【数学】2021届一轮复习人教A版基本不等式学案

【数学】2021届一轮复习人教A版基本不等式学案

基本不等式专题辅导 一、知识点总结 ‎1、基本不等式原始形式 ‎（1）若，则 ‎ ‎（2）若，则 ‎2、基本不等式一般形式（均值不等式）‎ 若，则 ‎3、基本不等式的两个重要变形 ‎（1）若，则 ‎（2）若，则 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值；‎ ‎ 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值；‎ 特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”‎ ‎4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”‎ ‎5、常用结论 ‎（1）若，则 (当且仅当时取“=”）‎ ‎（2）若，则 (当且仅当时取“=”）‎ ‎（3）若，则 (当且仅当时取“=”）‎ ‎（4）若，则 ‎（5）若，则 特别说明：以上不等式中，当且仅当时取“=”‎ ‎6、柯西不等式 ‎ ‎（1）若，则 ‎（2）若，则有：‎ ‎（3）设是两组实数，则有 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 ‎1、设均为正数，证明不等式:≥‎ ‎2、已知为两两不相等的实数，求证：‎ ‎3、已知，求证：‎ 4、 已知，且，求证： ‎ 5、 已知，且，求证：‎ ‎6、（2018年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲 设均为正数,且,证明:‎ ‎(Ⅰ); (Ⅱ).‎ ‎7、（2018年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲 已知，求证:‎ 题型二：利用不等式求函数值域 ‎1、求下列函数的值域 ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ 题型三：利用不等式求最值 （一）（凑项） ‎ ‎1、已知，求函数的最小值；‎ 变式1：已知，求函数的最小值；‎ 变式2：已知，求函数的最大值；‎ 练习：1、已知，求函数的最小值；‎ ‎ ‎ ‎2、已知，求函数的最大值；‎ 题型四：利用不等式求最值 （二）（凑系数）‎ ‎1、当时，求的最大值；‎ 变式1：当时，求的最大值；‎ 变式2：设，求函数的最大值。‎ ‎2、若，求的最大值；‎ 变式：若，求的最大值；‎ ‎3、求函数的最大值；‎ ‎ （提示：平方，利用基本不等式）‎ 变式：求函数的最大值；‎ 题型五：巧用“1”的代换求最值问题 ‎1、已知，求的最小值；‎ 法一：‎ 法二：‎ 变式1：已知，求的最小值；‎ 变式2：已知，求的最小值；‎ 变式3：已知，且，求的最小值。‎ 变式4：已知，且，求的最小值；‎ 变式5：‎ ‎（1）若且，求的最小值；‎ ‎（2）若且，求的最小值；‎ 变式6：已知正项等比数列满足：，若存在两项，使得，求的最小值；‎ 题型六：分离换元法求最值（了解）‎ ‎1、求函数的值域；‎ 变式：求函数的值域；‎ ‎2、求函数的最大值；（提示：换元法）‎ 变式：求函数的最大值；‎ 题型七：基本不等式的综合应用 ‎1、已知，求的最小值 ‎2、（2009天津）已知，求的最小值；‎ 变式1：（2018四川）如果，求关于的表达式的最小值；‎ 变式2：（2018湖北武汉诊断）已知，当 时，函数的图像恒过定点，若点在直线上，求的最小值；‎ ‎3、已知，，求最小值；‎ 变式1：已知，满足，求范围；‎ 变式2：（2018山东）已知，，求最大值；（提示：通分或三角换元）‎ 变式3：（2018浙江）已知，，求最大值；‎ ‎4、（2018年山东（理））设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为（ ） （　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）‎ 变式：设是正数，满足，求的最小值；‎ 题型八：利用基本不等式求参数范围 ‎1、（2018沈阳检测）已知，且恒成立，求正实数的最小值；‎ ‎2、已知且恒成立，如果，求的最大值；（参考：4）‎ ‎（提示：分离参数，换元法）‎ 变式：已知满则，若恒成立，求的取值范围；‎ 题型九：利用柯西不等式求最值 ‎1、二维柯西不等式 ‎ 若，则 ‎2、二维形式的柯西不等式的变式 ‎3、二维形式的柯西不等式的向量形式 ‎4、三维柯西不等式 若，则有：‎ ‎5、一般维柯西不等式 设是两组实数，则有:‎ 题型分析 题型一：利用柯西不等式一般形式求最值 ‎1、设，若，则的最小值为　　　　　时， 　　　　　‎ 析：‎ ‎ ‎ ‎∴最小值为 此时 ∴　，，‎ ‎2、设，，求的最小值，并求此时之值。‎ ‎：‎ ‎3、设，，求之最小值为 ，此时 ‎ ‎（析：）‎ ‎4、（2018年湖南卷（理））已知 则的最小值是 ()‎ ‎5、（2018年湖北卷（理））设,且满足:,,求的值；‎ ‎6、求 ‎ 的最大值与最小值。（：最大值为，最小值为 -）‎ 析：令 = (2sinq，cosq，- cosq)，= (1，sinf，cosf) ‎