2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

2018-2019学年黑龙江省大庆市铁人中学高二下学期期末数学（理)试题 解析版

绝密★启用前 黑龙江省大庆市铁人中学2018-2019学年高二下学期期末数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．复数（为虚数单位）的虚部是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，可得出复数的虚部。‎ ‎【详解】‎ ‎，因此，该复数的虚部为，故选：A。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的除法，考查复数的虚部，对于复数问题的求解，一般利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部进行求解，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．已知～，则 ( )．‎ A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用二项分布的数学期望，计算出，再利用期望的性质求出的值。‎ ‎【详解】‎ ‎，，因此，‎ ‎，‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二项分布的数学期望与期望的性质，解题的关键就是利用二项分布的期望公式以及期望的性质，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎3．函数在区间上的最大值为（　　）.‎ A．17 B．12 C．32 D．24‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对函数求导，求出函数的极值点，分析函数的单调性，再将极值与端点函数值比较大小，找出其中最大的作为函数的最大值。‎ ‎【详解】‎ ‎，则，令，列表如下：‎ 极大值 极小值 所以，函数的极大值为，极小值为，‎ 又，，因此，函数在区间上的最大值为，‎ 故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数在定区间上的最值，解题时严格按照导数求最值的基本步骤进行，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎4．已知，则函数的单调递减区间为( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的定义域，并对该函数求导，解不等式，将解集与定义域取交集得出函数的单调递减区间。‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为，‎ ‎，‎ 令，得，因此，函数的单调递减区间为，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数求函数的单调区间，除了解导数不等式之外，还要注意将解集与定义域取交集，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎5．设，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】解析：当时， ；当时， ，故，应选答案A。‎ ‎6．如图，是可导函数，直线是曲线在处的切线，令，是的导函数，则（ ）．‎ A．－1 B．0 C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点的坐标代入切线方程得出的值，得出以及，再对函数 求导得，即可得出的值。‎ ‎【详解】‎ 将点代入直线的方程得，得，所以，，‎ 由于点在函数的图象上，则，‎ 对函数求导得，‎ ‎，故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点：‎ ‎（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；‎ ‎（2）切点是切线与函数图象的公共点。‎ ‎7．如图，表示三个开关，设在某段时间内它们正常工作的概率分别是0.9、0.8、0.7，那么该系统正常工作的概率是（ ）．‎ A．0.994 B．0.686 C．0.504 D．0.496‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题中意思可知，当、元件至少有一个在工作，且元件在工作时，该系统正常公式，再利用独立事件的概率乘法公式可得出所求事件的概率。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，该系统正常工作时，、元件至少有一个在工作，且元件在元件，‎ 当、元件至少有一个在工作时，其概率为，‎ 由独立事件的概率乘法公式可知，该系统正常工作的概率为，‎ 故选：B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立事件的概率乘法公式，解题时要弄清楚各事件之间的关系，在处理至少等问题时，可利用对立事件的概率来计算，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎8．袋中装有标号为1,2,3的三个小球，从中任取一个，记下它的号码，放回袋中，这样连续做三次，若抽到各球的机会均等，事件“三次抽到的号码之和为‎6”‎，事件“三次抽到的号码都是‎2”‎，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，事件“三次抽到的号码之和为”的概率为，事件同时发生的概率为，所以根据条件概率的计算公式.‎ 考点：条件概率的计算.‎ ‎9．袋中有6个不同红球、4个不同白球，从袋中任取3个球，则至少有两个白球的概率是（ ）．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 事件“至少有两个白球”包含“两个白球一个红球”和“三个都是白球”，然后利用古典概型的概率的计算公式可求出所求事件的概率。‎ ‎【详解】‎ 事件“至少有两个白球”包含“两个白球一个红球”和“三个都是白球”，‎ 由古典概型的概率公式知，事件“两个白球一个红球”的概率为，‎ 事件“三个都是白球”的概率为，‎ 因此，事件“至少有两个球是白球”的概率为，故选：D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查古典概型的概率公式以及概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，结合概率的加法公式进行计算，考查分类讨论数学思想，属于中等题。‎ ‎10．甲、乙二人进行围棋比赛，采取“三局两胜制”，已知甲每局取胜的概率为，则甲获胜的概率为 ( )．‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先确定事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，再利用独立重复试验的概率公式和概率加法公式可求出所求事件的概率。‎ ‎【详解】‎ 事件“甲获胜”包含“甲三局赢两局”和“前两局甲赢”，‎ 若甲三局赢两局，则第三局必须是甲赢，前面两局甲赢一局，所求概率为，‎ 若前两局都是甲赢，所求概率为，因此，甲获胜的概率为，‎ 故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立重复事件的概率，考查概率的加法公式，解题时要弄清楚事件所包含的基本情况，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎11．