2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

2018-2019学年江苏省南通市海安高级中学高二上学期期中考试数学试题 解析版

绝密★启用前 江苏省南通市海安高级中学2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．已知集合 集合，则中元素的个数为__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出圆心到直线的距离，可利用此距离来判断直线与圆的位置关系，从而得出交点个数即为交集中元素的个数.‎ ‎【详解】‎ 的圆心为（0，0）圆心在直线上，所以圆心到直线的距离为0，所以直线与圆相交，有两个交点，所以 中元素有2个,故答案为2.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了交集的元素个数问题，通过判断直线与圆的位置关系即可,是基础题.‎ ‎2．已知是等差数列，是其前项和，若=10，，则的值是___________.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等差数列的前n项和的公式及通项性质得出，又由可得出公差d，借助于和d即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 因为是等差数列，所以 又，所以 可得.故答案为-4.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式及性质和前n项和的公式，由前n 项和可以求得某一项，由项之间可以求得公差及首项,是基础题.‎ ‎3．若不等式的解集为，则的值为__________‎ ‎【答案】-3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由不等式与对应一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出p的值；‎ ‎【详解】‎ ‎∵不等式x2+px+2＜0的解集是{x|1＜x＜2}，∴1和2是一元二次方程x2+px+2=0的两个实数根，∴1+2=-p, ∴p=-3，故答案为-3.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可求出参数，属于基础题．‎ ‎4．曲线在点处的切线方程为__________.（写出斜截式方程）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用切线的斜率是函数在切点处导数，求出切线斜率，再利用直线方程的点斜式求出切线方程．‎ ‎【详解】‎ ‎∵y=lnx，∴y′＝，∴函数y=lnx在x=1处的切线斜率为1，又∵切点坐标为（1，0），∴切线方程为y=x-1，故答案为：y=x-1.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程，正确求导是关键,属于基础题.‎ ‎5．已知向量a，b满足，，则a·b = ____________‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用数量积的运算性质可得，因为 代入即可得出的值.‎ ‎【详解】‎ 由 可得 ∵∴2-=3∴=-1，故答案为-1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的数量积的性质及向量数量积的基本运算，属于基础题.‎ ‎6．若,则____________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 故答案为.‎ ‎7．已知实数，满足不等式组则的最大值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：可行域为一个三角形ABC及其内部，其中，所以直线过点C时取最大值8.‎ 考点：线性规划 ‎【名师点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.‎ ‎8．已知椭圆的焦点轴上，且焦距为4，则m =_______.‎ ‎【答案】13‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的简单性质直接求解．‎ ‎【详解】‎ ‎∵椭圆的长轴在x轴上，∴ 解得11＜m＜20，∵焦距为4，∴c2=m-2-20+m=4，解得m=13．故答案为13.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查椭圆中参数的求法，是基础题，解题时要熟练掌握椭圆的简单性质,看清焦点位置是关键.‎ ‎9．在数列中，，，是其前项和，则的值是__________.‎ ‎【答案】126‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得数列{an}是首项为2，公比q=2的等比数列，运用等比数列的求和公式，即可求出 的值.‎ ‎【详解】‎ 数列{an}中a1=2，an+1=2an，可得数列{an}是首项为2，公比q=2的等比数列，可得 ,故答案为126‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列的定义和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题，注意计算的准确性.‎ ‎10．平面上三条直线x–2y+1=0，x–1=0，x+ky=0，如果这三条直线将平面划分为六个部分，则实数k的取值组成的集合A=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 略 ‎11．若直线过点，则的最小值为__________.