人教版高二数学必修5知识点归纳

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- 1 - 必修五数学知识点归纳资料 第一章 解三角形 1、三角形的性质： ①.A+B+C= , sin( ) sinA B C  ， cos( ) cosA B C   2 2 2 A B C    sin cos 2 2 A B C  ②.在 ABC 中, a b ＞c , a b ＜c ; A＞B sin A＞ sin B , A＞B cosA＜cosB, a ＞b A＞B ③.若 ABC 为锐角，则 A B ＞ 2  ,B+C ＞ 2  ,A+C ＞ 2  ; 2 2a b ＞ 2c ， 2 2b c ＞ 2a ， 2a ＋ 2c ＞ 2b 2、正弦定理与余弦定理： ①.正弦定理： 2 sin sin sin a b c R A B C    (2R为 ABC 外接圆的直径) 2 sina R A 、 2 sinb R B 、 2 sinc R C （边化角） sin 2 aA R  、 sin 2 bB R  、 sin 2 cC R  （角化边） 面积公式： 1 1 1sin sin sin 2 2 2ABCS ab C bc A ac B    ②. 余 弦 定 理 ： 2 2 2 2 cosa b c bc A   、 2 2 2 2 cosb a c ac B   、 2 2 2 2 cosc a b ab C   2 2 2 cos 2 b c aA bc    、 2 2 2 cos 2 a c bB ac    、 2 2 2 cos 2 a b cC ab    （角化边） 补充：两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴  cos cos cos sin sin        ；⑵  cos cos cos sin sin        ； ⑶  sin sin cos cos sin        ；⑷  sin sin cos cos sin        ； ⑸   tan tantan 1 tan tan           （   tan tan tan 1 tan tan         ）； - 2 - ⑹   tan tantan 1 tan tan           （   tan tan tan 1 tan tan         ）． 二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin 2 2sin cos   ． 222 )cos(sincossin2cossin2sin1   ⑵ 2 2 2 2cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin          升幂公式 2 sin2cos1, 2 cos2cos1 22   降幂公式 2 cos 2 1cos 2    ， 2 1 cos 2sin 2    ． 3、常见的解题方法：（边化角或者角化边） 第二章 数列 1、数列的定义及数列的通项公式： ①. ( )na f n ，数列是定义域为 N的函数 ( )f n ，当 n依次取 1，2，  时的一列函 数值 ②. na 的求法： i.归纳法 ii. 1 1 , 1 , 2n n n S n a S S n      若 0 0S  ，则 na 不分段；若 0 0S  ，则 na 分段 iii. 若 1n na pa q   ，则可设 1 ( )n na m p a m    解得 m,得等比数列 na m iv. 若 ( )n nS f a ，先求 1a ，再构造方程组： 1 1 ( ) ( ) n n n n S f a S f a     得到关于 1na  和 na 的递推 关系式 例如： 2 1n nS a  先求 1a ，再构造方程组： 1 1 2 1 2 1 n n n n S a S a       （下减上） 1 12 2n n na a a   2.等差数列： ① 定义： 1n na a  = d（常数）,证明数列是等差数列的重要工具。 ② 通项: 1 ( 1)na a n d   , 0d  时， na 为关于 n的一次函数； d＞0时， na 为单调递增数列； d＜0时， na 为单调递减数列。 - 3 - ③ 前 n项和： 1( ) 2 n n n a aS   1 ( 1) 2 n nna d   ， 0d  时， nS 是关于 n的不含常数项的一元二次函数，反之也成立。 ④ 性质：i. m n p qa a a a   （m+n=p+q） ii. 若 na 为等差数列，则 ma ， m ka  ， 2m ka  ，…仍为等差数列。 iii. 若 na 为等差数列，则 nS ， 2n nS S ， 3 2n nS S ，…仍为等差数列。 iv 若 A 为 a,b 的等差中项，则有 2 a bA   。 3.等比数列： ① 定义： 1n n a q a   （常数），是证明数列是等比数列的重要工具。 ② 通项: 1 1 n na a q  (q=1 时为常数列)。 ③.前 n项和,   1 1 1 , 1 1 , 1 1 1 n n n na q S a q a a q q q q          ,需特别注意,公比为字母时要讨论. ④.