【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系学案

【数学】2020届一轮复习人教B版坐标系学案

‎(1)利用问题的几何特征，建立适当坐标系，主要就是兼顾到它们的对称性，尽量使图形的对称轴(对称中心)正好是坐标系中的x轴，y轴(坐标原点)．‎ ‎(2)坐标系的建立，要尽量使我们研究的曲线的方程简单．‎ ‎　‎ 如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧和一个长方形构成．已知隧道总宽度AD为6 m，行车道总宽度BC为2 m，侧墙EA、FD高为2 m，弧顶高MN为5 m.‎ ‎(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；‎ ‎(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m．请计算车辆通过隧道的限制高度是多少．‎ ‎[解]　(1)以EF所在直线为x轴，以MN所在直线为y轴，以1 m为单位长度建立直角坐标系(图略)．‎ 则有E(－3，0)，F(3，0)，M(0,3)．‎ 由于所求圆的圆心在y轴上，‎ 所以设圆的方程为(x－0)2＋(y－b)2＝r2，‎ ‎∵F(3，0)，M(0,3)都在圆上，‎ ‎∴ 解得b＝－3，r2＝36.‎ 所以圆的方程是x2＋(y＋3)2＝36.‎ ‎(2)设限高为h，作CP⊥AD，交圆弧于点P，则|CP|＝h＋0.5.‎ 将点P的横坐标x＝代入圆的方程，得()2＋(y＋3)2＝36，得y＝2或y＝－8(舍)．‎ 所以h＝|CP|－0.5＝(y＋|DF|)－0.5＝(2＋2)－0.5＝3.5(m)．‎ 所以车辆的限制高度为3.5 m.‎ ‎ 考点二 平面直角坐标系中的伸缩变换 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应点P′(‎ x′，y′)称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换．‎ ‎　在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换后，曲线C变为曲线(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1，求曲线C的方程，并判断其形状．‎ ‎[解]　将代入(x′－5)2＋(y′＋6)2＝1中，‎ 得(2x－5)2＋(2y＋6)2＝1.化简，得 2＋(y＋3)2＝.‎ 该曲线是以为圆心，半径为的圆.‎ ‎ 考点三 极坐标的求法 ‎(1)在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0，‎ 如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C的极坐标方程．‎ ‎(2)由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，因此曲线的极坐标方程和直角坐标方程也有不同之处，一条曲线上的点的极坐标有多组表示形式，有些表示形式可能不满足方程，这里要求至少有一组能满足极坐标方程．‎ ‎(3)求轨迹方程的方法有直接法、定义法、相关点代入法，在极坐标中仍然适用，注意求谁设谁，找出所设点的坐标ρ、θ的关系．‎ ‎　△ABC底边BC＝10，∠A＝∠B，以B为极点，BC为极轴，求顶点A的轨迹的极坐标方程．‎ ‎[解]　‎ 如图：令A(ρ，θ)，‎ ‎△ABC内，设∠B＝θ，∠A＝，‎ 又|BC|＝10，|AB|＝ρ.于是由正弦定理，得＝，化简，得A点轨迹的极坐标方程为ρ＝10＋20cos θ.‎ ‎ 考点四 极坐标与直角坐标的互化 ‎(1)互化的前提依旧是把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴并在两种坐标系下取相同的单位．‎ ‎(2)互化公式为 ‎(3)直角坐标方程化极坐标方程可直接将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入即可，而极坐标方程化为直角坐标方程通常将极坐标方程化为ρcos θ，ρsin θ的整体形式，然后用x，y代替较为方便，常常两端同乘以ρ即可达到目的，但要注意变形的等价性．‎ ‎　把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并指出它们分别表示什么曲线．‎ ‎(1)ρ＝2acos θ(a＞0)；‎ ‎(2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)；‎ ‎(3)ρ＝4；‎ ‎(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.‎ ‎[解]　(1)ρ＝2acos θ，两边同时乘以ρ得ρ2＝2aρcos θ，即x2＋y2＝2ax.‎ 整理得x2＋y2－2ax＝0，即(x－a)2＋y2＝a2.‎ 是以(a,0)为圆心，以a为半径的圆．‎ ‎(2)两边同时乘以ρ得ρ2＝9ρ(sin θ＋cos θ)，‎ 即x2＋y2＝9x＋9y，‎ 又可化为2＋2＝，‎ 是以为圆心，以为半径的圆．‎ ‎(3)将ρ＝4两边平方得ρ2＝16，即x2＋y2＝16.