‎ ‎【答案】19‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线过点可得再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【详解】‎ ‎∵直线过点可得，∴=（=10+ 当且仅当a=3，b=6时取等号．的最小值为19.故答案为19.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线截距式的方程、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题，注意求最值时等号成立的条件要写上.‎ ‎12．已知P在椭圆上，是椭圆的两个焦点，，且的三条边长成等差数列，则椭圆的离心率e =___________. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据椭圆的性质化简条件,得到△F1PF2所满足的条件,再根据已知三条边长成等差数列,列等式求解离心率.‎ ‎【详解】‎ 由椭圆的性质,可知O为F1F2的中点,所以,由及得所以∠F1PF2=90°.设|PF1|=m<|PF2|,则由椭圆的定义,可得|PF2|=2a-|PF1|=2a-m,而|F1F2|=2c.因为△F1PF2的三条边长成等差数列,所以2|PF2|=|PF1|+|F1F2|,即m+2c=2(2a-m),解得m=(4a-2c),即|PF1|=(4a-2c).所以|PF2|=2a-(4a-2c)= (2a+2c).又∠F1PF2=90°,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2,即 ‎=(2c)2.整理,得5a2-2ac-7c2=0,解得a=c或a=-c(舍去).则e=.故答案为 ‎【点睛】‎ 本题利用向量式子得出焦点三角形为直角三角形，根据三边成等差数列得出|PF1|，|PF2|的长，再结合勾股定理得出a,c的等量关系即可求出e.‎ ‎13．直线与直线相交于点M，则长度的最小值为___________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 直线可化为y-1=k（x-2）过定点P（2，1）, 直线可化为x-2+k(y-3)=0过定点Q（2,3），且满足k•1-1•k=0，∴两条直线互相垂直，垂足为M，其交点M在以PQ为直径的圆上，即M落在以T（2，2）为圆心，1为半径的圆上，所以|OM|的最小值为|OT|-1=，故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线的方程、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系、动点的轨迹问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题,发现两条直线垂直是关键点.‎ ‎14．定义：点到直线的有向距离为已知点，，直线m过点，若圆上存在一点，使得三点到直线m的有向距离之和为0，则直线m斜率的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直线m过定点（4，0）可设直线m为kx-y-4k=0，由三点到直线m 的有向距离之和为，化简得kx-y-12k=0即求出了点C的轨迹，又C在圆上，所以转化为直线与圆有交点，即即可解得斜率范围.‎ ‎【详解】‎ 设直线m的方程为y=k(x-4),即kx-y-4k=0,设C(x,y)则三点到直线m的有向距离之和为，化简得kx-y-12k=0,又C在圆上，所以kx-y-12k=0与36有交点，圆心到直线的距离为 解得，故答案为 ‎【点睛】‎ 本题考查了新定义“有向距离”、点到直线的距离公式，根据题意求出点C的轨迹是关键，点C即为直线与圆的交点，即可利用直线与圆的位置关系解决问题.‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．如图，在四棱锥中，底面是正方形， 平面，且，点为线段的中点.‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面； ‎ ‎（2）求证：平面.‎ ‎【答案】(1)见解析(2)见解析 ‎【解析】‎ 试题分析：（1）连结交于点，连结，通过中位线的性质得到 ‎，由线面平行判定定理得结果；（2）通过线面垂直得到 ，通过等腰三角形得到 ，由线面垂直判定定理可得 面，再结合面面垂直判定定理得即可得结果.‎ 试题解析：（1）证明：连结交于点，连结，∵四边形为正方形，∴‎ 为的中点，又∵为中点，∴为的中位线 ‎∴ ，又∵ 面.‎ ‎（2）∵四边形为正方形，∴ ，，∴ 面 ‎∴ ，又∵，为中点 ‎∴ ，∴ 面，又∵面，∴面面 点睛：本题主要考查了线面平行的判定，面面平行的判定，属于基础题；主要通过线线平行得到线面平行，常见的形式有：1、利用三角形的中位线（或相似三角形）；2、构造平行四边形；3、利用面面平行等；垂直关系中应始终抓住线线垂直这一主线..‎ ‎16．如图，是单位圆O上的点，C，D分别是圆O与x轴的两交点,为正三角形. ‎ ‎（1）若点坐标为，求的值；‎ ‎（2）若，四边形CABD的周长为y，试将y表示成x的函数，并求出y的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）A点的坐标为，根据正弦、余弦定义可得 ‎，‎ 所以 ‎（2）由题意知，在中，，由正弦定理得，即，同理有，‎ 所以，‎ 又因为，，，所以当时，.‎ 试题解析：（1）A点的坐标为，所以，‎ ‎（5分）‎ ‎（2）由题意知，（8分）‎ 因为，，，（10分）‎ 故当时，. （12分）‎ 考点：1.三角函数定义；2.正弦定理；3.恒等变换公式.‎ ‎17．已知函数，其中R．