2019届二轮复习数列的概念与简单表示法学案（全国通用）

2019届二轮复习数列的概念与简单表示法学案（全国通用）

‎【考纲解读】‎ 考　点 考纲内容 五年统计 分析预测 数列的通项公式 了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).‎ ‎2015课标Ⅰ,理17‎ ‎2015课标Ⅱ,理16‎ ‎2013课标Ⅰ,理14‎ ‎2018课标Ⅰ,理14‎ ‎1.高频考向:利用an与Sn的关系求通项,递推数列求通项.‎ ‎2.低频考向:数列的周期性、单调性及最值.‎ ‎3.特别关注:‎ ‎(1)构造特殊数列求通项;‎ ‎(2)利用数列的单调性求参数范围或数列项的最值.‎ 数列性质的应用 了解数列是自变量为正整数的一类函数.‎ ‎2013课标Ⅱ,理16‎ ‎【知识清单】‎ 一．数列的概念与通项公式 ‎1．数列的定义 按照一定顺序排列的一列数，称为数列.数列中的每一项叫做数列的项.数列的项在这列数中是第几项，则在数列中是第几项.一般记为数列.‎ 对数列概念的理解 ‎(1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列．‎ ‎(2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别．‎ ‎2．数列的分类 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 按项与项间的大小关系分类 递增数列 其中n∈N＋‎ 递减数列 常数列 按其他标准分类 有界数列 存在正数，使 摆动数列 的符号正负相间，如1，－1,1，－1，…‎ ‎3．数列是一种特殊的函数 数列是一种特殊的函数，其定义域是正整数集和正整数集的有限子集.所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点.‎ ‎4.数列的通项公式：‎ 如果数列的第项与序号之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式.‎ ‎5.数列的前项和和通项的关系：.‎ 对点练习：‎ 已知数列的前几项为,,,,…，则数列的一个通项公式为 .‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式.‎ 二． 数列的性质 数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列．所以数列的函数的图像不是连续的曲线，而是一串孤立的点，因此，在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．‎ 对点练习：‎ 已知数列，则数列最小项是第 项.‎ ‎【答案】5‎ ‎【考点深度剖析】‎ 关于数列的概念问题，虽然在高考中很少独立命题，但数列的通项公式、猜想、归纳、递推意识却融入数列的试题之中，因此对本节要细心领会，认真掌握．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1数列的基本概念，由数列的前几项求数列的通项公式 ‎【1-1】【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上学期适应性月考（一）】只用“加减乘除”就可解决问题.88511，16351，？，10251；“？”处应填的数字是 ．‎ ‎【答案】73155‎ ‎【解析】1+6=7 6-3=3‎ ‎3 5=15 ‎ 故得到73155．‎ ‎【1-2】【2018届安徽省巢湖一中、合肥八中、淮南二中等高中十校联盟高三摸底考试理】若有穷数列 满足，就称该数列为“相邻等和数列”，已知各项都为正整数的数列是项数为8的“相邻等和数列”，且，则满足条件的数列有 个．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】设，由题意知， ， ， ‎ ‎.∵数列各项都为正整数，∴，则满足条件的数列有4个.‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用或来调整．‎ ‎2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.‎ ‎3.对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月）联考】删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【变式二】【2018届甘肃省兰州第一中学高三上学期第二次月考】数列满足， ， ‎ ‎（），则等于 A. 5 B. 9 C. 10 D. 15‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则，即，则；故选D.‎ 考点2 由前项和公式推导通项公式，即与的关系求通项 ‎【2-1】【2018届衡水金卷高三大联考理】已知数列与的前项和分别为， ，且， ‎ ‎， ，若恒成立，则的最小值是( )‎ A. B. C. 49 D. ‎ ‎【答案】B 即数列是以3为首项，3为公差的等差数列，所以.‎ 所以.‎ 所以 ‎.‎ 要使恒成立，只需.‎ 故选B.‎ ‎【2-2】【辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三联合考试】已知数列满足 ‎．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎⑴由表达式推导出数列的通项公式 ‎⑵先得到数列的通项公式，然后运用裂项相消法求和 ‎【领悟技法】‎ 已知数列的前项和，求数列的通项公式，其求解过程分为三步：‎ ‎(1)先利用求出；‎ ‎(2)用替换中的得到一个新的关系，利用 便可求出当时的表达式；‎ ‎(3)对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．‎ ‎【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【广东省2019届高三六校第一次联考】已知数列满足 ‎．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.‎ ‎，‎ ‎ ③‎ ‎ ④‎ ‎③-④得， ‎ ‎ （常数），，‎ ‎ 的最小值是 故选C.‎ ‎【变式二】【2018届”超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷】已知正项数列满足 ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）式中令n=1,求得，n用n-1代，得，两式作差可得，可求得。（2）由（1），由错位相减法可求和。‎ ‎（2）‎ ‎，①‎ ‎，②‎ ‎①-②得 ‎，‎ 考点3 由递推公式推导通项公式 ‎【3-1】【河北省2019届衡水中学调研】数列满足， （），则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为数列满足， （），所以所以是公比为2的等比数列，所以 ‎【3-2】【重庆市梁平区2018届高三上学期第一次调研考试】已知数列满足，且，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【3-3】【安徽省皖中名校联盟2019届高三10月联考】已知数列满足：，且，则 ；‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得：，结合有：‎ ‎，，，‎ 则数列是周期为3的数列，则.