【数学】2020届一轮复习苏教版专题一第五讲专题提能——“三角”专题提能课学案

【数学】2020届一轮复习苏教版专题一第五讲专题提能——“三角”专题提能课学案

第五讲 专题提能——“三角”专题提能课 　 失误1‎ 因忽视向量夹角范围而失误 ‎　　[例1]　已知向量a，b均为非零向量，(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．‎ ‎[解析]　因为(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，‎ 所以 所以即 设a，b的夹角为α，则cos α＝＝，‎ 因为α∈[0，π]，‎ 所以α＝，即a，b的夹角为.‎ ‎[答案]　 ‎[点评]　求解此类问题的关键是：根据向量的数量积定义，得到cos〈a，b〉＝.求解时，要注意两向量夹角的取值范围为[0，π]．‎ 失误2‎ 因不会变角求值而解题受阻 ‎　　[例2]　(2018·西安六校联考)设α为锐角，若cos＝－，则sin的值为________．‎ ‎[解析]　因为α为锐角，所以<α＋<，‎ 又cos＝－，所以sin＝，‎ 所以sin＝2sincos＝－，‎ cos＝2cos2－1＝－，‎ 所以sin＝sin ‎＝sincos－cossin ‎＝－×－×＝.‎ ‎[答案]　 ‎[点评]　(1)破解此类题的关键是应用角的变换法，观察所给的角的特点与要求的三角函数中的角的特点来进行角的变换．如本题中，先把2α＋转化为2α＋－，再转化为.‎ ‎(2)解此类题时需要特别注意的地方是在利用同角三角函数的基本关系式时，一定要注意角的取值范围．如本题中由α为锐角，可知α＋的范围，这样可以避免错解.‎ 失误3‎ 因忽视对三角形解的个数讨论而失分 ‎　　[例3]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2bsin A，c＝b.‎ ‎(1)求B的值；‎ ‎(2)若△ABC的面积为2，求a，b的值．‎ ‎[解]　(1)在△ABC中，已知a＝2bsin A，‎ 根据正弦定理，得sin A＝2sin Bsin A，‎ 因为sin A≠0，所以sin B＝，‎ 所以B＝或B＝.‎ 又因为c>b，所以C>B，所以B＝.‎ ‎(2)由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos ，‎ 又c＝b，化简得2b2－3ab＋a2＝0，‎ 解得a＝b或a＝2b.①‎ 因为S△ABC＝acsin ＝2，所以ac＝8.‎ 即ab＝8.②‎ 联立①②，解得或 ‎[点评]　(1)应用正弦定理求角时容易出现增解或漏解的错误，要根据条件和三角形的限制条件合理取舍．‎ ‎(2)求角时易忽略角的范围而导致错误，需要根据大边对大角，大角对大边的规则，画图帮助判断．‎ 　 策略1‎ 特取法：快解三角、向量的基本问题 ‎　　[例1]　设a，b，c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为________．‎ ‎[解析]　由已知条件可知向量a，b是互相垂直的单位向量，故构造a＝(1,0)，b＝(0,1)．‎ 又c是单位向量，故设c＝(cos α，sin α)，‎ ‎∴(a－c)·(b－c)＝(1－cos α，－sin α)·(－cos α，1－sin α)＝－cos α＋cos2α－sin α＋sin2α＝1－sinα＋，当α＋＝，即α＝时，(a－c)·(b－c)取得最小值，为1－.‎ ‎[答案]　1－ ‎[点评]　本例已知条件中涉及单位向量，我们可以通过构造特殊的向量(cos α，sin α)，将向量数量积的最值问题转化为三角函数的最值问题，从而使得问题简化.‎ 策略2‎ 换元法：求解三角函数值域问题 ‎　　换元法又称变量替换法，是我们解题常用方法之一．对结构较复杂的式子，可把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，可以化繁为简，化难为易．本专题常用换元法解决最值问题．‎ ‎[例2]　设a>0，求f(x)＝2a(sin x＋cos x)－sin x·cos x－2a2的最大值和最小值．‎ ‎[解]　设sin x＋cos x＝t，则t∈[－， ]，‎ 由(sin x＋cos x)2＝1＋2sin x·cos x，得sin x·cos x＝，‎ 所以f(x)＝g(t)＝2at－－2a2＝－(t－2a)2＋(a>0)，t∈[－， ]．‎ 当t＝－时，g(t)取最小值－2a2－2a－；‎ 若2a≥，当t＝时，g(t)取最大值－2a2＋2a－；‎ 若0<2a<，当t＝2a时，g(t)取最大值.‎ 所以f(x)的最小值为－2a2－2a－，最大值为 ‎[点评]　此题利用局部换元法，设sin x＋cos x＝t后，抓住sin x＋cos x与sin x·cos x的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题．换元过程中一定要注意参数的范围(t∈[－， ])与sin x＋cos x的范围对应，否则将会出错．‎ 　 ‎1．数形结合思想——解决与三角函数有关的方程根的问题 ‎[例1]　(2018·深圳调研)已知关于x的方程sin x＋cos x＝m在[0，π]有两个不等的实根，则m的取值范围是________．‎ ‎[解析]　sin x＋cos x＝m在[0，π]有两个不等的实根，则sinx＋＝m，在同一坐标系中分别作出y＝sin，x∈[0，π]和y＝m的图象如图所示．由图象可得，若关于x的方程sin x＋cos x＝m在[0，π]有两个不等的实根，则m的取值范围为[1，)．‎ ‎[答案]　[1，)‎ ‎[点评]　本例将方程根的个数转化为直线y＝m与函数y＝sin图象交点的个数解决．