2019高三数学(人教A版理)一轮教师用书:第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

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2019高三数学(人教A版理)一轮教师用书:第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 ‎[考纲传真] (教师用书独具)1.理解命题的概念;了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.‎ ‎(对应学生用书第3页)‎ ‎[基础知识填充]‎ ‎1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题.‎ ‎2.四种命题及其相互关系 ‎(1)四种命题间的相互关系 图121‎ ‎(2)四种命题的真假关系 ‎①两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系.‎ ‎3.充分条件与必要条件 ‎(1)若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件;‎ ‎(2)若p⇒q,且qp,则p是q的充分不必要条件;‎ ‎(3)若pq且q⇒p,则p是q的必要不充分条件;‎ ‎(4)若p⇔q,则p是q的充要条件;‎ ‎(5)若pq且qp,则p是q的既不充分也不必要条件.‎ ‎[知识拓展] 集合与充要条件 设集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q},则有:‎ ‎(1)若A⊆B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件.‎ ‎(2)若B⊆A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件.‎ ‎(3)若A=B,则p是q的充要条件.‎ ‎[基本能力自测]‎ ‎1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)“x2+2x-3<0”是命题.(  )‎ ‎(2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则﹁q”.(  ) ‎ ‎(3)四种形式的命题中,真命题的个数为0或2或4.(  )‎ ‎(4)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(  )‎ ‎(5)“若p不成立,则q不成立”等价于“若q成立,则p成立”.(  )‎ ‎[解析] (1)错误.该语句不能判断真假,故该说法是错误的.‎ ‎(2)错误.否命题既否定条件,又否定结论.‎ ‎(3)正确.因为两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性.‎ ‎(4)正确.q是p的必要条件说明p⇒q,所以p是q的充分条件.‎ ‎(5)正确.原命题与逆否命题是等价命题.‎ ‎[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√‎ ‎2.(教材改编)命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是(  )‎ A.若α≠,则tan α≠1 B.若α=,则tan α≠1‎ C.若tan α≠1,则α≠ D.若tan α≠1,则α= C [“若p,则q”的逆否命题是“若﹁q,则 ﹁p”,显然﹁q:tan α≠1,﹁p:α≠,所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1,则α≠”.]‎ ‎3.“x=1”是“(x-1)(x+2)=0”的(  )‎ A.充分不必要条件  B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 A [若x=1,则(x-1)(x+2)=0显然成立,但反之不一定成立,即若(x-1)(x+2)=0,则x=1或-2.]‎ ‎4.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为(  )‎ A.1    B.2 C.3    D.4‎ B [原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个真命题.]‎ ‎5.(2017·天津高考)设x∈R,则“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 B [∵2-x≥0,∴x≤2.∵|x-1|≤1,∴0≤x≤2.‎ ‎∵当x≤2时不一定有x≥0,当0≤x≤2时一定有x≤2,‎ ‎∴“2-x≥0”是“|x-1|≤1”的必要而不充分条件.‎ 故选B.]‎ ‎(对应学生用书第4页)‎ 四种命题的关系及其真假判断 ‎ (1)命题“若a2>b2,则a>b”的否命题是(  )‎ A.若a2>b2,则a≤b  B.若a2≤b2,则a≤b C.若a≤b,则a2>b2 D.若a≤b,则a2≤b2‎ ‎(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是(  )‎ A.命题“若x>1,则x2>1”的否命题 B.命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题 C.命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题 D.命题“若>1,则x>1”的逆否命题 ‎(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知,命题“若p,则q”的否命题是“若﹁p,则﹁q”.该题中,p为a2>b2,q为a>b,故﹁p为a2≤b2,﹁q为a≤b.所以原命题的否命题为:若a2≤b2,则a≤b.‎ ‎(2)对于A,命题“若x>1,则x2>1”的否命题为“若x≤1,则x2≤1”,易知当x=-2时,x2=4>1,故为假命题;对于B,命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,分析可知为真命题;对于C,命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,易知当x=-2时,x2+x-2=0,故为假命题;对于D,命题“若>1,则x>1”的逆否命题为“若x≤1,则≤1”,易知为假命题,故选B.]‎ ‎[规律方法] 命题真假的两种判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断.‎ (2)利用原命题与逆否命题 逆命题与否命题的等价关系进行判断.