数学卷·2018届河南省漯河市高级中学高二上学期12月月考数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届河南省漯河市高级中学高二上学期12月月考数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年河南省漯河市高级中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共600分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎2．设a＞0且a≠1，则“ab＞1”是“（a﹣1）b＞0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．在三角形ABC中若B=30°，AB=2，AC=2．则满足条件的三角形的个数有（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎4．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 ‎5．对任何a∈[﹣1，1]，使f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0的充要条件是（　　）‎ A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3 C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2‎ ‎6．某镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，又这两年的平均增长率为p%，则p与的关系为（　　）‎ A．p＞ B．p= C．p≤ D．p≥‎ ‎7．双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P、Q．若△PQF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．7‎ ‎8．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈‎ A成立的一个必要不充分条件是x∈B，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）‎ ‎9．若不等式﹣3≤x2﹣2ax+a≤﹣2有唯一解，则a的值是（　　）‎ A．2或﹣1 B． C． D．2‎ ‎10．已知抛物线C：y2=8x焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，O是坐标原点，若，则|QO|=（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎11．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（　　）‎ A．4033 B．﹣4033 C．8066 D．﹣8066‎ ‎12．已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上的一点，则∠POF的大小不可能是（　　）‎ A．165° B．60° C．25° D．15°‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．下列命题中真命题为　　．‎ ‎（1）命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x≤0，x2﹣x＞0”‎ ‎（2）在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．‎ ‎（3）已知数列{an}，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“=an•an+2”的充要条件 ‎（4）已知函数f（x）=lgx+，则函数f（x）的最小值为2．‎ ‎14．在数列{an}中，若，则数列的通项公式是　　．‎ ‎15．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为　　．‎ ‎16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的接法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b﹣2a）cosC+ccosB=0．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若c=，b=3a，求△ABC的面积．‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an=+2成立．‎ ‎（1）记bn=log2an，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎19．已知函数f（x）=ax2+（a∈R）为奇函数．‎ ‎（1）比较f（log23）、f（log38）、f（log326）的大小，并说明理由；（提示：log23≈1.59）‎ ‎（2）若t＞0，且f（t+x2）+f（1﹣x﹣x2﹣2x）＞0对x∈[2，3]恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎20．在平面直角坐标系xoy中，过点C（p，0）的直线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎（1）求证：y1y2为定值 ‎（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．‎ ‎21．已知命题P：：直线mx﹣y+2=0与圆x2+y2﹣2x﹣4y+=0有两个交点；命题：≤m．