‎ ‎2．函数与方程思想——解决已知三角函数值求值或求角问题 ‎[例2]　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2B＋3cos B－1＝0，且a2＋c2＝ac＋b＋2.‎ ‎(1)求边b的长；‎ ‎(2)求△ABC周长的最大值．‎ ‎[解]　(1)∵cos 2B＋3cos B－1＝0，∴2cos2B＋3cos B－2＝0，解得cos B＝或cos B＝－2(舍去)，‎ 又B∈(0，π)，则B＝，由余弦定理得b2＝a2＋c2－ac，又 a2＋c2＝ac＋b＋2，∴b2－b－2＝0，解得b＝2(b＝－1，舍去)．‎ ‎(2)由正弦定理得＝＝＝＝，‎ 则a＋b＋c＝(sin A＋sin C)＋2＝sin A＋sin－A＋2＝sin A＋cos A＋2＝4sinA＋＋2，∴当A＝时，周长取得最大值6.‎ ‎[点评]　把解三角形与三角恒等变换、三角函数的性质综合起来进行考查是高考命题的主要方向，其基本解题思路是使用正、余弦定理，三角恒等变换等把求解目标化为关于三角形中某个内角的三角函数，通过研究该三角函数的性质得出结论．‎ 　 平面向量数量积最值问题的求法 ‎[典例]　在半径为1的扇形AOB中，∠AOB＝60°，C为弧上的动点，AB与OC交于点P，则·的最小值是________．‎ ‎[解]　法一(坐标法)：以直线OB为x轴，过点A且垂直于OB 的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，O－，0，B，‎ 可得直线AB的方程为2x＋y＝1，‎ 设P，则＝，＝x－，(1－2x)，‎ 所以·＝4x2－3x＋＝42－，‎ 当x＝时，·取最小值是－.‎ 法二(基向量法)：‎ ＝＋，‎ ‎|BP|＝x，x∈[0,1]，‎ 则·＝(＋)·＝x2－，‎ 所以当x＝时，·取得最小值是－.‎ 法三(极化恒等式)：如图，取OB的中点D，连结PD，则·＝(－)·(－)＝(－)·(＋)＝2－2＝2－＝DP2－，‎ 即求PD的最小值．‎ 由图可知，当PD⊥AB时，PD取得最小值为，‎ 所以·的最小值是－.‎ ‎[答案]　－ ‎[点评]　平面向量数量积的核心是将向量问题代数化，定义法、坐标法都是将其代数化，但极化恒等式可以更快实现代数化，尤其是在出现三角形中点的条件下．‎ ‎[课时达标训练]‎ A组——易错清零练 ‎1．在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝1，B＝2A且c0，ω>0，若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝－f，则f(x)的最小正周期为________．‎ 解析：因为f(x)在区间，上具有单调性，且f＝－f，故函数f(x)的对称中心为.由f＝f，可得函数f(x)的对称轴为x＝.设f(x)的最小正周期为T，所以≥－，即T≥.所以－＝，即T＝π.‎ 答案：π ‎3．在直角△ABC中，两条直角边分别为a，b，斜边和斜边上的高分别为c，h，则的取值范围是________．‎ 解析：因为c＝，h＝bsin A，a＝btan A，所以＝.设sin A＋cos A＝t，则问题就转化为求函数y＝在10，a与b的夹角θ∈，且a∘b和b∘a都在集合中，则a∘b＝________.‎ 解析：a∘b＝＝＝，①‎ b∘a＝＝＝.②‎ ‎∵θ∈，∴0，‎ ‎∴0<≤1.∴00，‎ ‎(1)用k表示a·b；‎ ‎(2)求a·b的最小值，并求此时a·b的夹角的大小．‎ 解：(1)已知|ka＋b|＝|a－kb|，两边平方，得|ka＋b|2＝3|a－kb|2，‎ 即k2a2＋b2＋2ka·b＝3(a2＋k2b2－2ka·b)，‎ ‎∴8k·a·b＝(3－k2)a2＋(3k2－1)b2，‎ a·b＝.‎ ‎∵a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，∴a2＝1，b2＝1，‎ ‎∴a·b＝＝.‎ ‎(2)∵k2＋1≥2k，即≥＝，‎ ‎∴a·b的最小值为，‎ 又∵a·b＝|a|·|b|·cos〈a·b〉，|a|＝|b|＝1，‎ ‎∴＝1×1×cos〈a，b〉．‎ ‎∴cos〈a，b〉＝，此时a与b的夹角为60°.‎ ‎6．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tan C＝.‎ ‎(1)求角C的大小；‎ ‎(2)若△ABC的外接圆直径为1，求a2＋b2＋c2的取值范围．‎ 解：(1)因为tan C＝，即＝，‎ 所以sin Ccos A＋sin Ccos B＝cos Csin A＋cos Csin B，‎ 即sin Ccos A－cos Csin A＝cos Csin B－sin Ccos B，‎ 所以sin(C－A)＝sin(B－C)．‎ 所以C－A＝B－C或C－A＝π－(B－C)(不成立)，‎ 即2C＝A＋B，所以C＝.‎ ‎(2)法一：由C＝，可得c＝2Rsin C＝1×＝，‎ 且a＝2Rsin A＝sin A，b＝2Rsin B＝sin B，‎ 设A＝＋α，B＝－α，由0＜A＜，0＜B＜，‎ 知－＜α＜.‎ 所以a2＋b2＋c2＝＋sin2A＋sin2B ‎＝＋＋ ‎＝－ ‎＝＋cos 2α.‎ 由－＜α＜知－＜2α＜，－＜cos 2α≤1，‎ 故＜a2＋b2＋c2≤.‎ 法二：因为C＝，所以c＝2Rsin C＝1×＝，‎ 又因为c2＝a2＋b2－2abcos C，所以＝a2＋b2－ab≥ab，故ab≤，‎ 又a2＋b2＝＋ab，所以

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