重庆市康德卷2020届高三模拟调研卷文科数学（一） Word版含解析

重庆市康德卷2020届高三模拟调研卷文科数学（一） Word版含解析

www.ks5u.com ‎2020年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷文科数学（一）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题绘出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数年复平面中所对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数除法求出复数后可得对应点坐标，确定象限．‎ ‎【详解】，对应点，在第二象限．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的几何意义，属于基础题．‎ ‎2.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（ ）‎ A. B. 0 C. 1 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出，根据奇偶性求出 ‎【详解】当时，，‎ 所以，‎ 函数是定义在R上的奇函数，‎ 则.‎ 故选：C ‎【点睛】此题考查根据函数奇偶性求函数值，属于简单题目，关键在于准确计算.‎ - 21 -‎ ‎3.已知向量，，若A，B，C三点共线，则实数（ ）‎ A. 2 B. -1 C. 2或-1 D. -2或1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由向量共线的坐标运算求得．‎ ‎【详解】∵A，B，C三点共线，∴共线，∴，解得或．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查向量共线的坐标运算，属于简单题．‎ ‎4.已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合，，再求解即可得解.‎ ‎【详解】集合，‎ ‎，‎ 则.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查集合的基本运算，关键在于准确求出集合内部的元素.‎ ‎5.某学校为了解学生的数学学习情况，从甲、乙两班各抽取了7名同学某次数学考试的成绩，绘制成如图所示的茎叶图，则这两组数据不同的是（ ）‎ - 21 -‎ A. 平均数 B. 方差 C. 中位数 D. 极差 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据茎叶图计算各数据特征．‎ ‎【详解】由茎叶图，甲均值为，同理乙的均值也是，中位数都是90，极差都是99-80＝19，只有方差不相同了．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查样本数据特征．考查茎叶图．由茎叶图确定所有数据，确定各数据特征．掌握各数据特征的概念是解题关键．‎ ‎6.设a，b是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下面推理中正确的是（ ）‎ A. 若，，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A选项也可能两个平面相交，B选项是根据面面平行证明线面平行，所以正确，C选项也可能两个平面相交，D选项应该是.‎ ‎【详解】考虑平面，显然也满足，，不能得出，所以AC都错误；若，，则，所以B正确；若，，，则，所以D错误.‎ 故选：B - 21 -‎ ‎【点睛】此题考查空间线面位置关系的判断，关键在于熟练掌握定理公理进行推导，可举出反例推翻命题排除选项.‎ ‎7.已知命题P：“若对任意的都有，则”，则命题P的否命题为（ ）‎ A. 若存在使得，则 B. 若存在使得，则 C. 若，则存在使得 D. 若，则存在使得 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把条件，结论都否定，同时把任意与存在互换．‎ ‎【详解】否命题是条件、结论都否定，“任意的都有”的否定为“存在使得”.‎ 因此命题P的否命题是：若存在使得，则 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查否命题，掌握四种命题的关系是解题关键．否命题与命题的否定要区分开来．否则易出错．‎ ‎8.由直线x+2y-7=0 上一点P引圆的一条切线，切点为A,则的最小值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由得圆的标准方程为，设圆心为，故，由切线性质可得，的最小值为，故的最小值为，故选B.‎ 点睛：本题主要考切线长公式的应用，利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本题的关键；求切线的长度主要是通过构建直角三角形，即切线长为斜边，半径和点到圆心的距离为直角边.‎ - 21 -‎ ‎9.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数的图象大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由解析式分析函数的性质，如奇偶性，单调性，函数值的正负，变化趋势等．‎ ‎【详解】，则，函数是偶函数，排除C，‎ 当较大时，，可排除A，‎ 当时，，，由，知在上递减，上递增，，又，，∴有两个零点，在上有两个极值点，图象为先增后减再增．只有D符合，排除B．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可由解析式研究函数性质，如奇偶性，单调性，对称性，周期性等等，研究函数值的正负，函数值的变化趋势，函数图象的特殊点，如顶点，极值点等，从而通过排除法选择正确的结论．‎ ‎10.定义新运算“”：，则下列计算错误的是（ ）‎ A. B. ‎ - 21 -‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据新定义运算验证各选择支．