2018届二轮复习（文）不等式学案（全国通用）
【2017年高考考纲解读】
高考对本内容的考查主要有：
(1)一元二次不等式是C级要求，线性规划是A级要求．
(2)基本不等式是C级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题.
【重点、难点剖析】
1．不等式的解法
(1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
(2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、层次清楚地求解．
2．基本不等式
(1)基本不等式a2＋b2≥2ab取等号的条件是当且仅当a＝b.
(2)几个重要的不等式：①ab≤2(a，b∈R)．
② ≥≥≥(a＞0，b＞0)．
③a＋≥2(a＞0，当a＝1时等号成立)．
④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当a＝b时等号成立)．
(3)最值问题：设x，y都为正数，则有
①若x＋y＝s(和为定值)，则x＝y时，积xy取得最大值；
②若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.
3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题
若不等式f(x)>A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上f(x)min>A；
若不等式f(x)
A成立，则等价于在区间D上f(x)max>A；
若在区间D上存在实数x使不等式f(x)A在区间D上恰成立，则等价于不等式f(x)>A的解集为D；
若不等式f(x) B．ln(x2＋1)>ln(y2＋1)
C．sin x>sin y D．x3>y3
【命题意图】本题主要考查指数函数的性质、不等式的性质、三角函数的性质等基础知识，意在考查考生分析问题、解决问题的能力．
【答案】D
【解析】根据指数函数的性质得x>y，此时x2，y2的大小不确定，故选项A，B中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知选项D中的不等式恒成立．
【方法技巧】解不等式的四种策略
(1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数图象确定一元二次不等式的解集．
(2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解．
(3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解．
(4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解．
【变式探究】 (1)若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切x∈成立，则a的取值范围是________．
(2)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为______．
【答案】(1)－，＋∞) (2){x|x<－lg 2}
【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向，再资*源%库 ziyuanku.com考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或结合对应的函数图象求解．
题型2、简单的线性规划问题
【例2】【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）
A.0 B.3 C.4 D.5
【答案】C
【解析】作出如图可行域，则当经过点时，取最大值，而，∴所求最大值为4，故选C.
【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求资*源%库最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得．
【举一反三】(2015·广东，6)若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋2y的最小值为( )
A. B．6 C. D．4
【答案】 C
【变式探究】(1)(2014·新课标全国卷Ⅱ)设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为( )
A．10 B．8 C．3 D．2
(2)(2014·浙江)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．
【命题意图】(1)本题主要考查线性规划问题的求解，意在考查考生的数形结合能力与运算求解能力．
(2)本题主要考Ziyuanku.com查线性规则、不等式恒成立问题，考查考生的数形结合与运算求解能力．
【答案】(1)B (2)
(2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图中阴影部分所示，令z＝ax＋y，即y＝－ax＋z.作直线l0：y＝－ax，平移l0，最优解可在A(1,0)，B(2,1)，C处取得．
故由1≤z≤4恒成立，可得
解得1≤a≤.
【感悟提升】
1．线性规划问题的三种题型
(1)求最值，常见形如截距式z＝ax＋by，斜率式z＝，距离式z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(2)求区域面积．
(3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围．
2．解答线性规划问题的步骤及应注意的问题
(1)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决．
(2)画可行域时应注意区域是否包含边界．
(3)对目标函数z＝Ax＋By中的B的符号，一定要注意B的正负与z的最值的对应，要结合图形分析．
题型三、基本不等式及其应用
例3、【2016高考天津理数】设变量x，y满足约束条件则目标函数的最小值为（ ）
（A） （B）6 （C）10 （D）17
【答案】B
【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．资*源%库
【举一反三】(1)已知不等式<0的解集为{x|a0，则＋的最小值为( )
A．4 B．8
C．9 D．12
(2)要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)．
【命题意图】(1)本题主要考查解分式不等式、均值不等式等基础知识，对学生的转化思想、运算能力有一定要求．
(2)本题主要考查空间几何体的表面积、基本不等式等基础知识，意在考查考生处理实际问题的能力、空间想象能力和运算求解能力．
【答案】(1)C (2)160
【感悟提升】
(1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．
(2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件．
(3)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．
题型四 与线性规划有关的综合性问题WWW.ziyuanku.com
例4．【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．
【答案】
将变形,得,平行直线,当直线经过点时, 取得最大值.
解方程组,得的坐标.
所以当,时,.
故生产产品、产品的利润之和的最大值为元.
【举一反三】已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为( )
A．5 B．4 C. D．2
【答案】 B
法二 把2a＋b＝2看作平面直角坐标系aOb中的直线，则a2＋b2的几何意义是直线上的点与坐标原点距离的平方，显然a2＋b2的最小值是坐标原点到直线2a＋b＝2距离的平方，即＝4.
【变式探究】在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为( )
A．2 B．1 C．－ D．－
【答案】 C
【解析】 已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M与点A重合时直线OM的斜率最小，由直线方程x＋2y－1＝0和3x＋y－8＝0，解得A(3，－1)，故OM斜率的最小值为－.
【举一反三】设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
【答案】 C$来&源：ziyuanku.com