‎ 是以原点为圆心，以4为半径的圆．‎ ‎(4)2ρcos θ－3ρsin θ＝5，即2x－3y＝5，是一条直线.‎ ‎ 考点五 柱坐标系与球坐标系 ‎(1)柱坐标定义：设P是空间内任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)来表示点Q在平面Oxy上的极坐标．这时点P的位置可由有序数组(ρ，θ，z)表示，叫做点P的柱坐标．‎ ‎(2)球坐标：建立空间直角坐标系O xyz，设P是空间任意一点，连接OP，记|OP|＝r，OP与Oz轴正向所夹的角为φ，设P在Oxy平面上的射影为Q.Ox轴逆时针方向旋转到OQ时，所转过的最小正角为θ，则P(r，φ，θ)为P点的球坐标．‎ ‎　‎ 如图，在长方体OABCD′A′B′C′中，|OA|＝3，|OC|＝3，|OD′|＝3，A′C′与B′D′相交于点P，分别写出点C，B′，P的柱坐标．‎ ‎[解]　C点的ρ、θ分别为|OC|及∠COA.‎ B′点的ρ为|OB|＝＝＝3；‎ θ＝∠BOA，而tan ∠BOA＝＝1.‎ 所以∠BOA＝.‎ P点的ρ、θ分别为OE、∠AOE，|OE|＝|OB|＝，∠AOE＝∠AOB.‎ 所以C点的柱坐标为；‎ B′点的柱坐标为；‎ P点的柱坐标为.‎ ‎　如图，长方体OABCD′A′B′C′中OA＝OC＝a，BB′＝OA，对角线OB′与BD′相交于点P，顶点O为坐标原点；OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上．试写出点P的球坐标．‎ ‎[解]　r＝|OP|，φ＝∠D′OP，θ＝∠AOB，‎ 而|OP|＝a，∠D′OP＝∠OB′B，‎ tan ∠OB′B＝＝1，∴∠OB′B＝，‎ θ＝∠AOB＝.‎ ‎∴点P的球坐标为.‎ 一、选择题 ‎1．点M的直角坐标是(－1, )，则点M的极坐标为(　　)‎ A.　　　　　　　　B. C. D.，(k∈Z)‎ 解析：选D　ρ2＝(－1)2＋()2＝4，∴ρ＝2.‎ 又∴ ‎∴θ＝＋2kπ，k∈Z.‎ 即点M的极坐标为，k∈Z.‎ ‎2．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为(　　)‎ A．x2＋y2＝0或y＝1 B．x＝1‎ C．x2＋y2＝0或x＝1 D．y＝1‎ 解析：选C　ρ(ρcos θ－1)＝0，ρ＝＝0，或ρcos θ＝x＝1.‎ ‎3．极坐标方程ρcos θ＝2sin 2θ表示的曲线为(　　)‎ A．一条射线和一个圆 B．两条直线 C．一条直线和一个圆 D．一个圆 解析：选C　ρcos θ＝4sin θcos θ，cos θ＝0，或ρ＝4sin θ，(ρ2＝4ρsin θ)，则x＝0，或x2＋y2＝4y.‎ ‎4．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ的垂直于极轴的两条切线方程分别为(　　)‎ A．θ＝0(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ B．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2‎ C．θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝1‎ D．θ＝0(ρ∈R) 和ρcos θ＝1‎ 解析：选B　由ρ＝2cos θ，可得圆的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，所以垂直于x 轴的两条切线方程分别为x＝0和x＝2，即所求垂直于极轴的两条切线方程分别为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2，故选B.‎ 二、填空题 ‎5．点M的柱坐标为，则它的直角坐标为________．‎ 解析：∵x＝2cos ＝1，y＝2sin ＝，z＝8.‎ ‎∴它的直角坐标为(1，，8)．‎ 答案：(1，，8)‎ ‎6．点M的球坐标为，则它的直角坐标为________．‎ 解析：x＝6·sin ·cos ＝3，y＝6sin sin ＝3，z＝6cos ＝0，∴它的直角坐标为(3,3，0)．‎ 答案：(3,3，0)‎ ‎7．在极坐标系中，点(1,2)到直线ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距离为________．‎ 解析：直线的直角坐标方程为x＋y－2＝0，‎ d＝＝.‎ 答案： ‎8．在极坐标系中，过点A(6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为________．‎ 解析：圆ρ＝－4cos θ化为(x＋2)2＋y2＝4，点(6，π)化为 ‎(－6,0)，故切线长为＝＝2.‎ 答案：2 三、解答题 ‎9．求由曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1的伸缩变换．‎ 解：设变换为将其代入方程x′2＋y′2＝1，得λ2x2＋μ2y2＝1.‎ 又∵4x2＋9y2＝36，即＋＝1.∴ 又∵λ>0，μ>0，∴λ＝，μ＝.‎ ‎∴将曲线4x2＋9y2＝36变成曲线x′2＋y′2＝1的伸缩变换为 ‎10.