数学理卷·2018届福建省福州格致中学鼓山校区高二上学期期末模拟考试（2016-12）

数学理卷·2018届福建省福州格致中学鼓山校区高二上学期期末模拟考试（2016-12）

‎ ‎ 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1. 已知数列满足， 则 （ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎2. 设是等差数列的前项和， 若等于，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3. 动点到点 及点的距离之差为， 则点的轨迹是 （ ）‎ A．双曲线 B．双曲线的一支 ‎ C．一条射线 D．两条射线 ‎ ‎4. 已知向量 ，且与互相垂直， 则的值为 （ ） ‎ A． B． C. D． ‎ ‎5. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C. D． ‎ ‎6. 实半轴长等于，并且经过点的双曲线的标准方程是 （ ）‎ A．或 B． ‎ C. D．‎ ‎7. 已知动点满足，则动点的轨迹是 （ ）‎ A．双曲线 B．椭圆 C. 抛物线 D．线段 ‎ ‎8. 在正方体 中， 求直线和平面所成的角为 （ ）‎ A． B． C. D． ‎ ‎9.若满足 ，则 （ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10. 下列命题正确的是 （ ）‎ A．到轴距离为的点的轨迹是 ‎ B．方程表示的曲线是直角坐标平面上第一象限的角平分线 ‎ C. 方程表示的曲线是一条直线和一条双曲线 ‎ D．通过原点的充要条件是 ‎11. 曲线在点处的切线方程为（ ） ‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12. 若直线 与抛物线 交于 两个不同的点， 且的中点的横坐标为,则 （ ）‎ A． B． C. 或 D． ‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 若曲线 在点 处的切线方程是 ，则__________； __________.‎ ‎14. 以等腰直角的两个底角顶点为焦点， 并且经过另一顶点的椭圆的离心率为 __________.‎ ‎15. 已知，则_________.‎ ‎16. 椭圆上一点与椭圆的两个焦点的连线互相垂直， 则 的面积为 _________.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分10分）请用函数求导法则求出下列函数的导数.‎ ‎（1） ； （2）； （3）；‎ ‎（4）； （5）.‎ ‎18.（本小题满分12分）如图所示， 正方体 中，分别是棱的中点， 用空间向量方法证明： 平面平面.‎ ‎19.（本小题满分12分）已知函数.‎ ‎（1）求满足斜率为的曲线的切线方程； ‎ ‎（2）求曲线在点处的切线的方程；‎ ‎（3）直线为曲线 的切线， 且经过原点， 求直线的方程.‎ ‎20.（本小题满分12分）已知动圆与圆相切， 且与圆相内切， 记圆心的轨迹为曲线， 求曲线的方程.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知正四棱柱 中，.‎ ‎（1）求证： ； ‎ ‎（2）求钝二面角 的余弦值；‎ ‎（3）在线段 上是否存在点，使得平面平面,若存在，求出 的值； 若不存在， 请说明理由.‎ ‎ ‎ ‎22.（本小题满分12分）已知椭圆,椭圆的右焦点为.‎ ‎（1）求过点且斜率为的直线被椭圆截得的弦长； ‎ ‎（2）求以为中点的椭圆的弦所在的直线方程 ；‎ ‎（3） 过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，求弦的中点的轨迹方程.‎ 福建省福州格致中学鼓山校区2016-2017学年高二上学期期末模拟 数学（理）试题参考答案 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1-5. BDCDA 6-10. CBBCD 11-12. BA 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13. 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1） . ‎ ‎（2）.‎ ‎（3）. ‎ ‎（4）.‎ ‎（5）.‎ ‎18.解：证明： 以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标， 设正方体棱长为， 各点坐标如下：.‎ 设平面的法向量为 ,.‎ 设平面的法向量为 ,.‎ ‎ 可知， 即平面平面 ， 得证.‎ ‎.‎ ‎（3）设切点坐标为， 由已知得切线斜率为,且切线方程为：代入得，求得切线方程为：，即.‎ ‎20.解： 由已知：,设所求圆圆心,半径为.由已知可得动圆也一定与内切，所以,则有,即点在以为焦点，的椭圆上,则点轨迹方程为：.‎ ‎21.解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴， 建立空间直角坐标，各点坐标如下：.‎ ‎（1）证明：,即.‎ ‎（2）设平面的法向量为 ,.‎ 设平面的法向量为 ,,‎ ‎,即钝二面角的余弦值为.‎ ‎（3）设点,设平面的法向量为,,由平面平面得：可得，综上： 存在点，且满足.‎ ‎22.解：椭圆,右焦点为.‎ ‎（1）过点且斜率为的直线为, 设与椭圆交于点 ‎, 消去得.‎ ‎（2）设与椭圆交于,由已知得,两式相减得：,得，方程为，即.‎ ‎（3）设点,且，即两式相减得：，，整理得：，中点的轨迹方程为.‎ ‎ ‎