宁夏银川市长庆高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

宁夏银川市长庆高级中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题

数学期中试卷 一、选择题：（本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分）． 1.正弦函数   sinf x x 图象的一条对称轴是（ ） A. 0x  B. 4x  C. 2x  D. x  【答案】C 【解析】 【分析】 先求正弦函数的对称轴方程，再给 k 赋值得解. 【详解】由题得正弦函数   sinf x x 图象的对称轴方程是 ,2x k k z   ，令 k=0 得 2x  . 故答案为 C 【点睛】（1）本题主要考查正弦函数的对称轴方程，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)正 弦函数 siny x 的对称轴方程为 ,2x k k z   . 2. 13tan 3  的值是（ ） A. 3 3  B. 3 C. 3 3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】 由于13 43 3    ，所以由诱导公式可得 13tan tan3 3   ，从而可求得其值 【详解】解： 13tan tan(4 ) tan 33 3 3       ， 故选：D 【点睛】此题考查三角函数的诱导公式，属于基础题 3.设 0 0,a b  分别是与 ,a b  同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A. 0 0a b  B. 0 0 1a b   C. 0 0 2a b   D. 0 0 2a b   【答案】C 【解析】 考点：单位向量． 分析：根据单位向量的模为 1，可得答案． 解：因为是单位向量，| 0a uur |=1，| 0b ur |=1．∴| 0a uur |+| 0b ur |=2 故选 C 4.已知 1cos 2    ，且 是钝角，则 tan 等于 A. 3 B. 3 3 C. 3 D. 3 3  【答案】C 【解析】 试题分析： , , 考点：同角三角函数的基本关系. 5.已知 sin 0  且 cos 0  ，则角 的终边所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】 利用三角函数的定义，可确定 0y  且 0x  ，进而可知 所在的象限，得到结果. 【详解】依据题设及三角函数的定义 可知角 终边上的点的横坐标小于零，纵坐标大于零， 所以终边在第二象限， 故选 B. 【点睛】该题考查的是有关根据三角函数值的符号断定角所属的象限，涉及到的知识点有三 角函数的定义，三角函数值在各个象限内的符号，属于简单题目. 6.已知函数 2( ) 2sin( )( 0), [ , ]12 3f x x x         的图像如图，若 1 2( ) ( )f x f x ，且 1 2x x ， 则 1 2( )f x x 的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】 结合图象求得 1 2x x  ， ， ，再代入求函数值. 【详解】由图象得 3 2 2( ) , 2,4 3 12 T T T           由 2sin( 2 ) 2 2 ( ), 2 ( ),6 3 2 6k k Z k k Z                得 由 1 2 26 3x x      ，得 1 2( ) ( ) 2sin(2 2 ) 13 3 6f x x f k          ，选 C. 【点睛】已知函数 sin( ) ( 0, 0)y A x B A       的图象求解析式 (1) max min max min,2 2 y y y yA B   . (2)由函数的周期T 求 2, .T   (3)利用“五点法”中相对应的特殊点求 . 7.已知向量 ( 1,3),a   (2, )b m ，若 ,a b 共线，则 m 的值为（ ） A. -6 B. -3 C. 3 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】 由 ,a b   共线，列方程可得 m 的值 【详解】解：因为 ,a b   共线，且 ( 1,3),a   (2, )b m ， 所以 6m  ，得 6m   故选：A 【点睛】此题考查共线向量的坐标运算，属于基础题 8.已知向量 BA ＝(4，－3)，向量 BC ＝(2，－4)，则△ABC 的形状为( ) A. 等腰非直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 由向量 BA  得出向量 AB  的坐标，然后利用平面向量的数量积运算法则求出 AC  • BC  ，得出 值为 0，可得两向量互相垂直，最后分别求出三向量的模，发现互不相等，进而得出三角形 ABC 为直角非等腰三角形． 