‎ ‎【领悟技法】‎ 递推公式推导通项公式方法：‎ ‎（1）累加法：‎ ‎（2）累乘法：‎ ‎（3）待定系数法：（其中均为常数，）‎ 解法：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解.‎ ‎（4）待定系数法： （其中均为常数，）. （或,其中均为常数）.‎ 解法：在原递推公式两边同除以，得：，令，得：，再按第（3）种情况求解.‎ ‎（5）待定系数法：‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.‎ ‎（6）待定系数法：‎ 解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令，与已知递推式比较，解出,从而转化为是公比为的等比数列.‎ ‎（7）待定系数法：（其中均为常数）.‎ 解法：先把原递推公式转化为其中满足，再按第（4）种情况求解.‎ （8） 取倒数法：‎ 解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为，按第（3）种情况求解.‎ ‎（，解法：等式两边同时除以后换元转化为，按第（3）种情况求解.）.‎ ‎（9）取对数 解法：这种类型一般是等式两边取以为底的对数，后转化为，按第（3）种情况求解.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【2018届甘肃省肃南县第一中学高三月考】某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记， ， ，…， 的长度构成的数列为，则的通项公式 .‎ ‎【答案】‎ ‎【变式二】【黑龙江省2018年仿真模拟（八）】已知数列满足，，则 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】令，则，‎ 由题意可得：，‎ 即：，整理可得：，‎ 令，则，由题意可得：，‎ 且，，‎ 故，即，，‎ ‎，，据此可知：‎ ‎ .‎ 考点4 数列的性质的应用 ‎【4-1】【2018年高考第二次适应与模拟】已知数列的首项，且满足，如果存在正整数，使得成立，则实数的取值范围是 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【4-2】【湖北省襄阳四中2018届高三月考】若数列， 的通项公式分别为， ，且对任意恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 可得 ，若 是偶数，不等式等价于 恒成立，可得 ，若 是奇数，不等式等价于 ，即 ，所以 ，综上可得实数 的取值范围是 ，故选D．‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1.数列中项的最值的求法 数列中或的最值问题与函数处理方法类似，首先研究数列或的特征，再进一步判断数列的单调性，从而得到最值．要注意的细节是只能取正整数．‎ 数列中最大项和最小项的求法 求最大项的方法：设为最大项，则有；‎ 求最小项的方法：设为最小项，则有.‎ 前项和最值的求法 ‎(1)先求出数列的前项和，根据的表达式求解最值；‎ ‎(2)根据数列的通项公式，若，且，则最大；若，且，则最小，这样便可直接利用各项的符号确定最值.‎ ‎2． 在运用函数判断数列的单调性时，要注意函数的自变量为连续的，数列的自变量为不连续的，所以函数性质不能够完全等同于数列的性质．有些数列会出现前后几项的大小不一，从某一项开始才符合递增或递减的特征，这时前几项中每一项都必须研究．‎ ‎3.数列中恒等关系和有解问题主要是建立关于数列中基本量或相关参数的方程，再进一步论证该方程是否有整数解问题，其中对方程的研究是关键，一般可从奇偶数、约数、有理数、无理数等方面论证，也可以先利用参数范围，代入相关的整数研究．‎ ‎4．数列中大小比较与不等式中大小比较方法类似，同类型的多项式比较可以作差作商或用基本不等式，不同类型的比较一般要构造函数来解决．‎ ‎5．数列可以看作是一类特殊的函数，因此要用函数的知识，函数的思想方法来解决．‎ 注意：对求数列中的最大项是高考的热点，一般难度较大．解决这类问题时，要利用函数的单调性研究数列的最值，但要注意数列的单调性与函数的单调性有所不同，其自变量的取值是不连续的，只能取正整数，所以在求数列中的最大(小)项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【福建省三明市第一中学2018届高三下学期适应性】设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：若等价于，分类讨论的值使其满足不等式。‎ ‎【变式二】【2018年高考考前猜题卷之专家猜题卷】已知数列满足，‎ ‎，，，若恒成立，则的最小值为（ ）‎ A． 0 B． 1 C． 2 D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意知，，由，‎ 得，‎ ‎，‎ 恒成立，，故最小值为，故选D.‎ 易错试题常警惕 易错典例：已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则其通项公式为 ．‎ 易错分析：忽略考虑时情况.‎ 正确解析：当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．‎ 故数列的通项公式为an＝ 温馨提醒：an与Sn关系不清致误：在数列问题中，数列的通项an与其前n项和Sn之间存在下列关系：‎ ‎，这个关系对任意数列都是成立的，但要注意的是这个关系式是分段的，在n＝1和n≥2时这个关系式具有完全不同的表现形式，这也是解题中经常出错的一个地方，在使用这个关系式时要牢牢记住其“分段”的特点．‎ 学 素养提升之思想方法篇 数列中的创新题型 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．‎ ‎(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．‎ ‎(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．‎ ‎【典例】1.将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即＝(　　)‎ A．2018×2012 B．2020×2013‎ C．1009×2012 D．1010×2013‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为，‎ 所以 ‎，所以=1010×2013.故选D.‎ ‎【典例】2.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，∀n∈N ,2Sn＝a＋an.令bn＝，设{bn}的前n项和为Tn，则在T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为 ．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】　∵2Sn＝a＋an①，∴2Sn＋1＝a＋an＋1②，②－①，得2an＋1＝a＋an＋1－a－an，a－a－an＋1－an＝0，(an＋1＋an)(an＋1－an－1)＝0，又∵{an}为正项数列，∴an＋1－an－1＝0，即an＋1－an＝1.在2Sn＝a＋an中，令n＝1，可得a1＝1，∴数列{an}是以1为首项、1为公差的等差数列，∴an＝n，‎ ‎∴bn＝＝＝＝－，‎ ‎∴Tn＝1－，要使Tn为有理数，则n＝3,8,15,24,35,48,63,80,99.∴T1，T2，T3，…，T100中有理数的个数为9.‎