【数学】2018届一轮复习人教A版（理）坐标系与参数方程学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（理）坐标系与参数方程学案

‎§选修4－4　坐标系与参数方程 考纲展示►　1.理解坐标系的作用．了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况．‎ ‎2．会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化．‎ ‎3．能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．‎ ‎4．了解参数方程，了解参数的意义．‎ ‎5．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．‎ ‎6．掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．‎ 考点1　直角坐标方程与极坐标方程的互化 ‎ 　　　　　　 　　　　　 　　　　　‎ ‎1.极坐标系 ‎(1)设M是平面内一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ，以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．一般地，不作特殊说明，我们认为ρ≥0,0≤θ＜2π.‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝________，y＝________.另一种关系为ρ2＝________，tan θ＝________(x≠0)．‎ 答案：(1)极径　(2)ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　 ‎2．常用简单曲线的极坐标方程 ‎(1)几个特殊位置的直线的极坐标方程 ‎①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；‎ ‎②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；‎ ‎③直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.‎ ‎(2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ‎①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝________；‎ ‎②当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝________；‎ ‎③当圆心位于M，半径为a：ρ＝________.‎ 答案：(2)①r　②2acos θ　③2asin θ ‎[典题1]　(1)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin＝.‎ ‎①求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎②当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．‎ ‎[解]　①圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，‎ 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y，‎ 即x2＋y2－x－y＝0.‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1，即x－y＋1＝0.‎ ‎②由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为.‎ ‎(2)[2017·河南洛阳统考]已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2ρcosθ－＝2.‎ ‎①将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎②求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ ‎[解]　①由ρ＝2知，ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos ＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2，‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎②将两圆的直角坐标方程相减，得 经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.‎ 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎[点石成金]　(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．‎ 考点2　参数方程与普通方程的互化 ‎1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系xOy中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变量t的函数并且对于t的每一个允许值，上式所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则称上式为该曲线的________，其中变量t称为________．‎ 答案：参数方程　参数 ‎2．一些常见曲线的参数方程 ‎(1)过点P0(x0，y0)，且倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(2)圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的参数方程为(θ为参数)．‎ ‎(3)椭圆方程＋＝1(a＞b＞0)的参数方程为(θ为参数)．‎ 答案：(1)x0＋tcos α　y0＋tsin α　‎ ‎(2)a＋rcos θ　b＋rsin θ　‎ ‎(3)acos θ　bsin θ ‎3．直线参数方程的标准形式的应用 ‎(1)过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是(t是参数，t可正、可负、可为0)．‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α)．‎ ‎(2)|M‎1M2‎|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M‎1M2‎的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎[典题2]　(1)把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：‎ ‎①(t为参数)；‎ ‎②(t为参数)；‎ ‎③(t为参数)．‎ ‎[解]　①由x＝1＋t，得t＝2x－2，‎ ‎∴y＝2＋(2x－2)，‎ ‎∴x－y＋2－＝0，此方程表示直线．‎ ‎②由y＝2＋t，得t＝y－2，‎ ‎∴x＝1＋(y－2)2，‎ 即(y－2)2＝x－1，此方程表示抛物线．‎ ‎③ ‎ ‎∴①2－②2，得x2－y2＝4，此方程表示双曲线．‎ ‎(2)[2017·重庆巴蜀中学模拟]已知曲线C的参数方程是(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，‎ ‎①求曲线C与直线l的普通方程；‎ ‎②若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．‎ ‎[解]　①由得 ‎①的平方加②的平方，得曲线C的普通方程为 x2＋(y－m)2＝1.‎ 由x＝1＋t，得t＝x－1，‎ 代入y＝4＋t得 y＝4＋2(x－1)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝2x＋2.‎ ‎②圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，‎ 所以由勾股定理，得 2＋2＝1，‎ 解得m＝3或m＝1.‎ ‎[点石成金]　化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，不要忘了参数的范围.‎ 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)写出⊙C的直角坐标方程；‎ ‎(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．‎ 解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ 从而有x2＋y2＝2y，‎ 所以x2＋(y－)2＝3.‎ ‎(2)设P，又C(0，)，‎ 则|PC|＝ ‎＝，‎ 故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．‎ 考点3　极坐标、参数方程的综合应用 ‎[典题3]　在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|.‎ ‎[解]　(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2y，即x2＋(y－)2＝5.‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得 2＋2＝5，即t2－3t＋4＝0.‎ 由于Δ＝(－3)2－4×4＝2＞0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以 又直线l过点P(3，)，‎ 故由上式及t的几何意义，得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝3.