‎ ‎（1）若p∧q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省漯河市高级中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共600分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）‎ ‎1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2=3，a6=11，则S7等于（　　）‎ A．13 B．35 C．49 D．63‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据等差数列的性质可知项数之和相等的两项之和相等即a1+a7=a2+a6，求出a1+a7的值，然后利用等差数列的前n项和的公式表示出S7，将a1+a7的值代入即可求出．‎ ‎【解答】解：因为a1+a7=a2+a6=3+11=14，‎ 所以 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．设a＞0且a≠1，则“ab＞1”是“（a﹣1）b＞0”的（　　）‎ A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】结合指数的运算性质，和实数的基本性质，分析“ab＞1”⇒“（a﹣1）b＞0”和“ab＞1”⇐“（a﹣1）b＞0”是否成立，进而根据充要条件的定义得到答案．‎ ‎【解答】解：若ab＞1，‎ 当0＜a＜1时，b＜0，此时（a﹣1）b＞0成立；‎ 当a＞1时，b＞0，此时（a﹣1）b＞0成立；‎ 故ab＞1是（a﹣1）b＞0的充分条件；‎ 若（a﹣1）b＞0，‎ ‎∵a＞0且a≠1，‎ 当0＜a＜1时，b＜0，此时ab＞1，‎ 当a＞1时，b＞0，此时ab＞1，‎ 故ab＞1是（a﹣1）b＞0的必要条件；‎ 综上所述：ab＞1是（a﹣1）b＞0的充要条件；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎3．在三角形ABC中若B=30°，AB=2，AC=2．则满足条件的三角形的个数有（　　）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用正弦定理可得sinC=，结合大边对大角及C的范围可求C有两解，从而得解满足条件的三角形的个数有2个．‎ ‎【解答】解：∵B=30°，AB=2，AC=2．‎ ‎∴由正弦定理可得：sinC===，‎ ‎∵C∈（0°，180°），AB＞AC，‎ ‎∴C∈（30°，180°），可得：C=60°或120°，‎ 故满足条件的三角形的个数有2个．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．在△ABC中，已知a2tanB=b2tanA，则△ABC该的形状为（　　）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．正三角形 D．等腰或直角三角形 ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理将a2tanB=b2tanA中的边转化为所对角的正弦，再利用二倍角的正弦及诱导公式判断即可．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，b2tanA=a2tanB，‎ ‎∴由正弦定理得：，‎ 在三角形中，sinA≠0，sinB≠0，‎ ‎∴，‎ ‎∴sinAcosA=sinBcosB，‎ 即sin2A=sin2B，‎ 则sin2B=sin2A，‎ ‎∴A=B或2A=π﹣2B，‎ ‎∴A=B或A+B=，‎ ‎∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．对任何a∈[﹣1，1]，使f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a的值总大于0的充要条件是（　　）‎ A．1＜x＜3 B．x＜1或x＞3 C．1＜x＜2 D．x＜1或x＞2‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】将函数转化为以a为主变量的函数，然后根据不等式的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x2+（a﹣4）x+4﹣2a=a（x﹣2）+x2﹣4x+4，‎ ‎∴设g（a）=a（x﹣2）+x2﹣4x+4，‎ ‎∵a∈[﹣1，1]，f（x）＞0恒成立，即等价为g（a）=a（x﹣2）+x2﹣4x+4＞0恒成立．‎ ‎∴g（﹣1）＞0，且g（1）＞0，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴x＜1或x＞3，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎6．某镇人口第二年比第一年增长m%，第三年比第二年增长n%，又这两年的平均增长率为p%，则p与的关系为（　　）‎ A．p＞ B．p= C．p≤ D．p≥‎ ‎【考点】不等式比较大小．‎ ‎【分析】先根据题意列出方程，再由基本不等式可得出出p%和的大小关系 ‎【解答】解：由题意知：（1+p%）2=（1+m%）（1+n%），‎ ‎∴1+p%=≤=1+，‎ ‎∴p%≤，即p≤，当且仅当m=n时等号成立，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．双曲线C： =1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P、Q．若△PQF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．7‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线的定义，建立方程关系求出OF1，QF1的大小，利用余弦定理进行求解即可．‎ ‎【解答】解：作出相应的图象如图：‎ 设△PQF2的边长为x，‎ 则|PF1|﹣|PF2|=2a，‎ 即|QF1|=2a，‎ 由|QF2|﹣|QF1|=2a，‎ 则|QF2|=|QF1|+2a=2a+2a=4a，‎ 即x=4a，‎ ‎∵∠F1QF2=120°，‎ ‎∴在三角形QF1F2，中，‎ ‎4c2=4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣），‎ 即4c2=4a2+16a2+8a2=28a2，‎ 即c2=7a2，‎ 则c=a，‎ 即e==，‎ 故选：A ‎　‎ ‎8．已知集合A={x||x﹣1|＜2}，B={x|﹣1＜x＜m+1}，若x∈A成立的一个必要不充分条件是x∈B，则实数m的取值范围是（　　）‎ A．[2，+∞） B．（﹣∞，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）‎ ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】利用不等式的解法、集合之间的关系、简易逻辑的判定方法即可得出．‎ ‎【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}=（﹣1，3），B={x|﹣1＜x＜m+1}，‎ 若x∈A成立的一个必要不充分条件是x∈B，则3＜m+1，m＞2．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．若不等式﹣3≤x2﹣2ax+a≤﹣2有唯一解，则a的值是（　　）‎ A．2或﹣1 B． C． D．2‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】结合二次函数的性质，不等式﹣3≤x2﹣2ax+a≤﹣2有唯一解，‎ 化为方程x2﹣2ax+a=﹣2有唯一解，利用判别式求得a的值．‎ ‎【解答】解：不等式﹣3≤x2﹣2ax+a≤﹣2有唯一解，‎ 则方程x2﹣2ax+a=﹣2有唯一解，‎ 即△=（﹣2a）2﹣4（a+2）=0；‎ 即a2﹣a﹣2=0；‎ 解得a=2或a=﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．已知抛物线C：y2=8x焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，O是坐标原点，若，则|QO|=（　　）‎ A．2 B． C． D．3‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），设P（﹣2，t），Q（x，y）．利用，可得（﹣4，t）=4（x﹣2，y），解得（x，y），代入y2=8x可得t2=128，再利用两点之间的距离公式即可得出．‎ ‎【解答】解：抛物线C：y2=8x的焦点为F（2，0），‎ 设P（﹣2，t），Q（x，y）．‎ ‎∵，∴（﹣4，t）=4（x﹣2，y），‎ ‎∴，代入y2=8x可得t2=128．‎ ‎∴|QO|==3．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=x+sinπx﹣3，则的值为（　　）‎ A．4033 B．﹣4033 C．8066 D．﹣8066‎ ‎【考点】函数的值．‎ ‎【分析】推导出f（x）+f（2﹣x）=﹣4，由此能求出=2016×（﹣4）+f（）的值．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）=x+sinπx﹣3，‎ ‎∴f（x）+f（2﹣x）=x+sinπx﹣3+[（2﹣x）+sin（2﹣x）π﹣3]=﹣4，‎ ‎∴=2016×（﹣4）+f（）‎ ‎=﹣8064+1+sinπ﹣3=﹣8066．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．已知F是双曲线的右焦点，O为坐标原点，设P是双曲线上的一点，则∠POF的大小不可能是（　　）‎ A．165° B．60° C．25° D．15°‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线与x轴的夹角，画出图象判断P在双曲线左右两支时，∠POF的大小范围，即可判断选项．‎ ‎【解答】解：因为双曲线的渐近线为y=±x，‎ 所以双曲线的渐近线与x轴的夹角为30°，如图，如果P在双曲线的左支，则∠POF∈（0°，30°）．‎ 如果P 在双曲线的右支，则∠POF∈‎ ‎13．下列命题中真命题为　（2）　．‎ ‎（1）命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x≤0，x2﹣x＞0”‎ ‎（2）在三角形ABC中，A＞B，则sinA＞sinB．‎ ‎（3）已知数列{an}，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“=an•an+2”的充要条件 ‎（4）已知函数f（x）=lgx+，则函数f（x）的最小值为2．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】（1），写出命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定，可判断（1）；‎ ‎（2），在三角形ABC中，利用大角对大边及正弦定理可判断（2）；‎ ‎（3），利用充分必要条件的概念可分析判断（3）；‎ ‎（4），f（x）=lgx+，分x＞1与0＜x＜1两种情况讨论，利用对数函数的单调性质可判断（4）．