2019届二轮复习第十章第55讲　双曲线、抛物线学案（全国通用）

2019届二轮复习第十章第55讲　双曲线、抛物线学案（全国通用）

第55讲　双曲线、抛物线 考试要求　1.双曲线的定义，几何图形和标准方程，简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)(A级要求)；2.抛物线的定义，几何图形，标准方程及简单的几何性质(A级要求).‎ 诊 断 自 测 ‎1.(2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是 .‎ 解析　由已知，a2＝7，b2＝3，则c2＝7＋3＝10，故焦距为2c＝2.‎ 答案　2 ‎2.(2016·四川卷改编)抛物线y2＝4x的焦点坐标是 .‎ 解析　∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为，‎ ‎∴y2＝4x，则为(1，0).‎ 答案　(1，0)‎ ‎3.(2018·无锡一模)已知焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程为y＝±x，那么双曲线的离心率为 .‎ 解析　根据题意，设双曲线的方程为－＝1，则＝，所以＝＝，即双曲线的离心率为.‎ 答案　 ‎4.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝16x的准线交于A，B两点，AB＝4，则C的实轴长为 .‎ 解析　由题设C：－＝1.‎ ‎∵抛物线y2＝16x的准线为x＝－4，联立－＝1和x＝－4，得A(－4，)，B(－4，－)，‎ ‎∴AB＝2＝4，‎ ‎∴a＝2，∴2a＝4.‎ ‎∴C的实轴长为4.‎ 答案　4‎ ‎5.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(－2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .‎ 解析　设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然满足题意；当k≠0时，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范围是[－1，1].‎ 答案　[－1，1]‎ 知 识 梳 理 ‎1.双曲线定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.‎ 集合P＝{M MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.‎ ‎(1)当2aF1F2时，P点不存在.‎ ‎2.双曲线的标准方程和几何性质 标准方程 －＝1(a>0，b>0)‎ －＝1(a>0，b>0)‎ 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴　对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0)‎ A1(0，－a)，A2(0，a)‎ 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A2＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B2＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a、b、c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)‎ ‎3.抛物线的概念 平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.‎ ‎4.抛物线的标准方程与几何性质 标准 方程 y2＝2px ‎(p>0)‎ y2＝－2px ‎(p>0)‎ x2＝2py ‎(p>0)‎ x2＝－2py ‎(p>0)‎ p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 O(0，0)‎ 对称 轴 y＝0‎ x＝0‎ 焦点 F F F F 离心率 e＝1‎ 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口 方向 向右 向左 向上 向下 考点一　双曲线、抛物线的定义及标准方程 ‎【例1－1】 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为 .‎ 解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.‎ 根据两圆外切的条件，‎ 得MC1－AC1＝MA，‎ MC2－BC2＝MB，‎ 因为MA＝MB，‎ 所以MC1－AC1＝MC2－BC2，‎ 即MC2－MC1＝BC2－AC1＝2，‎ 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于C1C2＝6.‎ 又根据双曲线的定义得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，‎ 其中a＝1，c＝3，则b2＝8.‎ 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1).‎ 答案　x2－＝1(x≤－1).‎ ‎【例1－2】 根据下列条件求双曲线的标准方程：‎ ‎(1)虚轴长为12，离心率为；‎ ‎(2)焦距为26，且经过点M(0，12)；‎ ‎(3)经过两点P(－3，2)和Q(－6，－7).