由曲线和直线，，（）所围成图形（阴影部分）的面积的最小值为( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用定积分求出阴影部分区域面积关于的函数，再利用导数求出该函数的最小值，可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 设阴影部分区域的面积为，‎ 则，‎ ‎，其中，令，得，‎ 当时，；当时，.‎ 所以，函数在处取得极小值，亦即最小值，且最小值为，‎ 因此，阴影部分区域面积的最小值为，故选：C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用定积分计算曲边多边形的面积，考查利用导数求函数的最值，在利用定积分思想求曲边多边形的面积时，要确定被积函数和被积区间，结合定积分公式进行计算，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎12．设函数，记，若函数 至少存在一个零点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：函数定义域是， ， ，设，则，设，则， ，易知，即也即在上恒成立，所以在上单调递增，又，因此是的唯一零点，当时， ，当时， ，所以在上递减，在上递增， ，函数至少有一个零点，则， ．故选B．‎ 考点：函数的零点，用导数研究函数的性质．‎ ‎【名师点睛】本题考查函数的零点的知识，考查导数的综合应用，题意只要函数的最小值不大于0，因此要确定的正负与零点，又要对求导，得，此时再研究其分子，于是又一次求导，最终确定出函数的最小值，本题解题时多次求导，考查了学生的分析问题与解决问题的能力，难度较大．‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若，且，，则_______.‎ ‎【答案】0.1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正态密度曲线的对称性得出，可求出 的值，再利用可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由于，由正态密度曲线的对称性可得，‎ 所以，‎ 因此，，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正态分布在指定区间上的概率的计算，解题的关键就是充分利用正态密度曲线的对称性，利用已知区间上的概率来进行计算，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎14．随机变量的分布列如下：‎ 若，则__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值，最后利用方差的计算公式可求出的值。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，解得，‎ 因此，，故答案为：。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎15．设点P、Q分别是曲线是自然对数的底数）和直线上的动点，则P、Q 两点间距离的最小值为 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ 试题分析：，令，即，，令，显然是增函数，且，即方程只有一解，曲线在处的切线方程为，两平行线和间的距离为.‎ 考点：导数与切线，方程的解，平行线间的距离.‎ ‎16．已知函数满足，且的导数，则不等式的解集为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设根据题意可得函数在R上单调递减，然后根据可得，最后根据单调性可求出x的取值范围．‎ 设，，‎ 即函数F（x）在R上单调递减，，‎ 而函数F（x）在R上单调递减，，即，‎ 故答案为：‎ 考点：导数的运算；其它不等式的解法 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．某种设备的使用年限 (年)和维修费用 (万元),有以下的统计数据:‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎2.5‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎4.5‎ ‎（Ⅰ）画出上表数据的散点图；‎ ‎（Ⅱ）请根据上表提供的数据，求出关于的线性 回归方程；‎ ‎（Ⅲ）估计使用年限为10年，维修费用是多少万元？‎ ‎（附：线性回归方程中，其中， ）．‎ ‎【答案】(1)详见解析;(2) ;(3) 当时， 万元.‎ ‎【解析】（1）直接将四个点在平面直角坐标系中描出；（2）先计算， ，再借助计算出，求出回归方程；（3）依据线性回归方程求出当时， 的值：‎ ‎【试题分析】（1）按数学归纳法证明命题的步骤：先验证时成立，再假设当时，不等式成立，分析推证时也成立：‎ ‎(1) ‎ ‎(2) ； ‎ ‎ ‎ 所求的线性回归方程： ‎ ‎ (3)当时， 万元 ‎18．已知函数，曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求函数的极大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将点代入切线方程得出，利用导数的几何意义得出，于此列方程组求解出实数、的值；‎ ‎（Ⅱ）求出函数的定义域，然后对函数求导，利用导数求出函数的单调区间，分析出该函数的极大值点并求出该函数的极大值。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由，得．‎ 由曲线在点处的切线方程为，‎ 得，，‎ 解得．‎ ‎（Ⅱ），．‎ ‎，解得；‎ ‎，解得；‎ 所以函数的增区间：；减区间：，‎ 时，函数取得极大值，函数的极大值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的极值，求解时要熟练应用导数求函数极值的基本步骤，另外在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两个要点：‎ ‎（1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率；‎ ‎（2）切点是切线与函数图象的公共点。‎ ‎19．‎ 几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题．然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．‎ 为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如下表：‎ 年龄 受访人数 ‎5‎ ‎6‎ ‎15‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎5‎ 支持发展 共享单车人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎12‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎（Ⅰ）由以上统计数据填写下面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；‎ 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 支持 不支持 合计 ‎（Ⅱ）若对年龄在，的被调查人中各随机选取两人进行调查，记选中的4人中支持发展共享单车的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．