【详解】∵ BA ＝(4，－3)， BC ＝(2，－4)， ∴ AC ＝ BC － BA ＝(－2，－1)， ∴CA ·CB ＝(2,1)·(－2,4)＝0， ∴∠C＝90°，且|CA |＝ 5 ，|CB |＝2 5 ，|CA |≠|CB | ∴△ABC 是直角非等腰三角形． 故选 C. 【点睛】此题考查了三角形的形状判断，CA ·CB ＝0 是解本题的关键. 9.已知 1sin 3 3       ，则 cos 6      （ ） A. 2 2 3  B. 2 2 3 C. 1 3 D. 1 3  【答案】C 【解析】 【分析】 由于 3 6 2                 ，所以利用诱导公式直接可得结果 【详解】解：因为 1sin 3 3       ， 所以 1cos sin sin6 2 6 3 3                               ， 故选：C 【点睛】此题考查了诱导公式，属于基础题 10.已知向量 ( 1,2)a   ， ( , 1)b m  ， ( 3,2)c   ，若 ( )a b c   ，则 m 的值是（ ） A. 7 2 B. 5 3 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 a b  的坐标，再由 ( )a b c   ，得 ( ) 0a b c    ，从而列方程可得 m 的值 【详解】解：因为 ( 1,2)a   ， ( , 1)b m  ， 所以 ( 1 ,3)a b m     ， 因为 ( )a b c   ， ( 3,2)c   ， 所以 3( 1 ) 6 0m     ，解得 3m   ， 故选：D 【点睛】此题考查向量的减法坐标运算，向量垂直，向量的数量积，属于基础题 11.在△ ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 EB  A. 3 1 4 4AB AC  B. 1 3 4 4AB AC  C. 3 1 4 4 AB AC  D. 1 3 4 4 AB AC  【答案】A 【解析】 分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得 1 1 2 2BE BA BC    ，之后应 用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到 BC BA AC    ，之后将其合并，得到 3 1 4 4BE BA AC    ，下一步应用相反向量，求得 3 1 4 4EB AB AC    ，从而求得结果. 详解：根据向量的运算法则，可得  1 1 1 1 1 1 2 2 2 4 2 4BE BA BD BA BC BA BA AC              1 1 1 3 1 2 4 4 4 4BA BA AC BA AC         ， 所以 3 1 4 4EB AB AC    ，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向 量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要 认真对待每一步运算. 12.已知函数 ( ) 2sin( )( 0,0 )f x x         的图象上相邻两个最高点的距离为 ，若 将函数 ( )f x 的图象向左平移 6  个单位长度后，所得图象关于 y 轴对称，则 ( )f x 的解析式为（ ） A. ( ) 2sin( )6f x x   B. ( ) 2sin( )3f x x   C. ( ) 2sin(2 )6f x x   D. ( ) 2sin(2 )3f x x   【答案】D 【解析】 试题分析：由题意，得T  ，所以 2 2T    ．函数 ( )f x 的图象向左平移 6  个单位，得 y ＝ 2sin[2( ) ]6x    ＝ 2sin(2 )3x    ． 又 所 得 图 象 关 于 y 轴 对 称 ， 所 以 3 2k     ，即 6k    ．因为 0    ，所以 6   ，所以 ( ) 2sin(2 )3f x x   ， 故选 D． 考点：1、三角函数的图象与性质；2、三角函数图象的平移变换． 【知识点睛】在三角函数图象问题：如果 ( ) sin( )f x A x   为偶函数或 ( ) cos( )g x A x   为奇函数，则 ( )2k k Z    ；如果函数 ( ) sin( )f x A x   奇 函数或 ( ) cos( )g x A x   为偶函数，则 ( )k k Z   ． 二、填空题：（本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分） 13.函数 cos2y x 的最小正周期为__ __． 【答案】 【解析】 试题分析：根据三角函数周期公式 2 2 2T      考点：正余弦函数的周期公式 14.