‎ ‎[点石成金]　1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．‎ ‎2．过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是直线上的点P到点P0(x0，y0)的数量，即|t|＝||，t可正，可负．使用该式时直线上任意两点P1，P2对应的参数分别为t1，t2，则|P1P2|＝|t1－t2|，P1P2的中点对应的参数为(t1＋t2).‎ ‎[2017·黑龙江大庆模拟]在平面直角坐标方程xOy中，已知直线l经过点P，倾斜角α＝.在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)设l与圆C相交于A，B两点，求|PA|＋|PB|的值．‎ 解：(1)直线l的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)．‎ 由ρ＝2cos ，得 ρ＝2cos θ＋2sin θ，‎ ‎∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，‎ ‎∴x2＋y2＝2x＋2y，‎ 故圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.‎ ‎(2)把(t为参数)代入(x－1)2＋(y－1)2＝2，得t2－t－＝0，‎ 设点A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝，t1t2＝－，‎ ‎∴|PA|＋|PB|＝|t1－t2|‎ ‎＝＝.‎ ‎[方法技巧]　1.曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化思路：对于简单的我们可以直接代入公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y，ρ2＝x2＋y2，但有时需要作适当的变化，如将式子的两边同时平方、两边同时乘以ρ等．‎ ‎2．参数方程化普通方程常用的消参技巧：代入消元、加减消元、平方后加减消元等，经常用到公式：cos2θ＋sin2θ＝1,1＋tan2θ＝.‎ ‎3．利用曲线的参数方程来求解两曲线间的最值问题非常简捷方便，是我们解决这类问题的好方法．‎ ‎[易错防范]　1.极径ρ是一个距离，所以ρ≥0，但有时ρ可以小于零．极角θ规定逆时针方向为正，极坐标与平面直角坐标不同，极坐标与P点之间不是一一对应的，所以我们又规定ρ≥0,0≤θ<2π，来使平面上的点与它的极坐标之间是一一对应的，但仍然不包括极点．‎ ‎2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，还要注意其中的x，y的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．‎ ‎ 真题演练集训 ‎ ‎1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2.C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，‎ 得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝ －1(舍去)或a＝1.‎ a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎2．[2016·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．‎ 设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程，得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.‎ 于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝，得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎3．[2016·新课标全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2 ＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4 ＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝ ‎＝sin－2.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ ‎4．[2015·新课标全国卷Ⅰ]在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程； ‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解：(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，‎ C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，‎ 得ρ2－3ρ＋4＝0，‎ 解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，‎ 所以△C2MN的面积为.‎ ‎5．[2015·新课标全国卷Ⅱ]在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解：(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 ‎ 解得 或 ‎ 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，‎ 其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|‎ ‎＝4.‎ 当α＝时，|AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎ 课外拓展阅读 ‎ 直线参数方程中参数t的几何意义 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)①‎ 通常称①为直线l的参数方程的“标准式”．其中参数t的几何意义是：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M‎0M|＝|t|.‎ 当0<α<π时，sin α>0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上．此时，若t>0，则的方向向上；若t<0，则的方向向下；若t＝0，则点M与点M0重合．即当点M在M0上方时，有t＝||；当点M在M0下方时，有t＝－||.‎ 该参数t经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A，B两点，所求问题与定点到A，B两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB上，利用参数t的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．‎ ‎[典例1]　在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系取相同的单位长度．已知曲线C：ρsin2θ＝2acos θ(a>0)，过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为(t为参数)．直线l与曲线C分别交于M，N两点．‎ ‎(1)求a的取值范围；‎ ‎(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．‎ ‎[思路分析]　(1)由题意知，曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，令Δ>0即可求得结果；‎ ‎(2)设交点M，N对应的参数分别为t1，t2，由参数方程中t1，t2的几何意义，可得t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝2(16＋‎4a)，然后由|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，可得|t1－t2|2＝|t1t2|，代入求解即可．‎ ‎[解]　(1)由题意，可得曲线C的直角坐标方程为y2＝2ax(a>0)，将直线l的参数方程(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程，得t2－(4＋a)t＋16＋‎4a＝0，‎ 因为直线l与曲线C交于M，N两点，‎ 所以Δ>0，即a>0或a<－4.‎ 又a>0，所以a的取值范围为(0，＋∞)．‎ ‎(2)设交点M，N对应的参数分别为t1，t2.‎ 则由(1)知，t1＋t2＝2(4＋a)．t1t2‎ ‎＝2(16＋‎4a)，‎ 若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，则|t1－t2|2＝|t1t2|.‎ 解得a＝1或a＝－4(舍去)，‎ 所以实数a的值为1.‎ ‎[典例2]　过点M(2,1)作曲线x2＋4y2＝16的弦AB，若M为线段AB的三等分点，求线段AB所在直线的方程．‎ ‎[思路分析]　‎ ‎[解]　设直线AB的参数方程为 (t为参数)，‎ 代入曲线方程，得 ‎(cos2α＋4sin2α)t2＋4(cos α＋2sin α)t－8＝0，‎ 令A，B对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1＋t2＝－，①‎ t1·t2＝.②‎ 因为点M(2,1)是弦AB的三等分点，不妨令点M为靠近点B的一个三等分点，‎ 所以t1＝－2t2，t1＋t2＝－t2，‎ t1·t2＝－2t＝－2(t1＋t2)2，③‎ 将①②代入③，得12tan2α＋16tan α＋3＝0，‎ 可求得tan α＝，‎ 则AB所在直线的方程为y－1＝(x－2)．‎