‎ 解　(1)设双曲线的标准方程为 －＝1或－＝1(a>0，b>0).‎ 由题意知2b＝12，e＝＝.‎ ‎∴b＝6，c＝10，a＝8.‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.‎ ‎(2)∵双曲线经过点M(0，12)，∴M(0，12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.‎ 又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.‎ ‎∴双曲线的标准方程为－＝1.‎ ‎(3)设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0).‎ ‎∴解得 ‎∴双曲线的标准方程为－＝1.‎ 规律方法　(1)利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.‎ ‎(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1－PF2|＝2a，运用平方的方法，建立与PF1·PF2的联系.‎ ‎(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.‎ ‎(4)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.‎ ‎【训练1】 (1)(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是 .‎ ‎(2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则PA＋PF取最小值时点P的坐标为 .‎ 解析　(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.‎ ‎(2)将x＝3代入抛物线方程 y2＝2x，得y＝±.‎ ‎∵>2，∴A在抛物线内部，如图.‎ 设抛物线上点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2，∴点P的坐标为(2，2).‎ 答案　(1)9　(2)(2，2)‎ 考点二　双曲线、抛物线的几何性质 ‎【例2】 (1)(2017·盐城三模)若圆x2＋y2＝r2过双曲线－＝1的右焦点F，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A，B，当四边形OAFB为菱形时，双曲线的离心率为 .‎ ‎(2)(2016·全国Ⅰ卷改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB＝4，DE＝2，则C的焦点到准线的距离为 .‎ 解析　(1)若四边形OAFB为菱形，且点A在圆x2＋y2＝r2上，则点A坐标为，此时r＝c.又点A在渐近线上，所以c＝·，即＝，所以e＝ ＝2.‎ ‎(2)不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，圆的方程为x2＋y2＝r2(r>0)，‎ ‎∵AB＝4，DE＝2，‎ 抛物线的准线方程为x＝－，‎ ‎∴不妨设A，D，‎ ‎∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴∴＋8＝＋5，解得p＝4(负值舍去)，‎ ‎∴C的焦点到准线的距离为4.‎ 答案　(1)2　(2)4‎ 规律方法　双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线－＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±满足关系式e2＝1＋k2.‎ ‎【训练2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷改编)已知F1，F2是双曲线E：－＝1的左，右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离心率为 .‎ ‎(2)(2017·山东卷)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A，B两点，若AF＋BF＝4OF，则该双曲线的渐近线方程为 .‎ 解析　(1)离心率e＝，由正弦定理得e＝＝＝＝.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由抛物线的定义：‎ AF＝y1＋，BF＝y2＋，OF＝，‎ 所以AF＋BF＝y1＋＋y2＋＝y1＋y2＋p＝4OF＝2p，‎ 可得y1＋y2＝p，‎ 联立方程⇒－＝1⇒－＋1＝0，‎ 由根与系数的关系得y1＋y2＝－＝×b2＝p，‎ ‎∴p＝p⇒＝⇒＝.‎ ‎∴双曲线渐近线方程为y＝±x.‎ 答案　(1)　(2)y＝±x 考点三　直线与抛物线的位置关系 ‎【例3】 (2018·苏北四市联考)已知点F为抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且AF＝3.‎ ‎(1)求抛物线E的方程；‎ ‎(2)(一题多解)已知点G(－1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.‎ 法一　(1)解　由抛物线的定义得AF＝2＋.