‎ ‎【解答】解：对于（1），命题“∀x＞0，x2﹣x≤0”的否定是“∃x＞0，x2﹣x＞0”，故（1）错误；‎ 对于（2），在三角形ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB，故（2）正确；‎ 对于（3），数列{an}中，若an，an+1，an+2成等比数列，则=an•an+2，即充分性成立；反之，若=an•an+2，则数列{an}不一定是等比数列，如an=0，满足=an•an+2，但该数列不是等比数列，即必要性不成立，故（3）错误；‎ 对于（4），函数f（x）=lgx+，则当x＞1时，函数f（x）的最小值为2，当0＜x＜1时，f（x）=lgx+＜0，故（4）错误．‎ 综上所述，只有（2）正确，‎ 故答案为：（2）．‎ ‎　‎ ‎14．在数列{an}中，若 ‎，则数列的通项公式是　an=2n+1﹣3　．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】把所给的递推式两边同时加上3，an+1+3=2an+6=2（an+3），提出公因式2后，得到连续两项的比值等于常数，新数列{an+3}是一个等比数列．问题获解．‎ ‎【解答】解：∵an+1=2an+3，两边同时加上3，‎ 得an+1+3=2an+6=2（an+3）‎ ‎∴=2‎ 由等比数列定义，‎ 数列{an+3}是一个等比数列，首项a1+3=4，公比为2‎ 故数列{an+3}的通项公式是an+3=4•2n﹣1=2n+1，‎ ‎∴an=2n+1﹣3，‎ 故答案为：an=2n+1﹣3‎ ‎　‎ ‎15．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为　4　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由+=1得到b=＞0，代入代数式变形利用基本不等式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵正数a，b满足+=1，∴b=＞0，解得a＞1，同理b＞1，‎ 则+=+=+4（a﹣1）≥2 =4，当且仅当a=时取等号（此时b=3）．‎ ‎∴+的最小值为4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的接法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到2016这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列{an}，则此数列的项数为　135　．‎ ‎【考点】数列的应用．‎ ‎【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．‎ ‎【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，‎ 故an=15n﹣14．‎ 由an=15n﹣14≤2016‎ 得n≤135，故此数列的项数为135．‎ 故答案为：135．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．己知（b﹣2a）cosC+ccosB=0．‎ ‎（1）求C；‎ ‎（2）若c=，b=3a，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理的应用；正弦定理的应用．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简已知的表达式，结合两角和的正弦函数以及三角形的内角，求出C的值即可；‎ ‎（2）通过余弦定理，以及b=3a，求出a与b的值，然后直接利用三角形的面积公式求出三角形的面积．‎ ‎【解答】解：（1）∵（b﹣2a）cosC+c cosB=0，‎ ‎∴由正弦定理得（sinB﹣2sinA）cosC+sinCcosB=0，‎ sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosC，即sin（B+C）=2sinAcosC，‎ ‎∴sinA=2sinAcosC，‎ ‎∵sinA≠0，∴cosC=，‎ 又∵C∈（0，π），∴C=；‎ ‎（2）由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcosC，‎ ‎∴解得：a=1，b=3，‎ ‎∴△ABC的面积S=absinC=×1×3×=．‎ ‎　‎ ‎18．已知数列{an}的前n项和为Sn，且对任意正整数n，都有an=+2成立．‎ ‎（1）记bn=log2an，求数列{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn=，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（1）根据数列的递推公式即可求出数列{an}为等比数列，根据对数的运算性质可得bn=2n+1，‎ ‎（2）根据裂项求和即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）在中令n=1得a1=8，‎ 因为对任意正整数n，都有成立，所以，‎ 两式相减得an+1﹣an=an+1，‎ 所以an+1=4an，‎ 又a1≠0，‎ 所以数列{an}为等比数列，‎ 所以an=8•4n﹣1=22n+1，‎ 所以bn=log2an=2n+1，‎ ‎（2）cn===（﹣‎ ‎）‎ 所以 ‎　‎ ‎19．已知函数f（x）=ax2+（a∈R）为奇函数．‎ ‎（1）比较f（log23）、f（log38）、f（log326）的大小，并说明理由；（提示：log23≈1.59）‎ ‎（2）若t＞0，且f（t+x2）+f（1﹣x﹣x2﹣2x）＞0对x∈[2，3]恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数奇偶性的性质．