已知单位向量 1e ， 2e 的夹角为 60°，则 1 22e e  ． 【答案】 3 【解析】 【 详 解 】 试 题 分 析 ： 根 据 题 意 可 知 ， 单 位 向 量 1e ， 2e 的 夹 角 为 60° ， 2 22 1 2 1 2 1 1 2 2 1| 1 2 | 4 4 · 5 4 32e e e e e e e e                  ,因此可知向量的模长为 3 ，答案 为 3 ． 考点：向量的数量积 【点睛】点评：对于向量的数量积的运用，主要是解决长度和角度问题，要灵活的变形即可， 属于基础题． 15.设向量 1 3, ,2 2a        3 1,2 2b        ，则 ,a b  的夹角等于________． 【答案】 30° 【解析】 【分析】 由于向量 ,a b   的坐标已知，所以直接利用向量的夹角公式求解 【详解】解：因为向量 1 3, ,2 2a        3 1,2 2b        ， 所以 2 22 21 3 3 11, 12 2 2 2a b                              ， 1 3 3 1 3 2 2 2 2 2a b       ， 所以 3cos , 2 a ba b a b        ， 因为 , [0, ]a b   ，所以 , 6a b   故答案为：30° 【点睛】此题考查的是已知两向量的坐标求其夹角，利用了向量的夹角公式进行了求解，属 于基础题 16.函数 siny x 的定义域为[ , ]a b ，值域为 11, 2     ，则b a 的最大值与最小值之和等于____ 【答案】 2 【解析】 【分析】 根据 siny x 的图像，求得b a 的最大值和最小值，由此求得 b a 的最大值与最小值之和. 【详解】根据函数的值域为 11, 2     ，由图像可知， b a 的最大值为13π 5π 8π 4π 6 6 6 3    ， b a 的最小值为 3π 5π 4π 2π 2 6 6 3    ，故 b a 的最大值与最小值之和等于 4π 2π 2π3 3   . 【点睛】本小题主要考查正弦函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础 题. 三、解答题：（本题共 6 题，共 70 分） 17.已知向量 (2,0)a  ， (1,4)b  ． （1）求 2 3a b  ， 2a b  ； （2）若向量 ka b  与 2a b  平行，求 k 的值． 【答案】（1） 7,12 ， (0, 8) ．（2） 1 2k  【解析】 【分析】 （1）由向量的坐标运算法则进行求解； （2）先求出向量 ka b  与 2a b  的坐标，再由共线的性质列方程可得 k 的值． 【详解】解：（1） (2,0),a   (1,4)b  ， 2 3 2(2,0) 3(1,4)a b     (4,0) (3,12) (7,12)   ， 2 (2,0) 2(1,4) (2,0) (2,8) (0, 8)a b        ． （2）依题意得 (2 ,0) (1,4) (2 1,4)ka b k k      ， 2 (2,0) (2,8) (4,8)a b     ． 向量 ka b  与 2a b  平行， 8(2 1) 4 4 0k     ，解得 1 2k  ． 【点睛】此题考查了向量的坐标运算，共线向量的性质，属于基础题 18.已知函数  f x sinx cosx  ， x R ． （Ⅰ）求 2f      的值； （Ⅱ）求函数  f x 的最小正周期； （Ⅲ）求函数   3 4 4g x f x f x              的最小值． 【答案】（Ⅰ）1； （Ⅱ）2 ；（Ⅲ） 3 24x k k   Z， 时，函数 ( )g x 的最小值为 2 . 【解析】 【试题分析】（1）依据题设运用函数的对应关系直接代入求解即可；（2）先化简函数解析式， 再运用周期公式求解；（3）先借助题设条件进行化简，再运用三角函数的图像与性质分析求 解： （Ⅰ）由题意得 sin cos 12 2 2f          ； （Ⅱ）因为   2sin 4f x x      ， 所以函数  f x 的最小正周期为 2 ； （Ⅲ）因为   3 4 4g x f x f x              =  2sin 2sin2x x        2 cos sin 2cos 4x x x        ， 所以当 3 24x k k Z   ， 时，函数  g x 的最小值为 2 . 19.已知向量 3 3cos ,sin , cos ,sin2 2 2 2 x x x xa b            . (1) 已知 / /a b 且 0, 2x     ，求 x ； (2)若 ( )=f x a b  ，写出 ( )f x 的单调递减区间. 【答案】（1）0；（2） 2 ,2k k   ， Zk  . 