性质： i.  qpnmaaaa qpnm  。 ii.  仍为等比数列则为等比数列 ,,,, 2kmkmmn aaaa  ，公比为 kq 。 iii.   2 3 2, , , ,n n n n n na S S S S  K为等比数列 则S 仍为等比数列，公比为 nq 。 iv.G 为 a,b 的等比中项, abG  4.数列求和的常用方法: ①.公式法:如 13,32  n nn ana ②.分组求和法:如 5223 1   na nn n ，可分别求出 3n ， 12n 和 2 5n  的和， 然后把三部分加起来即可。 - 4 - ③.错位相减法:如   n n na       2 123 ，   2 3 11 1 1 1 15 7 9 (3 1) 3 2 2 2 2 2 2 n n nS n n                                      1 2 nS  2 3 41 1 15 7 9 2 2 2                    …＋     11 13 1 3 2 2 2 n n n n               两式相减得：   2 3 11 1 1 1 1 15 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 n n nS n                                     ，以下略。 ④.裂项相消法:如   nn nn a nnnn a nn        1 1 1; 1 11 1 1 ，     1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1na n n n n          等。 ⑤.倒序相加法.例：在 1与 2之间插入 n个数 1 2, 3,, , na a a a  ，使这 n+2 个数成等差数 列， 求： 1 2n nS a a a    ，（答案： 3 2nS n ） 第三章 不等式 1.不等式的性质: 1 不等式的传递性: cacbba  , 2 不等式的可加性: ,, cbcaRcba  推论: dbca dc ba       3 不等式的可乘性: 0 0 0 ; 0 ; 0                   bdac dc ba bcac c ba bcac c ba 4 不等式的可乘方性: 00;00  nnnn babababa 2.一元二次不等式及其解法: ①.   cbxaxxfcbxaxcbxax  222 ,0,0 注重三者之间的密切联系。 如： 2ax bx c  ＞0的解为： ＜x＜  , 则 2ax bx c  ＝0的解为 1 2,x x   ； 函数   2f x ax bx c   的图像开口向下，且与 x轴交于点  ,0 ，  ,0 。 - 5 - 对于函数   cbxaxxf  2 ，一看开口方向,二看对称轴，从而确定其单调区间等。 ②.注意二次函数根的分布及其应用. 如：若方程 2 2 8 0x ax   的一个根在（0，1）上，另一个根在（4,5）上，则有 (0)f ＞0且 (1)f ＜0且 (4)f ＜0且 (5)f ＞0 3.不等式的应用： ①基本不等式：    22 2 2 20, 0, , 2 , 2 2 a ba b ab a b ab a b a b         当 a＞0,b＞0且 ab是定值时，a+b有最小值； 当 a＞0,b＞0且 a+b为定值时，ab有最大值。 ②简单的线性规划:  00  ACByAx 表示直线 0 CByAx 的右方区域.  00  ACByAx 表示直线 0 CByAx 的左方区域 解决简单的线性规划问题的基本步骤是： ①.找出所有的线性约束条件。 ②.确立目标函数。 ③.画可行域，找最优点，得最优解。 需要注意的是，在目标函数中，x的系数的符号， 当 A＞0时，越向右移，函数值越大，当 A＜0时，越向左移，函数值越大。 ⑷常见的目标函数的类型： ①“截距”型： ;z Ax By  ②“斜率”型： yz x  或 ;y bz x a    ③“距离”型： 2 2z x y  或 2 2 ;z x y  2 2( ) ( )z x a y b    或 2 2( ) ( ) .z x a y b    画——移——定——求： - 6 - 第一步，在平面直角坐标系中画出可行域；第二步，作直线 0 : 0l Ax By  ，平 移直线 0l （据可行域，将直线 0l 平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解 ( , )x y ； 第四步，将最优解 ( , )x y 代入目标函数 z Ax By  即可求出最大值或最小值 . 第二步中最优解的确定方法： 利用 z的几何意义： A zy x B B    , z B 为直线的纵截距. ①若 0,B  则使目标函数 z Ax By  所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得 最大值，使直线的纵截距最小的角点处， z取得最小值； ②若 0,B  则使目标函数 z Ax By  所表示直线的纵截距最大的角点处，z取得 最小值，使直线的纵截距最小的角点处， z取得最大值.