福建省泉州市泉港区第一中学2019-2020学高一上学期第一次月考数学试题
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泉港一中2019-2020学年上学期第一次月考
高一数学试卷
一、选择题（每小题5分，共60分.下列四个选项中只有一个正确）
1.已知集合A＝{x∈N|–1
0，方程x2－x＋c＝0有解，则¬p为（ ）
A. ∃c>0，方程x2－x＋c＝0无解 B. ∀c≤0，方程x2－x＋c＝0无解
C. ∀c>0，方程x2－x＋c＝0无解 D. ∃c≤0，方程x2－x＋c＝0有解
【答案】C
【解析】
【分析】
直接根据特称命题的否定判断即可.
【详解】“∃c>0,方程x2－x＋c＝0有解”的否定为“∀c>0,方程x2－x＋c＝0无解”,
故选：C
【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题型.
3.设全集为R，集合，，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
分析：由题意首先求得，然后进行交集运算即可求得最终结果.
详解：由题意可得：，
结合交集的定义可得：.
本题选择B选项.
点睛：本题主要考查交集的运算法则，补集的运算法则等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.设，是实数，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D.
考点：1.充分条件、必要条件；2.不等式的性质.
5.对于实数a，b，c，有下列命题：
①若a>b，则acbc2，则a>b；
③若aab>b2；
④若c>a>b>0，则
其中真命题的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
根据不等式的性质与举反例的方法逐个判断即可.
【详解】对①,当时显然不成立.故①错误.
对②,由,显然,两边除以可得.故②正确.
对③,因为,同时乘以有,同时乘以有,故.故③正确.
对④,因为,假设成立,则因为则有即显然成立,故④正确.
故选：C
【点睛】本题主要考查了不等式的性质与判定等,需要根据不等式性质推导或者举反例判断.属于基础题型.
6.已知集合A＝，，则满足条件AC⊆B的集合C的个数为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
分别求出对应的集合,再根据可得中元素需满足的关系再求解即可.
【详解】,,又,
故中一定有元素,可能有元素且至少有一个.故满足条件的集合的个数与的非空子集的个数相同,为个.
故选：C
【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系与非空子集的个数问题,属于中等题型.
7.已知条件，条件，则是的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】因为，：；
，：，
因此从集合角度分析可知是的充分不必要条件，选A.
8.已知，则取最大值时的值是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据构造成，利用基本不等式即可求得最大值，从而根据基本不等式取等号的条件，确定出的值.
【详解】，
，
当且仅当，即时取等号，
取最大值时的值为，故选C.
【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，以及取得最值的条件，意在考查对基本方法掌握的熟练程度，属于简单题.
9.若不等式的解集为，那么不等式的解集为 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题中所给的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到，由根与系数的关系求出的关系，再代入不等式，求解即可.
【详解】因为不等式的解集为，所以和是方程的两根，且，所以,即，代入不等式整理得，因为，所以,
所以，
故选D
【点睛】本题主要考查含参数的一元二次不等式的解法，已知一元二次不等式的解求参数，通常用到韦达定理来处理，难度不大.
10.当两个集合中一个集合为另一集合的子集时，称这两个集合构成“全食”；当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时，称这两个集合构成“偏食”．对于集合A＝，，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值集合为（ ）
A. {1} B. {1，4} C. {0，1，4} D. {0,1，2，4}
【答案】C
【解析】
【分析】
分情况解集合,再根据“全食”与“偏食”概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可.
【详解】由,当时, ,满足为的子集.此时与构成“全食”.
当时, .若A与B构成“全食”或构成“偏食”.
则或,解得或.
综上,或
故选：C
【点睛】本题主要考查了集合的新定义问题与集合中含参的求解问题,需要分情况根据题意进行讨论,属于中等题型.
11.对任意a[-1,1],函数的值恒大于零，则x的取值范围是（ ）
A. 13 C. 12
【答案】B
【解析】
试题分析：令，因为对于，函数的值恒大于零，则，解得.
考点：不等式恒成立问题.
12.若实数，满足，则的最小值为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D.
【答案】B
【解析】
【分析】
将化简成包含与的结构,再利用“1的转换”乘以,展开利用基本不等式求解即可.
【详解】由,
故
,
当且仅当时“=”成立.
故选：B
【点睛】本题主要考查了基本不等式中“1的转换”的运用,需要构造与中分母相同的形式进行等量代换,属于中等题型.
二、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知 ,则“成立”是“成立”的_________条件．（请在“充分不必要.必要不充分.充分必要”中选择一个合适的填空）．
【答案】必要不充分
【解析】
【分析】
分别求解绝对值不等式与分式不等式，再由充分必要条件的判定方法得答案．
【详解】由|x﹣1|＜2，得﹣2＜x﹣1＜2，
∴﹣1＜x＜3，
由，得0＜x＜3．
∴由|x﹣1|＜2，可得，反之，由，不能得到|x﹣1|＜2．
∴“|x﹣1|＜2成立”是“成立”的必要不充分条件．
故答案为必要不充分．
【点睛】本题考查充分必要条件的判定方法，考查绝对值不等式与分式不等式的解法，是基础题．
14.已知关于x的不等式x2－ax＋2a＞0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_______．
【答案】（0,8）
【解析】
【详解】因为不等式x2-ax+2a＞0在R上恒成立．
∴△=（-a）2-8a＜0，解得0＜a＜8，
故答案为（0，8）
考点：一元二次不等式的应用，以及恒成立问题
15.若，则下列不等式：①a＋b|b|；③；④b>a，正确的有________
【答案】
【解析】
【分析】
先求出b＜a＜0，根据不等式的性质分别判断即可．
【详解】∵，∴b＜a＜0，∴a+b＜0，ab＞0，
∴a+b＜ab，①正确；|a|＜|b|，②错误；＞2，③正确；④错误；
故答案为：．
【点睛】本题考查了不等式的基本性质，考查转化思想，是一道基础题．
16.若集合且下列四个关系：①；②；③；④中有且只有一个是正确的，则符合条件的所有有序数组的个数是________．
【答案】6
【解析】
【分析】
因为①；②；③；④中有且只有一个是正确的,故分四种情况进行讨论,分别分析可能存在的情况即可.