【解析】 【分析】 （1）利用 / /a b   得到等式，代入数据化简得到答案. （2） ( )=f x a b  写出表达式，化简为标准形式，最后求单调递减区间. 【详解】解：（1） / /a b ， 3 3cos sin sin cos 02 2 2 2 x x x x    ，即，sin 0x  0, 2x     0x  （2） 3 3( ) cos cos sin sin cos2 2 2 2 x x x xf x a b x     ( )f x 的单调减区间为 2 ,2k k   ， Zk  . 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换和单调减区间，属于简单题. 20.在平面直角坐标系 xOy 中，点O 是坐标原点，已知平行四边形 ABCD 的三个顶点 (2,3),A ( 1, 2),B   ( 2, 1)C   ． （1）求对角线 AC 及 BD 的长； （2）若实数 t 满足 ( ) 0AB tOC OC     ，求 t 的值． 【答案】（1） 4 2, 2 10 （2） 11 5t   【解析】 【分析】 （1）先设出点 D 的坐标，再由 BA CD  可得点 D 的坐标，从而可得 ,AC BD   的坐标，进而 可求出其模的长； （2）先求出向量 ,AB OC   的坐标，然后代入 ( ) 0AB tOC OC     中化简可得 t 的值 【详解】解：（1）设 ( , )D x y ，由 BA CD  ，得 (3,5) ( 2, 1)x y   ， 1x  ， 4y  ， (1,4)D ， ( 4, 4)AC    ， (2,6)BD  | | 4 2,AC  | | 2 10BD  . （2） ( 3, 5),AB     ( 2, 1),OC    ( ) 0AB tOC OC     ， 2 6 5 5 0AB OC tOC t         ， 11 5t   . 【点睛】此题考查了向量的坐标运算和向量的数量积运算，属于基础题 21.已知 5sin( ) , (0, )2 5       ， （1）求 3sin( ) cos( )2 2 sin( ) cos(3 )              的值；（2）求 3cos(2 )4   的值． 【答案】（1） 1 3  ；（2） 2 10  【解析】 【分析】 （1）由题意求出 cos ，sin ，tan ，利用诱导公式将所求表达式化简，利用商数关系将 正弦和余弦转化为正切即可求解． （2）根据（1）得到 cos ，sin ，结合二倍角公式得到 cos2 ，sin 2 ，利用两角差的 余弦公式即可求解． 【详解】（1） 2 5sin5 5 5sin cos tan 22 5 5 ,2                           原式 cos sin cos sin 1 tan 1 2 1 sin cos cos sin 1 tan 1 2 3                        （2） 2 1 3 5 2 5 4cos2 2cos 1 2 1 ,sin 2 2sin cos 25 5 5 5 5                                 3 2 2 2 2 4 3 2cos 2 cos2 sin 2 (sin 2 cos2 )4 2 2 2 2 5 5 10x                                【点睛】本题主要考查了诱导公式、同角三角函数的基本关系以及简单的三角恒等变换，属 于中档题． 22.在 ABC 中， 2( ) 4cos sin 3 cos2 2cos4 2 Bf B B B B        ． （1）若 ( ) 2f B  ，求角 B； （2）若 ( ) 2f B m  恒成立，求实数 m 的取值范围． 【答案】（1） 12B  （2） 4m   【解析】 【分析】 （1）先对 2( ) 4cos sin 3 cos2 2cos4 2 Bf B B B B        利用降幂公式和辅助公式进行 化简，然后由 ( ) 2f B  ，可得角 B 的值； （2）由 ( ) 2f B m  恒成立，得 2sin 2 23B m      恒成立，然后只需求出 ( )f B 的最 小值即可 【详解】解：（1） 1 cos 2( ) 4cos 3 cos2 2cos2 B f B B B B         2cos (1 sin ) 3cos2 2cosB B B B    sin 2 3cos2 2sin 2 3B B B        ． ( ) 2f B  ， 2sin 2 23B       ． B 是 ABC 的内角， 2 3 2B     ，则 12B  ． （2）若 ( ) 2f B m  恒成立，即 2sin 2 23B m      恒成立． 0 B   ， 723 3 3B      ， 2sin 2 [ 2,2]3B        ， 2 2m    ，即 4m   ． 【点睛】此题考查了三角函数的降幂公式和辅助角公式，由角的范围求三角函数的最值问题， 属于中档题