‎ ‎【分析】（1）直接由奇函数的概念列式求得a的值；‎ ‎（2）先比较得到log326＞log38＞log23，再根据f（x）=在（0，+∞）上递减，即可得到答案，‎ ‎（3）根据函数为奇函数且为减函数得到t+x2＜﹣1+x+x2+2x，分离参数，得到t＜2x+x﹣1对x∈[2，3]恒成立，再根据函数的单调性即可求出t的范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵函数f（x）为奇函数，‎ ‎∴f（﹣x）=﹣f（x），‎ ‎∴ax2﹣=﹣（ax2+），‎ ‎∴2ax2=0，对x∈R恒成立，‎ ‎∴a=0．‎ ‎∴f（x）=．‎ ‎∵log38＜log326，log38=3log32==≈1.89‎ ‎∴log38＞log23，‎ ‎∴log326＞log38＞log23，‎ ‎∵f（x）=在（0，+∞）上递减，‎ ‎∴f（log326）＜f（log38）＜f（log23），‎ ‎（2）由f（x）为奇函数可得f（t+x2）＞f（﹣1+x+x2+2x），‎ ‎∵t＞0，x∈[2，3]，‎ ‎∴t+x2＞0，﹣1+x+x2+2x＞0‎ ‎∵f（x）=在（0，+∞）上递减 ‎∴t+x2＜﹣1+x+x2+2x，‎ 即t＜2x+x﹣1对x∈[2，3]恒成立．‎ ‎∵y=2x+x﹣1在[2，3]上递增，‎ ‎∴t＜22+2﹣1=5，‎ 又t＞0．‎ ‎∴0＜t＜5．‎ ‎　‎ ‎20．在平面直角坐标系xoy中，过点C（p，0）的直线与抛物线y2=2px（p＞0）相交于A、B两点．设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎（1）求证：y1y2为定值 ‎（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程和弦长，如果不存在，说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（1）法一：当直线AB垂直于x轴时，；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y=k（x﹣p），由，得ky2﹣2py﹣2p2k=0，为定值．‎ ‎（1）法二：设直线AB的方程为my=x﹣p，由，得y2﹣2pmy﹣2p2=0，由此利用韦达定理能证明为定值．‎ ‎（2）设存在直线l：x=a满足条件，则AC的中点，，由已知条件推导出当p﹣2a=0即 时，弦长为定值，这时直线方程为x=．‎ ‎【解答】（1）证法一：当直线AB垂直于x轴时，‎ ‎，‎ 因此（定值），‎ 当直线AB不垂直于x轴时，‎ 设直线AB的方程为y=k（x﹣p）‎ 由，得ky2﹣2py﹣2p2k=0，∴，‎ 因此有为定值．‎ ‎（1）证法二：设直线AB的方程为my=x﹣p，‎ 由，得y2﹣2pmy﹣2p2=0，‎ ‎∴，‎ 因此有为定值．‎ ‎（2）解：设存在直线l：x=a满足条件，‎ 则AC的中点，，‎ 因此以AC为直径的圆的半径，‎ E点到直线x=a的距离，‎ 所以所截弦长为 ‎=‎ ‎=，‎ 当p﹣2a=0即时，弦长为定值，‎ 这时直线方程为x=．．‎ ‎　‎ ‎21．已知命题P：：直线mx﹣y+2=0与圆x2+y2﹣2x﹣4y+=0有两个交点；命题：≤m．‎ ‎（1）若p∧q为真命题，求实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；复合命题的真假．‎ ‎【分析】（1）若p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得实数m的取值范围；‎ ‎（2）若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，进而可得实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵，∴，‎ 所以该圆的圆心为（1，2），半径为，圆心到直线的距离．‎ 若p为真，则圆心到直线的距离小于半径，即，解得 ‎．‎ 若q为真，则在上有解，‎ 因为，又由，得，‎ 所以，‎ 即，故若q为真，则m≥0…‎ ‎（1）若p∧q为真，则应满足，即，‎ 故实数m的取值范围为…‎ ‎（2）若p∧q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假，‎ 若p真q假，则应满足，‎ 若p假q真，则应满足 综上所述，实数m的取值范围为…‎ ‎　‎ ‎22．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）过点P（2，0）作直线PA，PB交椭圆于A，B两点，且满足PA⊥PB，试判断直线AB是否过定点，若过定点求出点坐标，若不过定点请说明理由．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），把直线的方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，即可得出m与k的关系，再由直线恒过定点的求法，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）经过点（1，），且离心率等于，‎ ‎∴=1， =，‎ ‎∴a=2，b=，‎ ‎∴椭圆C的方程为=1；‎ ‎（Ⅱ）设直线AB的方程为y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立椭圆方程得（1+2k2）x2+4mkx+2（m2﹣2）=0，‎ ‎∴x1+x2=﹣，x1x2=．‎ y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2=，‎ 由PA⊥PB，得（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，代入得4k2+8mkx+3m2=0‎ ‎∴m=﹣2k（舍去），m=﹣k，‎ ‎∴直线AB的方程为y=k（x﹣），所以过定点（，0）．‎