎ 则，所以．(3分)‎ 在中，因为，，，由，‎ 得，则．(5分)‎ 所以．(6分)‎ ‎（2）设，则．‎ 在中，因为，则．(8分)‎ 所以 ‎．(11分)‎ 因为，则，，所以．‎ 故的取值范围是．(12分)‎ ‎22. (1).． ∴在内单调递减， ‎ ‎∴在内恒成立， 即在内恒成立．‎ 令，则，∴当时，，即在内为增函数；当时，，即在内为减函数． ‎ ‎∴的最大值为， ∴‎ ‎ (2).若函数有两个极值点分别为，，‎ 则在内有两根，，由（I），知． ‎ 由，两式相减，得．‎ 不妨设， ∴要证明，只需证明． ‎ 即证明，亦即证明． ‎ 令函数．∴，‎ 即函数在内单调递减．∴时，有，∴．‎ 即不等式成立． 综上，得．‎