‎ 易错警示:(1)写一个命题的其他三种命题时,需注意:‎ ‎①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写;‎ ‎②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提.‎ (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例.‎ ‎[跟踪训练] (2017·南昌十校二模)已知命题“已知a,b,c为实数,若abc=0,则a,b,c中至少有一个等于0”,在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为(  ) ‎ ‎【导学号:97190007】‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ D [原命题为真命题,逆命题为“已知a,b,c为实数,若a,b,c中至少有一个等于0,则abc=0”‎ ‎,也为真命题.根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题,故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为3.]‎ 充分条件与必要条件的判断 ‎ (1)(2017·北京高考)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3>b3”是“ln a>ln b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(1)A (2)B [(1)法一 由题意知|m|≠0,|n|≠0.‎ 设m与n的夹角为θ.‎ 若存在负数λ,使得m=λn,‎ 则m与n反向共线,θ=180°,‎ ‎∴m·n=|m||n|cos θ=-|m||n|<0.‎ 当90°<θ<180°时,m·n<0,此时不存在负数λ,使得m=λn.‎ 故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ 法二 ∵m=λn,∴m·n=λn·n=λ|n|2.‎ ‎∴当λ<0,n≠0时,m·n<0.‎ 反之,由m·n=|m||n|cos〈m,n〉<0⇔cos〈m,n〉<0⇔〈m,n〉∈,‎ 当〈m,n〉∈时,m,n不共线.‎ 故“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎(2)由a3>b3可得a>b,当a<0,b<0时,ln a,ln b无意义;反之,由ln a>ln b可得a>b,故a3>b3.因此“a3>b3”是“ln a>ln b”的必要不充分条件.]‎ ‎[规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据p⇒q,q⇒p进行判断,适用于定义、定理判断性问题.‎ (2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,适用于命题中涉及字母的范围的推断问题.‎ (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题.‎ ‎[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R,则“<”是“sin θ<”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(2)(2018·合肥第一次质检)[数学文化]祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.它是中国古代一个涉及几何体体积的问题,意思是两个同高的几何体,如在等高处的截面积恒相等,则体积相等.设A,B为两个同高的几何体,p:A,B的体积不相等,q:A,B在等高处的截面积不恒相等,根据祖暅原理可知,p是q的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎(1)A (2)A [(1)∵<,‎ ‎∴-<θ-<,‎ 即0<θ<.‎ 显然0<θ<时,sin θ<成立.‎ 但sin θ<时,由周期函数的性质知0<θ<不一定成立.‎ 故0<θ<是sin θ<的充分而不必要条件.‎ 故选A.‎ ‎(2)由祖暅原理可得﹁q⇒﹁p,即p⇒q,则充分性成立;反之不成立,如将同一个圆锥正放和倒放,在等高处的截面积不恒相等,但体积相等,∴p是q的充分不必要条件,故选A.]‎ 充分条件、必要条件的应用 ‎ 已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则m的取值范围为________.‎ ‎[0,3] [由x2-8x-20≤0得-2≤x≤10,‎ ‎∴P={x|-2≤x≤10},‎ 由x∈P是x∈S的必要条件,知S⊆P.‎ 则∴0≤m≤3.‎ 即所求m的取值范围是[0,3].]‎ ‎1.把本例中的“必要条件”改为“充分条件”,求m的取值范围.‎ ‎[解] 由x∈P是x∈S的充分条件,知P⊆S,‎ 则解得m≥9,‎ 即所求m的取值范围是[9,+∞).‎ ‎2.本例条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由.‎ ‎[解] 不存在.‎ 理由:若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S,‎ ‎∴ ‎∴无解,‎ ‎∴不存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件.‎ ‎[规律方法] 根据充要条件求解参数范围的方法 解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解.‎ 易错警示:求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.‎ ‎[跟踪训练] (1)已知p:x≥k,q:<1,如果p是q的充分不必要条件,则实数k的取值范围是(  )‎ A.[2,+∞) B.(2,+∞)‎ C.[1,+∞) D.(-∞,-1)‎ ‎(2)已知条件p:2x2-3x+1≤0,条件q:a≤x≤a+1.若﹁p是﹁q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. ‎ ‎【导学号:97190008】‎ ‎(1)B (2) [(1)∵<1,‎ ‎∴-1=<0,‎ 即(x-2)(x+1)>0,‎ ‎∴x>2或x<-1,‎ ‎∵p是q的充分不必要条件,‎ ‎∴k>2.‎ ‎(2)命题p为,‎ 命题q为{x|a≤x≤a+1}.‎ ‎﹁p对应的集合A=,‎ ‎﹁q对应的集合B=.‎ ‎∵﹁p是﹁q的必要不充分条件,‎ ‎∴或 ‎∴0≤a≤.]‎
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