【数学】2019届一轮复习北师大版空间几何体的视图、表面积和体积学案

【数学】2019届一轮复习北师大版空间几何体的视图、表面积和体积学案

专题四 立体几何 第一讲 空间几何体的三视图、表面积和体积 ‎ 1. 由直观图判断三视图或由三视图想象直观图，以三视图为载体，考查面积、体积的计算．‎ ‎2．空间几何体的表面积与体积的计算，通常以几何体为载体与球进行交汇考查，或蕴含在两几何体的“接”或“切”形态中.‎ ‎1．(2016·全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )‎ A．20π B．24π C．28π D．32π ‎[解析] 由三视图可得圆锥的母线长为＝4，∴S圆锥侧＝π×2×4＝8π.又S圆柱侧＝2π×2×4＝16π，S圆柱底＝4π，∴该几何体的表面积为8π＋16π＋4π＝28π.故选C.‎ ‎[答案] C ‎2．(2017·全国卷Ⅰ)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )‎ A．10 B．12 C．14 D．16‎ ‎[解析] 该几何体由上方的三棱锥A－BCE和下方的三棱柱BCE－B‎1C1A1构成，其中面CC‎1A1A和面BB‎1A1A是梯形，则梯形的面积之和为2×＝12.故选B.‎ ‎[答案] B ‎3．(2017·浙江卷)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单位：cm3)是( )‎ A.＋1 B.＋3‎ C.＋1 D.＋3‎ ‎[解析] 由三视图可知该几何体是由底面半径为1 cm，高为3 cm的半个圆锥和三棱锥S－ABC组成的，如图，三棱锥的高为3 cm，底面△ABC中，AB＝2 cm，OC＝1 cm，AB⊥OC.故其体积V＝××π×12×3＋××2×1×3＝cm3.故选A.‎ ‎[答案] A ‎4．(2016·全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABC－A1B‎1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )‎ A．4π B. C．6π D. ‎[解析] 由题意可得若V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若与三个侧面都相切，可求得球的半径为2，球的直径为4，超过直三棱柱的高，所以这个球放不进去，则球可与上下底面相切，此时球的半径R＝，该球的体积最大，Vmax＝πR3＝×＝.故选B.‎ ‎[答案] B ‎5．(2017·山东卷)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如下图，则该几何体的体积为________．‎ ‎[解析] 由三视图得该几何体的直观图(如图)．‎ 其中，长方体的长，宽，高分别为2,1,1，圆柱体的底面半径为1，高为1.所以该几何体的体积V＝2×1×1＋×π×12×1＝2＋.‎ ‎[答案] 2＋ 考点一 空间几何体的三视图和直观图 ‎1．三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样．即“长对正、高平齐、宽相等”．‎ ‎2．原图形面积S与其直观图面积S′之间的关系 S′＝S.‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．(2017·山东部分重点高中模拟)某几何体的正(主)视图和侧(左)视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )‎ ‎[解析] 由正(主)视图和侧(左)视图可知，该几何体的顶点的正投影只可能位于底面的某条边上，而不可能位于底面内部，能满足此要求的有A，B，D，故选C.‎ ‎[答案] C ‎2．正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为棱BB1的中点(如图)，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的正视图为( )‎ ‎[解析] 过点A，E，C1的平面与棱DD1相交于点F，且F是棱DD1的中点，截去正方体的上半部分，剩余几何体的直观图如图所示，则其正视图应为选项C.‎ ‎[答案] C ‎3．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )‎ A．3 B．‎2 C．2 D．2‎ ‎[解析] 由三视图得该四棱锥的直观图如图中S－ABCD所示，由图可知，其最长棱为SD，且底面ABCD是边长为2的正方形，SB⊥面ABCD，SB＝2，所以SD＝＝2.故选B.‎ ‎[答案] B ‎4.一水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则该平面图形的面积为________．‎ ‎[解析] 如图，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，‎ 则在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝.‎ 而四边形AECD为矩形，AD＝1，‎ ‎∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋1.‎ 由此可还原原图形如图．‎ 在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，‎ B′C′＝＋1，‎ 且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，‎ ‎∴该平面图形的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′‎ ‎＝××2＝2＋.‎ ‎[答案] 2＋ ‎ 由三视图还原到直观图的3步骤 ‎(1)根据俯视图确定几何体的底面．‎ ‎(2)根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置．‎ ‎(3)确定几何体的直观图形状．‎ 考点二 空间几何体的表面积和体积 ‎1．柱体、锥体、台体的侧面积公式 ‎(1)S柱侧＝ch(c为底面周长，h为高)；‎ ‎(2)S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；‎ ‎(3)S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)．