【数学】2019届一轮复习人教A版参数方程学案

【数学】2019届一轮复习人教A版参数方程学案

题型一　参数方程与普通方程的互化 例1(1)如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．‎ ‎(2)在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求 AB 的长．‎ 点评　消去参数的方法一般有三种：‎ ‎(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；‎ ‎(2)利用三角恒等式消去参数；‎ ‎(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．‎ 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．　 ‎ 变式：（2018天津理）已知圆的圆心为C，直线(为参数)与该圆相交于A，‎ B两点，则的面积为 . ‎ ‎【解析】由题意可得圆的标准方程为，‎ 直线的直角坐标方程为，即，‎ 则圆心到直线的距离为，‎ 由弦长公式可得，‎ 则．学 ‎ ‎【答案】‎ 巩固1(1)求直线(t为参数)与曲线 (α为参数)的交点个数．‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．‎ 题型二　参数方程的应用 例2　　已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(1)求直线l和圆C的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．‎ 点评　已知圆、圆锥曲线的参数方程解决有关问题时，一般是把参数方程化为普通方程，通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等．‎ 变式：（2018全国新课标Ⅱ文、理）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）求和的直角坐标方程；学 ‎ ‎（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．‎ ‎【答案】（1），当，；当，；（2）．‎ 巩固2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为和(t为参数)，求曲线C1与C2的交点坐标．‎ 题型三　极坐标方程和参数方程的综合应用 例3　在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求 AB 的最大值．‎ ‎【解析】　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0. . ‎ 联立解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中 0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以 AB ＝ 2sin α－2cos α ＝4.‎ 当α＝时， AB 取得最大值，最大值为4.学 ‎ 点评　在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．　‎ 变式：（2018全国新课标Ⅲ文、理）在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数），过点且倾斜角为的直线与交于两点． ‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求中点的轨迹的参数方程．‎ ‎（2）点坐标为，当时，点坐标为，‎ 当时，设直线的方程为，，‎ ‎∴有，整理得，∴，，‎ ‎ ‎ 巩固3在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos(θ＋)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．‎ ‎(1)求圆心的极坐标；‎ ‎(2)求△PAB面积的最大值．‎ ‎ 学 。X。X。 ‎ 答案与解析 _ _ . ‎ 巩固1 【解析】(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0；‎ 将消去参数α得圆x2＋y2＝9.学 ‎ 又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.‎ 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．‎ ‎(2)直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ ‎∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，‎ 则3－a＝0，∴a＝3.‎ 巩固2【解析】曲线C1的普通方程为x2＋y2＝5(x≥0，y≥0)．‎ 曲线C2的普通方程为x－y－1＝0.‎ 解方程组得 ‎∴曲线C1与C2的交点坐标为(2,1)．‎ ‎ 学, , ,X,X, ‎ ‎(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为2x－y－1＝0.‎ ‎∴圆心(1，－1)到直线l的距离d＝＝，∴ AB ＝2＝2＝.‎ 点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝＋＝，‎ ‎∴Smax＝××＝.‎