‎ ‎【详解】由题中较小数的两倍减去较大的数，‎ ‎，A正确；‎ 若，则，B正确；‎ ‎，C正确；‎ ‎，‎ D不正确.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查新定义运算，正确理解新定义运算是解题关键．‎ ‎11.既与函数的图象相切，又与函数的图象相切的直线有（ ）‎ A. 0条 B. 1条 C. 2条 D. 3条 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设公切线在上的切点为，在上的切点为，‎ 由导数的几何意义分别写出切线方程，这两个方程表示同一直线，比较后得的方程，确定方程组的解的个数，即公切线的条数．‎ ‎【详解】设公切线在上的切点为，在上的切点为，‎ ‎，‎ 则公切线为：，，整理为：‎ - 21 -‎ ‎，，‎ 所以且，联立消去得：‎ ‎①，由得，或．‎ 令，则，或，‎ 故在上单减，在上单增，在上单减，‎ 当时，当时，当时，‎ 当时，因此在时，，故在内有唯一零点，在内有唯一零点，‎ 即①式中有两个不同解，即有两条公切线.‎ ‎【点睛】本题考查导数几何意义，用导数研究切线问题，用导数研究函数的零点，考查零点存在定理，难度较大．考查转化与化归思想，公切线的条数，转化为方程解的个数，转化为函数零点个数，转化为研究函数的单调性等．‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎12.曲线在点处的切线的横纵截距之和为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 到处导函数，再求出切线方程，即可得到横纵截距之和.‎ ‎【详解】由题：，‎ ‎，，‎ 所以在点处切线方程，即 - 21 -‎ 当，‎ 当，‎ 所以该切线的横纵截距之和为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】此题考查求曲线在某点处的切线方程，再求直线截距，关键在于根据题意准确计算.‎ ‎13.若变量x,y满足约束条件则z=2x+y的最大值为________‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：画出约束条件表示可行域，然后确定目标函数取得最大值时的位置，求解即可．解：由题意可知变量x，y满足约束条件的可行域为三角形区域，目标函数z=3x+y的最大值是函数的图象经过点A，即y=x，3x+2y=5的交点A（1，1），时取得．所以目标函数的最大值为：3．故答案为3．‎ - 21 -‎ 考点：线性规划 点评：本题考查简单的线性规划的应用，考查计算能力．属于基础题 ‎14.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，则___．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将已知等式根据诱导公式处理成结合正弦定理边化角计算得，即可得解.‎ ‎【详解】由题：在中，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：2‎ ‎【点睛】此题考查利用正弦定理进行边角互化求三角形的边长，关键在于根据和差公式准确化简.‎ ‎15.足球被誉为“世界第一运动”，它是全球体育界最具影响力的单项体育运动，足球的表面可看成是由正二十面体用平面截角的方法形成的，即用如图1所示的正二十面体，从每个顶点的棱边的处将其顶角截去，截去20个顶角后剩下的如图2所示的结构就是足球的表面结构.已知正二十面体是由20个边长为3的正三角形围成的封闭几何体，则如图2所示的几何体中所有棱边数为__________.‎ - 21 -‎ ‎【答案】90‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据截图方法，原有的棱没有减少，每个正三角形内增加三条棱，即可得解.‎ ‎【详解】由题原来正二十面体的每一条棱都会保留，正二十面体每个面3条棱，‎ 每条棱属于两个面，所以共有条棱，‎ 此外每个面会产生3条新棱，共产生条新棱，‎ ‎∴共有90条棱.‎ 故答案为：90‎ ‎【点睛】此题考查几何体结构的辨析，根据线面关系求棱的条数.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：共60分.‎ ‎16.如图，三棱锥中，底面ABC，，点E、F分别为PA、AB的中点，点D在PC上，且．‎ - 21 -‎ ‎（1）证明：平面BDE；‎ ‎（2）若是边长为2的等边三角形，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设AE中点为G，连结GF，GC，证明平面平面EBD，即可证得线面平行；‎ ‎（2）转换锥体顶点即可求解.‎ ‎【详解】（1）设AE中点为G，连结GF，GC，‎ 则，平面EBD.‎ ‎，∴，平面，‎ ‎∴平面平面EBD，∴平面；‎ ‎（2）设h为点到平面PAC的距离 作于M．‎ - 21 -‎ 底面ABC，底面ABC，‎ ‎，是平面PAC内两条相交直线，‎ ‎∴平面PAC，．‎ ‎.‎ ‎【点睛】此题考查证明线面平行和求锥体体积，需要熟练掌握常见证明方法和求锥体体积的处理办法.‎ ‎17.已知数列满足：，，.‎ ‎（1）求证：数列是等比数列；‎ ‎（2）设，求数列的前n项和.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1），则代入已知式可证得结论；‎ ‎（2）由（1）求得，从而得，用错位相减法求数列的前n项和.‎ ‎【详解】解：（1）设，由题，‎ 即，又，‎ 为等比数列，‎ 即为等比数列；‎ - 21 -‎ ‎（2）由（1）知，‎ 即，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 两式相减得，‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查等比数列的证明与求通项公式，考查错位相减法求数列的和．掌握用定义证明等比数列的方法，掌握数列求和的常用方法即可．‎ ‎18.