‎ 如图，圆O1和圆O2的半径都是1，|O1O2|＝4，过动点P 分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N分别为切点)使得|PM|＝|PN|，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程．‎ 解：‎ 如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)，O2(2,0)．‎ 设P(x，y)，则|PM|2＝|PO1|2－|MO1|2＝(x＋2)2＋y2－1.‎ 同理，|PN|2＝(x－2)2＋y2－1.‎ ‎∵|PM|＝|PN|，即|PM|2＝2|PN|2.‎ 即(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)2＋y2－1]．即x2－12x＋y2＋3＝0.‎ 即动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.‎ ‎11．在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点．‎ ‎(1)求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．‎ 解：‎ ‎(1)如图所示，设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝，根据余弦定理，得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos ，化简整理，‎ 得ρ2－6·ρcos＋8＝0为圆C的轨迹方程．‎ ‎(2)设Q(ρ1，θ1)，则有ρ－6·ρ1cos＋8＝0.①‎ 设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)＝2∶3⇒ρ1＝ρ，‎ 又θ1＝θ，即 代入①得ρ2－6·ρcos＋8＝0，‎ 整理得ρ2－15ρcos＋50＝0为P点的轨迹方程．‎ 阶段质量检测（一）‎ 一、选择题 ‎(本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．在极坐标系中有如下三个结论：‎ ‎①点P在曲线C上，则点P的极坐标满足曲线C的极坐标方程；‎ ‎②tan θ＝1与θ＝表示同一条曲线；‎ ‎③ρ＝3与ρ＝－3表示同一条曲线．‎ 在这三个结论中正确的是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A．①③ B．①‎ C．②③ D．③‎ 解析： 选D　点P在曲线C上要求点P的极坐标中至少有一个满足C的极坐标方程；tan θ＝1能表示θ＝和θ＝两条射线；ρ＝3和ρ＝－3都表示以极点为圆心，以3为半径的圆，∴只有③成立．‎ ‎2．已知点P的直角坐标为(1，－)，则点P的极坐标为(　　)‎ A. B. C. D. 解析： 选C　因为点P(1，－)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与x轴正半轴所成的角为，所以点P的一个极坐标为，故选C.‎ ‎3．可以将椭圆＋＝1变为圆x2＋y2＝4的伸缩变换为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选D　法一：将椭圆方程＋＝1化为＋＝4，∴2＋2＝4.令得x′2＋y′2＝4，即x2＋y2＝4.∴伸缩变换为所求．‎ 法二：将x2＋y2＝4改写为x′2＋y′2＝4，‎ 设满足题意的伸缩变换为 代入x′2＋y′2＝4得λ2x2＋μ2y2＝4，即＋＝1.‎ 与椭圆＋＝1比较系数得解得 ‎∴伸缩变换为即 ‎4．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线方程为(　　)‎ A．ρsin θ＝2　　　　　 B．ρcos θ＝2‎ C．ρcos θ＝4 D．ρcos θ＝－4‎ 解析： 选B　如图所示，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO⊥Ox，OA为直径，|OA|＝4，l和圆相切，l交极轴于B(2,0)，点P(ρ，θ)为l上任意一点，‎ 则有cos θ＝＝，得ρcos θ＝2.‎ ‎5．圆ρ＝5cos θ－5sin θ的圆心坐标是(　　)‎ A. B. C. D. 解析： 选A　化为直角坐标方程后求得圆心的直角坐标为，故极坐标为.‎ ‎6．极坐标方程ρ＝cos θ与ρcos θ＝的图形是(　　)‎ 解析： 选B　ρ＝cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝ρcos θ化为直角坐标方程为x2＋y2－x＝0表示圆，ρcos θ＝表示过点与极轴垂直的直线. ‎ ‎7．曲线θ＝与ρ＝6sin θ的两个交点之间的距离为(　　)‎ A．1 B. C．3 D．6‎ 解析：选C　‎ 极坐标方程θ＝，ρ＝6sin θ分别表示直线与圆，如图所示，圆心C eq lc( c)(avs4alco1(3，f(π,2)))，∠AOC＝，∴|AO|＝2×3×cos ＝6×＝3.‎ ‎8．点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点的极坐标为　　(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　法一：点M关于直线θ＝(ρ∈R)的对称点为，即.