‎ 因为AF＝3，即2＋＝3，解得p＝2，‎ 所以抛物线E的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)证明　因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，‎ 所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).‎ 由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).‎ 由得2x2－5x＋2＝0，‎ 解得x＝2或x＝，从而B.‎ 又G(－1，0)，‎ 所以kGA＝＝，kGB＝＝－.‎ 所以kGA＋kGB＝0，从而∠AGF＝∠BGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.‎ 法二　(1)同法一.‎ ‎(2)证明　设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.‎ 因为点A(2，m)在抛物线E：y2＝4x上，‎ 所以m＝±2，由抛物线的对称性，不妨设A(2，2).‎ 由A(2，2)，F(1，0)可得直线AF的方程为y＝2(x－1).‎ 由 得2x2－5x＋2＝0.‎ 解得x＝2或x＝，‎ 从而B.‎ 又G(－1，0)，‎ 故直线GA的方程为2x－3y＋2＝0.‎ 从而r＝＝.‎ 又直线GB的方程为2x＋3y＋2＝0.‎ 所以点F到直线GB的距离 d＝＝＝r.‎ 这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.‎ 规律方法　(1)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.‎ ‎(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.‎ 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.‎ ‎【训练3】 (2016·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：x－y－2＝0，抛物线C：y2＝2px(p＞0).‎ ‎(1)若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；‎ ‎(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.‎ ‎①求证：线段PQ的中点坐标为(2－p，－p)；‎ ‎②求p的取值范围.‎ ‎(1)解　∵l：x－y－2＝0，∴l与x轴的交点坐标为(2，0).‎ 即抛物线的焦点为(2，0)，∴＝2，∴p＝4.‎ ‎∴抛物线C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)①证明　设点P(x1，y1)，Q(x2，y2).‎ 则则 ‎∴kPQ＝＝，‎ 又∵P，Q关于l对称.∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2p，‎ ‎∴＝－p，又∵PQ的中点一定在l上，‎ ‎∴＝＋2＝2－p.‎ ‎∴线段PQ的中点坐标为(2－p，－p).‎ ‎②解　∵PQ的中点为(2－p，－p)，‎ ‎∴ 即∴ 即关于y的方程y2＋2py＋4p2－4p＝0，有两个不等实根.∴Δ＞0.‎ 即(2p)2－4(4p2－4p)＞0，解得0＜p＜，‎ 故所求p的范围为.‎ 一、必做题 ‎1.(2016·全国Ⅰ卷改编)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是 .‎ 解析　∵方程－＝1表示双曲线，∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得 ‎－m20，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是 .‎ 解析　由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A，‎ B，E(a，0)，‎ ‎∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，‎ 即·＝·>0，‎ 整理得3e2＋2e>e4，∴e(e3－3e－3＋1)<0，‎ ‎∴e(e＋1)2(e－2)<0，‎ 解得e∈(0，2)，又e>1，∴e∈(1，2).‎ 答案　(1，2)‎ ‎5.(2016·浙江卷)设双曲线x2－＝1的左、焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则PF1＋PF2的取值范围是 .‎ 解析　如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而F1F2＝4，由对称性不妨设P在右支上，‎ 设PF2＝m，‎ 则PF1＝m＋2a＝m＋2，‎ 由于△PF1F2为锐角三角形，‎ 结合实际意义需满足解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，‎ ‎∴2＜2m＋2＜8.‎ 答案　(2，8)‎ ‎6.(2017·全国Ⅱ卷改编)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为 .‎ 解析　取渐近线y＝x，化成一般式bx－ay＝0，圆心(2，0)到直线的距离为＝，又由c2＝a2＋b2得c2＝4a2，e2＝4，e＝2.‎ 答案　2‎ ‎7.(2015·全国Ⅰ卷)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6).当△APF周长最小时，该三角形的面积为 .