某医院体检中心为回馈大众，推出优惠活动：对首次参加体检的人员，按200元/次收费，并注册成为会员，对会员的后续体检给予相应优惠（本次即第一次），标准如下：‎ 体检次序 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次及以上 收费比例 ‎1‎ ‎0.95‎ ‎0.90‎ ‎0.85‎ ‎0.8‎ 该体检中心从所有会员中随机选取了100位对他们在本中心参加体检的次数进行统计，得到数据如下表：‎ 体检次数 一次 两次 三次 四次 五次及以上 频数 ‎60‎ ‎20‎ ‎12‎ ‎4‎ ‎4‎ 假设该体检中心为顾客体检一次的成本费用为150元，根据所给数据，解答下列问题：‎ ‎（1）已知某顾客在此体检中心参加了3次体检，求这3次体检，该体检中心的平均利润；‎ ‎（2）该体检中心要从这100人里至少体检3次的会员中，按体检次数用分层抽样的方法抽出5人，再从这5人中抽取2人发放纪念品，求抽到的2人中恰有1人体检3次的概率．‎ - 21 -‎ ‎【答案】（1）40元；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）根据优惠方案算出三次体检医院的收入减去成本即可得到利润；‎ ‎（2）根据分层抽样可得抽出的5人中，有3人恰好体检三次，各有1人恰好体检四次五次，根据古典概型求解概率.‎ ‎【详解】解：（1）医院三次体检的收入为，‎ 三次体检的成本为，‎ 利润为元，故平均利润为40元； ‎ ‎（2）由题抽出的五个人中有3人恰体检三次，记为A，B，C，有一人恰体检四次，记为D，有一人恰体检至少五次，记为E，从五人中抽两个人出来，共有，，，，，，，，，10种情况其中抽到的2人中恰有1人体检3次的情况有，，，，， 6种情况，所求概率为.‎ ‎【点睛】此题主要考查统计与概率相关知识，涉及分层抽样和古典概型的计算，熟练掌握基本概念准确求解.‎ ‎19.已知椭圆的离心率为，焦距为2．‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆C交于点E，F，过点E作轴于点M，直线FM交椭圆C于另一点N，证明：．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据离心率和焦距即可求得椭圆的方程；‎ ‎（2）联立直线与椭圆方程，求出点E，F坐标，再求点N坐标，根据斜率关系证明垂直.‎ - 21 -‎ 详解】解：（1）由题，，∴，，， ‎ 故椭圆方程为；‎ ‎（2）设，，，‎ 则 与椭圆方程联立得，‎ 由得，‎ ‎，‎ ‎∴，即.‎ ‎【点睛】此题考查根据椭圆的基本量求椭圆方程，根据直线和椭圆的焦点坐标证明直线与直线的垂直关系，对计算能力要求比较高.‎ ‎20.已知函数，．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若不等式对任意恒成立，求a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，在单调递增，当时，的增区间为 - 21 -‎ ‎，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出导函数，分类讨论分子二次函数的根的情况即可得解；‎ ‎（2）结合（1）得出最大值，构造函数，结合单调性求解.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎，‎ 考虑，‎ 当时，，在单调递增，‎ 当时，记的两根，‎ 结合可得：两根属于，‎ 时，，‎ 时，，‎ 的增区间为，减区间为 - 21 -‎ ‎，‎ 当时，开口向下，结合可得：‎ 时，，‎ 时，，‎ 的增区间为，减区间为，‎ 综上所述：当时，在单调递增，当时，的增区间为，减区间为，当时，的增区间为，减区间为；‎ ‎（2）当时，当时，，‎ 所以，‎ 不满足对任意恒成立，‎ 当时，结合（1），的增区间为，减区间为，‎ 开口向下，结合可得：‎ - 21 -‎ 是方程的根，所以，‎ 所以，‎ 由题 令，‎ ‎，‎ 易得时，，所以在单调递增，且 ‎，即，‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以.‎ ‎【点睛】此题考查导函数的应用，处理函数单调性求最值，利用单调性解不等式，需要对代数式进行一定的观察，发现特殊值，便于转化求解，涉及分类讨论以及转化与化归思想.‎ ‎（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.‎ ‎21.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.‎ ‎（1）求C的普通方程，并判断直线l与曲线C的公共点的个数；‎ - 21 -‎ ‎（2）若曲线C截直线l所得弦长为，求值.‎ ‎【答案】（1），有两个交点；（2）0或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由可得曲线的普通方程，由直线所过定点与圆的位置关系可得直线与圆的位置关系，从而得交点个数；‎ ‎（2）把直线的方程化为普通方程，求出圆心到直线的距离，由垂径定理计算圆的弦长可求得直线的斜率，即．‎ ‎【详解】解：（1），‎ 经过点，而点在圆的内部，‎ 与有两个交点；‎ ‎（2），设到的距离为，与交于点，中点为，‎ ‎，，‎ 或，‎ 或.‎ ‎【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交弦长问题．求直线被圆截得的弦长的常用方法 ‎①几何法：用圆的几何性质求解，运用弦心距、半径及弦的一半构成的直角三角形，计算弦长；‎ ‎②代数法：联立直线与圆的方程得方程组，消去一个未知数得一元二次方程，再利用根与系数的关系结合弦长公式求解，其公式为.‎ ‎22.已知函数，设不等式的解集为M.‎ ‎（1）求集合M；‎ ‎（2）若，求证：.‎ - 21 -‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）对绝对值分段讨论求解不等式；‎ ‎（2）处理，即可得证.‎ ‎【详解】解：（1）当时，，不满足；‎ 时，，不满足；‎ 当时，；‎ 综上，；‎ ‎（2）‎ ‎，，.‎ ‎【点睛】此题考查解绝对值不等式和证明不等式，涉及分类讨论的思想，证明不等式常见办法可以作差，也可单侧变形证明.‎ - 21 -‎ ‎ ‎ - 21 -‎