‎ ‎（1）当时，求函数在上的值域； ‎ ‎（2）若函数在上的最小值为3，求实数k的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）求导，再利用导数工具即可求得正解；（2）求导得 ‎ ‎，再分 和 两种情况进行讨论； ‎ 试题解析：（1）解： 时，‎ ‎ 则 ‎ 令得列表 ‎ ‎ ‎+‎ ‎ ‎ ‎ -‎ ‎+‎ 单调递增 ‎ ‎ 单调递减 ‎ ‎ 单调递增 ‎ 21‎ ‎ 由上表知函数的值域为 ‎ ‎ （2）方法一：‎ ‎ ①当时，，函数在区间单调递增 所以 ‎ 即（舍） ‎ ‎ ②当时，，函数在区间单调递减 ‎ 所以 ‎ 符合题意 ‎ ‎ ③当时,‎ 当时， 区间在单调递减 当时， 区间在单调递增 ‎ 所以 ‎ 化简得：‎ ‎ 即 ‎ 所以或（舍）‎ ‎ 注：也可令 ‎ 则 ‎ 对 在单调递减 ‎ 所以不符合题意 ‎ 综上所述：实数取值范围为 ‎ ‎ 方法二：‎ ‎ ①当时，，函数在区间单调递减 ‎ 所以 ‎ 符合题意 …………8分 ‎②当时，，函数在区间单调递增 所以 不符合题意 ‎ ‎ ③当时,‎ 当时， 区间在单调递减 当时， 区间在单调递增 ‎ 所以 不符合题意 综上所述：实数取值范围为 ‎18．某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成（即北偏西）的直线l在在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留. 基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船.‎ ‎（1）如果O和A相距6海里，求可疑船被截获处的点P的轨迹；‎ ‎（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上）．则、‎ 之间的最大距离是多少海里？ ‎ ‎【答案】（1）轨迹是以(4，4)为圆心，4为半径的圆；(2) 15(－1)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意知点A坐标，设点P（x，y），利用|OP|=2|AP|列方程求得点P的轨迹方程；（2）求得直线l的方程，设|OA|=t、点P（x，y），利用|OP|=2|AP|求得点P的轨迹方程，利用点到直线的距离列不等式求出O、A间的最远距离．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）设可疑船能被截获的点为P(x，y)，由题意得OP=2AP，OA=6 (海里)，∠ AOx=，点A的坐标(3，3)，则有 ‎ 化简得(x－4)2+(y－4)2=16，轨迹是以(4，4)为圆心，4为半径的圆．‎ ‎（2）设点A的坐标(t，t)，t＞0，可疑船被截获处的点为P(x，y)，‎ 由题意得OP=2AP，即有，化简得 因为M(40，0)，l的倾斜角，因此直线方程为l：x+y－40=0．由题意，点A在领海内，因此t+t－40＜0．即0＜t＜ ．P的轨迹与直线没有公共点，则轨迹圆心到分界线距离 ，即 |t－5|＞，解之得t＞ (不合，舍去)或0＜t＜．又因为OA=2t，因此OA的最大距离为15(－1)(海里)．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了轨迹方程的求解以及直线与圆的位置关系应用问题，是中档题,求轨迹问题常用的方法：直接法，定义法，相关点法，消参法，交轨法.‎ ‎19．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： 的离心率为，且过点，过椭圆的左顶点A作直线轴，点M为直线上的动点，点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于P．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）求证： ；‎ ‎（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）详见解析（3）4．‎ ‎【解析】试题分析：（1）两个独立条件可解得两个未知数：由离心率为得，由椭圆C过点得，即得， ，则椭圆C的方程．（2）证明，一般从坐标表示出发：先设，则，又由B,P,M三点关系可得，从而，也可设直线斜率表示点的坐标（3）同（2） ‎ 试题解析：（1）∵椭圆C： 的离心率为，‎ ‎∴，则，又椭圆C过点，∴． 2分 ‎∴， ，‎ 则椭圆C的方程． 4分 ‎（2）设直线BM的斜率为k，则直线BM的方程为，设，‎ 将代入椭圆C的方程中并化简得：‎ ‎， 6分 解之得， ，‎ ‎∴，从而． ８分 令，得，∴， ． 9分 又＝， 11分 ‎∴，‎ ‎∴． 13分 ‎（3）=．‎ ‎∴为定值4． 16分 考点：直线与椭圆位置关系，椭圆方程 ‎20．已知常数，设各项均为正数的数列的前项和为，满足，（）．‎ ‎（I）若，求数列的通项公式；‎ ‎（II）若对一切恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（I）（II）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）时，,变形得，即数列为一个等差数列，从而，再根据得；也可变形为，即，从而有（II）同（I）可得，再利用叠加法得到，利用得，因为对一切恒成立，可化简为对一切恒成立，变量分离得对一切恒成立，下面只需求出最大值即可，利用求数列单调性方法得是一切中的最大项，因此 试题解析：解：（I）时，．‎ 又，．‎ ‎，．．‎ ‎，．‎ ‎（II），，．‎ 则，，，（）．‎ 相加，得．‎ 则（）．‎ 上式对也成立，‎ ‎（）． ①‎ ‎（）． ②‎ ②①，得，即 ‎．‎ ‎，，．‎ 对一切恒成立，‎ 对一切恒成立．即对一切恒成立．‎ 记，则．‎ 当时，；‎ 当时，；‎ 是一切中的最大项．‎ 综上所述，的取值范围是．‎ 考点：由和项求通项，叠加法求和，数列单调性 ‎【方法点睛】给出Sn与an的递推关系求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an（n≥2）转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an. 应用关系式an＝时，一定要注意分n＝1，n≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.‎