‎ 解析　设左焦点为F1，PF－PF1＝2a＝2，‎ ‎∴PF＝2＋PF1，△APF的周长为AF＋AP＋PF＝AF＋AP＋2＋PF1，△APF周长最小即为AP＋PF1最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为＋＝1.与x2－＝1联立，解得P点坐标为(－2，2)，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12.‎ 答案　12 ‎8.已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF1＝4PF2，则此双曲线的离心率e的最大值为 .‎ 解析　由定义知PF1－PF2＝2a.‎ 又PF1＝4PF2，∴PF1＝a，PF2＝a.‎ 在△PF1F2中，由余弦定理得 cos∠F1PF2＝＝－e2.‎ 要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，‎ ‎∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，‎ 即e的最大值为.‎ 答案　 ‎9.(2018·南京师大附中模拟)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为，抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点在双曲线的顶点上.‎ ‎(1)求抛物线C的方程；‎ ‎(2)过M(－1，0)的直线l与抛物线C交于E，F两点，又过E，F作抛物线C的切线l1，l2，当l1⊥l2时，求直线l的方程.‎ 解　(1)双曲线的离心率e＝＝，‎ 又a>0，∴a＝1，双曲线的顶点为(0，1)，‎ 又p>0，‎ ‎∴抛物线的焦点为(0，1)，‎ ‎∴抛物线方程为x2＝4y.‎ ‎(2)由已知可知，直线l的斜率存在且不为零，‎ 设直线l的方程为y＝k(x＋1)，E(x1，y1)，F(x2，y2)，‎ ‎∵y＝x2，∴y′＝x，‎ ‎∴切线l1，l2的斜率分别为，，‎ 当l1⊥l2时，·＝－1，∴x1x2＝－4，‎ 由得x2－4kx－4k＝0，‎ ‎∴Δ＝(－4k)2－4(－4k)>0，‎ ‎∴k<－1或k>0.①‎ 解x2－4kx－4k＝0得x1，2＝2k±2.‎ x1·x2＝－4k＝－4，∴k＝1，满足①，‎ 即直线的方程为x－y＋1＝0.‎ ‎10.(2018·南通、扬州、泰州三市调研)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等，抛物线的焦点为F.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)若A为抛物线上一点(异于原点O)，点A处的切线交x轴于点B，过A作准线的垂线，垂足为点E，试判断四边形AEBF的形状，并证明你的结论.‎ 解　(1)由题意得点P到准线的距离等于PO，‎ 由抛物线的定义得点P到准线的距离为PF，‎ 所以PO＝PF，即点P在线段OF的中垂线上，‎ 所以＝，p＝3，‎ 所以抛物线的方程为y2＝6x.‎ ‎(2)四边形AEBF为菱形，理由如下：‎ 由抛物线的对称性，设点A在x轴的上方，所以点A处切线的斜率为，‎ 所以点A处切线的方程为y－y0＝，‎ 令上式中y＝0，得x＝－y，‎ 所以B点坐标为，‎ 又E，F，‎ 所以＝，＝，‎ 所以＝，所以FA∥BE，‎ 又AE∥FB，故四边形AEBF为平行四边形，‎ 再由抛物线的定义，得AF＝AE，所以四边形AEBF为菱形.‎ 二、选做题 ‎11.已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M，使得(＋2)·＝0(其中O为坐标原点)，且||＝|2|，则双曲线的离心率为 .‎ 解析　∵＝－2，‎ ‎∴(＋)·＝(＋2)·(－2)＝0，‎ 即2－＝0，∴|2|＝||＝c，‎ 在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于F1F2的一半，可得1⊥2.‎ ‎∵||＝||，‎ ‎∴可设|2|＝λ(λ>0)，|1|＝λ，‎ 得(λ)2＋λ2＝4c2，解得λ＝c，‎ ‎∴|1|＝c，|2|＝c，‎ ‎∴根据双曲线定义得2a＝|1|－|2|＝(－1)c，‎ ‎∴双曲线的离心率e＝＝＋1.‎ 答案　＋1‎ ‎12.(2017·浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，‎ 过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.‎ ‎(1)求直线AP斜率的取值范围；‎ ‎(2)求PA·PQ的最大值.‎ 解　(1)由题意得P(x，x2)，－＜x＜.‎ 设直线AP的斜率为k，‎ 故k＝＝x－∈(－1，1)，‎ 故直线AP斜率的取值范围为(－1，1).‎ ‎(2)由(1)知P，－＜x＜，‎ 则直线AP的方程为：y＝kx＋k＋，‎ 直线BQ的方程为：y＝－x＋＋，‎ 联立直线AP与BQ的方程解得点Q的横坐标是xQ＝，‎ 因为PA＝＝(k＋1)，‎ PQ＝(xQ－x)＝－，‎ 所以PA·PQ＝－(k－1)(k＋1)3，‎ 令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，‎ 则f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，‎ 当k∈时，f′(k)＞0；当k∈时，f′(k)＜0，‎ 所以f(k)在区间上单调递增，在区间上单调递减.因此当k＝时，PA·PQ取得最大值.‎