‎ 参考数据：‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ 参考公式：，其中．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可知a=30,b=10,c=5,d=5,代入：‎ ‎。（2）‎ 年龄在的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在的6个受访人中，有5人支持发展共享单车．随机变量的所有可能取值为2，3，4．所以，，.‎ 试题解析：（Ⅰ）根据所给数据得到如下列联表：‎ 年龄低于35岁 年龄不低于35岁 合计 支持 ‎30‎ ‎10‎ ‎40‎ 不支持 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 合计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ 根据列联表中的数据，得到的观测值为 ‎ ．‎ ‎∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系．‎ ‎（Ⅱ）由题意，年龄在的5个受访人中，有4人支持发展共享单车；年龄在的6个受访人中，有5人支持发展共享单车．‎ ‎∴随机变量的所有可能取值为2，3，4．‎ ‎∵，，，‎ ‎∴随机变量的分布列为 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎∴随机变量的数学期望．‎ ‎20．甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，‎ 答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分.‎ ‎（Ⅰ）求随机变量分布列； ‎ ‎(Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).‎ ‎【答案】（Ⅰ）的分布列为 ε ‎ ‎0 ‎ ‎1 ‎ ‎2 ‎ ‎3 ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(Ⅱ)‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)由题意知，的可能取值为0，1，2，3,且 所以的分布列为 ε ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎（Ⅱ）用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB=C∪D,且C、D互斥，又 由互斥事件的概率公式得 ‎21．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）若函数在上是单调递增函数，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）若，对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）将问题转化为对恒成立，然后利用参变量分离法得出，于是可得出实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数在上是增函数，设，并设 ‎，得知在区间上为减函数，转化为在上恒成立，利用参变量分离法得到，然后利用导数求出函数在上的最大值可求出实数的取值范围。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）易知不是常值函数，∵在上是增函数，‎ ‎∴恒成立，所以，只需；‎ ‎（Ⅱ）因为，由（Ⅰ）知，函数在上单调递增，‎ 不妨设，‎ 则，可化为，‎ 设，则，‎ 所以为上的减函数，即在上恒成立，‎ 等价于在上恒成立，‎ 设，所以，‎ 因，所以，所以函数在上是增函数，‎ 所以（当且仅当时等号成立）．‎ 所以．即的最小值为12．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的单调性与导数之间的关系，考查利用导数研究函数不等式恒成立问题，对于函数双变量不等式问题，应转化为新函数的单调性问题，难点在于利用不等式的结构构造新函数，考查分析能力，属于难题。‎ ‎22．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．再以原点为极点，以正半轴为极轴建立极坐标系，并使得它与直角坐标系有相同的长度单位．在该极坐标系中圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点、，若点的坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析:（1）由 可将圆的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先将直线的参数方程代入圆C方程，再根据参数几何意义得 ，最后根据韦达定理求的值．‎ 试题解析：（1）；‎ ‎（2）直线的参数方程代入圆C方程得 ．‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎23．已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|.‎ ‎(1)当a＝－3时，求不等式f(x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f(x)≤|x－4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) {x|x≥4或x≤1}；(2) [－3，0].‎ ‎【解析】试题分析：（1）解绝对值不等式首先分情况去掉绝对值不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于-2-x≤a≤2-x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围 试题解析：（1）当a＝－3时，f（x）＝‎ 当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；‎ 当2＜x＜3时，f（x）≥3无解；‎ 当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.‎ 所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}． 6分 ‎（2）f（x）≤|x－4||x－4|－|x－2|≥|x＋a|.‎ 当x∈[1，2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|（4－x）－（2－x）≥|x＋a|‎ ‎－2－a≤x≤2－a，‎ 由条件得－2－a≤1且2－a≥2，解得－3≤a≤0，‎ 故满足条件的实数a的取值范围为[－3，0]．‎ 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数 视频