‎ 法二：点M的直角坐标为＝‎ ‎－，－，直线θ＝(ρ∈R)，即直线y＝x，‎ 点关于直线y＝x的对称点为－，－，再化为极坐标即.‎ ‎9．圆ρ＝4cos θ的圆心到直线tan θ＝1的距离为(　　)‎ A. B. C．2 D．2 解析：选B　‎ 圆ρ＝4cos θ的圆心C(2,0)，如图，|OC|＝2，‎ 在Rt△COD中，∠ODC＝，∠COD＝，∴|CD|＝.‎ ‎10．圆ρ＝r与圆ρ＝－2rsin(r>0)的公共弦所在直线的方程为(　　)‎ A．2ρ(sin θ＋cos θ)＝r B．2ρ(sin θ＋cos θ)＝－r C.ρ(sin θ＋cos θ)＝r D.ρ(sin θ＋cos θ)＝－r 解析：选D　圆ρ＝r的直角坐标方程为x2＋y2＝r2，①‎ 圆ρ＝－2rsin ‎＝－2r ‎＝－r(sin θ＋cos θ)．‎ 两边同乘以ρ得ρ2＝－r(ρsin θ＋ρcos θ)，‎ ‎∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，ρ2＝x2＋y2，‎ ‎∴x2＋y2＋rx＋ry＝0.②‎ ‎①－②整理得(x＋y)＝－r，即为两圆公共弦所在直线的普通方程．再将直线(x＋y)＝－r化为极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－r.‎ 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)‎ ‎11．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcos θ＝3，ρ＝4cos θρ≥0,0≤θ<，则曲线C1与C2交点的极坐标为________．‎ 解析： 由，解得即两曲线的交点为.‎ 答案： ‎12．在极坐标系中，若过点A(4,0)的直线l与曲线ρ2＝4ρcos θ－3有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．‎ 解析：‎ 将ρ2＝4ρcos θ－3化为直角坐标方程得(x－2)2＋y2＝1，如右图易得－≤k≤.‎ 答案： ‎13．已知点M的柱坐标为，则点M的直角坐标为____________，球坐标为____________．‎ 解析：设点M的直角坐标为(x，y，z)，‎ 柱坐标为(ρ，θ，z)，球坐标为(r，φ，θ)，‎ 由得 由得即 ‎∴点M的直角坐标为，‎ 球坐标为.‎ 答案：　 ‎14．在极坐标系中，曲线C1：ρ(cos θ＋sin θ)＝1与曲线C2：ρ＝a(a>0)的一个交点在极轴上，则a＝________.‎ 解析：曲线C1的直角坐标方程为x＋y＝1，曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2＝a2，C1与 x轴的交点坐标为，此点也在曲线C2上，代入解得a＝.‎ 答案： 三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎15.‎ ‎(12分)在平面直角坐标系中，已知点A(3,0)，点P是圆x2＋y2＝1上的一个动点，且∠AOP的平分线交PA于点Q，如图所示，求Q点的轨迹的极坐标方程．‎ 解：‎ 以O点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设Q(ρ，θ)，P(1，2θ)．如图所示．‎ ‎∵S△OQA＋S△OQP＝S△OAP，‎ ‎∴·3ρsin θ＋ρsin θ ‎＝sin 2θ.∴ρ＝cos θ.‎ ‎16．(12分)极坐标方程ρ＝－cos θ与ρcos＝1表示的两个图形的位置关系是什么？‎ 解：ρ＝－cos θ可变为ρ2＝－ρcos θ，化为普通方程为 x2＋y2＝－x，‎ 即2＋y2＝，它表示圆心为，半径为的圆．‎ 将ρcos＝1化为普通方程为x－y－2＝0，‎ ‎∵圆心到直线的距离为＝＞1，‎ ‎∴直线与圆相离．‎ ‎17．(12分)在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：在ρsin＝－中令θ＝0，‎ 得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝ ＝1，于是圆C过极点，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ ‎18．(14分)已知线段BB′＝4，直线l垂直平分BB′，交BB′于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P、P′，使OP·OP′＝9，建立适当的坐标系，求直线BP与直线B′P′的交点M的轨迹方程．‎ 解：‎ 以O为原点，BB′为y轴，l为x轴，建立如图所示的直角坐标系，则B(0,2)，B′(0，－2)，‎ 设P(a，0)(a≠0)，则由OP·OP′＝9，得P′，直线BP的方程为＋＝1，直线B′P′的方程为＋＝1，‎ 即lBP：2x＋ay－2a＝0，lB′P′：2ax－9y－18＝0.‎ 设M(x，y)，则由 解得(a为参数)．消去a，‎ 可得4x2＋9y2＝36(x≠0)，‎ 所以点M的轨迹是焦点在x轴上，长轴长为6，短轴长为4的椭圆(除去点B，B′)．‎