‎ ‎2．柱体、锥体、台体的体积公式 ‎(1)V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎(2)V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；‎ ‎(3)V台＝(S＋＋S′)h(不要求记忆)．‎ ‎3．球的表面积和体积公式 S表＝4πR2(R为球的半径)，‎ V球＝πR3(R为球的半径)．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．(2017·全国卷Ⅱ)如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )‎ A．90π B．63π C．42π D．36π ‎[解析] 由三视图可知两个同样的几何体可以拼成一个底面直径为6，高为14的圆柱，所以该几何体的体积V＝×32×π×14＝63π.故选B.‎ ‎[答案] B ‎2．(2017·石家庄一模)某几何体的三视图如图所示( 格线中每个小正方形的边长为1)，则该几何体的表面积为( )‎ A．48 B．54 C．64 D．60‎ ‎[解析] 由三视图可知该几何体为棱长分别为3,4,6的长方体所截得，如图所示，其中M为棱的中点，S△MCD＝×6×5＝15，S△MAD＝S△MBC＝×5×3＝，S△MAB＝×6×4＝12，S矩形ABCD＝6×3＝18，所以该几何体的表面积为15＋×2＋12＋18＝60，故选D.‎ ‎[答案] D ‎3．(2017·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )‎ A．6π＋1 B.＋1‎ C.＋ D.＋1‎ ‎[解析] 由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋＋＋1＝＋1，故选D.‎ ‎[答案] D ‎4．(2017·唐山三模)已知一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．‎ ‎[解析] 由三视图得该几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直于直角梯形的上底边的直角顶点的四棱锥，所以该几何体的体积为××2×2＝4.‎ ‎[答案] 4‎ ‎ 求几何体表面积和体积关键过好“两关”‎ ‎(1)还原关，即利用“长对正，宽相等，高平齐”还原空间几何体的直观图．‎ ‎(2)公式关，即会利用空间几何体的体积或表面积公式求简单组合体的体积或表面积．‎ ‎【特别提醒】 求不规则几何体的体积，常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解．‎ 考点三 多面体与球 ‎ ‎ ‎[解析] 三棱锥如右图，设外接球半径为R，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，D为BC中点．SD⊥面ABC.球心O在SD上，SD＝2.在直角△ODC中，OC＝R，OD＝2－R，DC＝.则(2－R)2＋()2＝R2，即R＝，故V－ABC的外接圆的表面积为S＝4πR2＝9π，选B.‎ ‎[答案] B ‎ 解决多面体与球切、接问题的3步骤 ‎(1)过球及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作面，化空间问题为平面问题．‎ ‎(2)利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，确定球心位置．‎ ‎(3)建立几何量间关系，求半径r.‎ ‎【特别提醒】 若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎[对点训练] ‎ ‎1．[角度1](2017·全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )‎ A．π B. C. D. ‎[解析] 如图所示，作出圆柱的轴截面，其中CD为圆柱的高，B为CD的中点．‎ 由题意可得AC＝1，BC＝，则底面半径r＝AB＝ ＝，所以圆柱的体积V＝πr2h＝π×2×1＝π.故选B.‎ ‎[答案] B ‎2．[角度2](2017·洛阳市高三第一次统考)四面体A－BCD中，∠ABC＝∠ABD＝∠CBD＝60°，AB＝3，CB＝DB＝2，则此四面体外接球的表面积为( )‎ A.π B. C．17π D. ‎[解析] 依题意，在△ABC中，AC＝＝.在△ABD中，AD＝‎ ＝＝AC.在△BCD中，BC＝DB＝2，∠CBD＝60°，因此△BCD是正三角形，CD＝2.如图所示，‎ 记三棱锥A－BCD的外接球球心为O，半径为R，取CD的中点M，连接AM，BM，OA，OB，则有AM⊥CD，BM⊥CD，AM＝＝，BM＝×2＝，AM2＋BM2＝9＝AB2，AM⊥BM，AM⊥平面BCD，球心O在平面BCD上的射影是正△BCD的中心O1，连接OO1，则AM∥OO1，O‎1M＝BM＝，O1B＝BM＝.在直角△BOO1中，OO1＝＝ ，AM＝，AO2＝O‎1M2‎＋(AM－OO1)2，即R2＝＋2，解得4R2＝＝ ‎，因此三棱锥A－BCD的外接球的表面积等于4πR2＝，选A.‎ ‎[答案] A 热点课题14 补形法求几何体的表面积和体积 ‎ [感悟体验] ‎ ‎1．(2017·山西太原三模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )‎ A．2 B. C．4 D. ‎[解析] 观察三视图并依托正方体，可得该几何体直观图为A1－ABEF，如图所示，其体积为V正方体－VAFD－BEC－VA1－BEC1B1－‎ VA1－FEC1D1＝2×2×2－×2×1×2－×2×(1＋2)×2×－×1×2×2＝.‎ ‎[答案] B ‎2．(2017·安徽皖北协作区3月联考)如图， 格纸上小正方形的边长为1，粗线(实线和虚线)表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为( )‎ A．24π B．29π C．48π D．58π ‎[解析] 如图，在3×2×4的长方体中构造符合题意的几何体(三棱锥A－BCD)，其外接球即为长方体的外接球，表面积为4πR2＝π(32＋22＋42)＝29π.‎ ‎[答案] B