【详解】若仅有①成立,则必有成立,故①不可能成立.
若仅有②成立,则,,,成立,此时有,两种情况.
若仅有③成立,则,,,成立,此时仅有成立.
若仅有④成立,则,,,成立,此时有三种情况.
综上符合条件的所有有序数组的个数是6个.
故答案为：6.
【点睛】本题主要考查了集合的综合运用与逻辑推理的问题,需要根据题设条件分情况讨论即可.属于中等题型.
三、解答题(共70分，解答应写出必要的文字说明或演算过程)
17.已知集合A＝{x|x2－2x－8＝0}，B＝{x|x2＋ax＋a2－12＝0}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围.
【答案】{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．
【解析】
【分析】
先解出集合,再根据可分情况,当与两种情况进行讨论二次方程的根即可.
【详解】解： A＝{-2,4}
∵B∪A＝A ∴B＝∅或B＝{－2}或B＝{4}或B＝{－2,4}
①当B＝∅时,Δ＝a2－4(a2－12)＜0,即a2＞16,∴a＜－4或a＞4.
②当B是单元素集时,Δ＝a2－4(a2－12)＝0,解得a＝－4或a＝4.
若a＝－4,则 B＝{2}A；
若a＝4,则B＝{－2}⊆A；
③当B＝{－2,4}时,－2,4是方程x2＋ax＋a2－12＝0的两实根,∴∴a＝－2.
综上可得,所求a的取值范围为{a|a＜－4或a＝－2或a≥4}．
【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系与分类讨论的思想,需要根据题设条件分析集合中元素的可能情况,属于中等题型.
18.设命题：“对任意的，”，命题：“存在，使”．如果命题p和命题q中有且只有一个为真命题，求实数的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
先分别求出为真命题时参数满足的条件,再根据命题p和命题q中有且只有一个为真命题分“真假”与“假真”两种情况进行讨论即可.
【详解】对于命题,对任意的,,
∴,即：；
对于命题,存在,使,
∴,即：或．
∵,一真一假．
∴当p真q假时,；
当p假q真时,．
综上,或,故实数a取值范围是．
【点睛】本题主要考查了命题的真假求参数的范围问题,需要利用,一真一假进行分情况讨论,属于中等题型.
19.（1）设a>b>0，试比较与的大小．
（2）若关于x的不等式(2x－1)2b>0,∴a＋b>0,a－b>0,2ab>0,a2＋b2>0,
∴>0,∴
(作商法)
∵a>b>0,∴>0, >0,2ab>0,
∴＝＝＝1＋>1
(2)不等式(2x－1)2.
设满足条件¬q的元素构成的集合为C,
则C＝.
因为p是¬q的充分而不必要条件,所以AÜC,
所以>10或<－2,解得m＞21或m＜－8.
所以实数m取值范围为(－∞,－8)∪(21,＋∞)．
(2)解：(法一)命题¬p：x<－2或x>10.
设满足条件¬p的元素构成的集合为D,
则D＝{x|x<－2或x>10}．
因为¬q是¬p的必要而不充分条件,所以DÜC,
所以或
解得－3≤m≤16.
所以实数m的取值范围为[－3,16]．
(法二)因为¬q是¬p的必要而不充分条件,
所以p是q的必要而不充分条件,所以BÜA,
所以或
解得－3≤m≤16.
所以实数m的取值范围为[－3,16]．
【点睛】本题主要考查了根据充分与必要条件与集合的解集之间的关系等,需要根据集合间的关系列出区间端点满足的表达式再求解,属于中等题型.
21.甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元.
(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.
【答案】(1)(2)时，元
【解析】
【详解】(1)根据题意，200≥3000，即5x－14－≥0.又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.
(2)设利润为y元，则y＝·100＝9×104，
故x＝6时，ymax＝457500元．
22.（1）若x>2，求函数y＝最大值．
（2）设x，y，z均为正实数，且xyz＝1，求证：x＋y＋≥2，并指出取得等号的条件．
【答案】(1) (2)证明见解析，成立的条件
【解析】
【分析】
(1)将分母化简为含有分子的表达式,再上下同时除以,再对分母利用基本不等式求解即可.
(2)由可得,再代入中,利用基本不等式证明即可.
【详解】解：（1）∵x>2,∴x－2>0,
∴y＝＝＝,
根据基本不等式得(x－2)＋≥2＝2 ,∴≤＝,
当且仅当x－2＝,即x＝2＋时取得等号,
故y＝ (x>2)的最大值为.
（2）∵xyz＝1,∴z＝
∵x,y,z均为正实数,∴x＋y＋＝x＋y＋＝＋y
≥2＋y＝＋y≥2＝2
取得等号条件是即
【点睛】本题主要考查了基本不等式的综合运用,需要熟悉“一正二定三相等”的方法,属于中等题型.
