高考数学【文科】真题分类详细解析版专题8 立体几何（解析版）

高考数学【文科】真题分类详细解析版专题8 立体几何（解析版）

专题 08 立体几何 【2013 高考真题】 （2013·新课标Ⅰ文）（11）某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为（ ） （A）16 8 （B）8 8 （C）16 16 （D）8 16 （2013·新课标Ⅱ卷）9. 一个四面体的顶点在空间直角坐系 O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0， 1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以 zOx 平面为投影面，则得到的正视图可为（ ） 【学科网考点定位】本小题主要考查立体几何中三视图的有关知识，考查同学们的空间想象能力，属中档题. （2013·新课标Ⅱ卷）15. 已知正四棱锥 O-ABCD 的体积为 3 2 2 ，底面边长为 3 ，则以 O 为球心，OA 为 半径的球的表面积为________. （2013·陕西文）12. 某几何体的三视图如图所示, 则其表面积为 . （2013·山东文）4. 一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面 积和体积分别是 A. 4 5,8 B. 84 5, 3 C. 84( 5 1), 3  D.8,8 （2013·辽宁文）（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 . （2013·辽宁文）（10）已知三棱柱 1 1 1 6 . 3 4ABC A B C O AB AC  的 个顶点都在球 的球面上若 ， ， ,AB AC 1 12AA O ，则球 的半径为 A． 3 17 2 B． 2 10 C．13 2 D．3 10 （2013·江西文）8． 一几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ） A． 200 9 B． 200 18 C． 140 9 D．140 18 （2013·湖南文）7.已知正方体的棱长为 1，其俯视图是一个面积为 1 的正方形，侧视图是一个面积为 2 的 矩形，则该正方体的正视图的面积等于（ ） A． 3 2 B.1 C. 2 1 2  D. 2 （2013·广东文）6．某三棱锥的三视图如图 2 所示，则该三棱锥的体积是 A． 1 6 B． 1 3 C． 2 3 D．1 （2013·大纲文）16. 已知圆O 和圆 K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径， 3 2OK  ，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60 则球O 的表面积等于 . （2013·大 纲文）11.已知正四棱锥 1 1 1 1ABCD A B C D 中， 1 2AA AB ，则 CD 与平面 1BDC 所成角的正弦值等于（ ） （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 1 3 ∴ 2 23sin 1 3 CHCDH CD     .故选 A. 【学科网考点定位】线面角的求解 （2013·北京文）（8）如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， P 为对角线 1BD 的三等分点， P 到各顶点的距 离的不同取值有（ ） （A）3 个 （B） 4 个 （C）5 个 （D） 6 个 【答案】B 【解析】设正方体的棱长为 3，计算得 （2013·浙江文）5、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（ ） A、 3108cm B、 3100cm C、 392cm D、 384cm （2013·江西文）15.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且 AB//CD,则直线 EF 与正方体的六 个面所在的平面相交的平面个数为 . （2013·浙江文）20、如图，在在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥面 ABCD，AB=BC=2，AD=CD= 7，PA= 3，∠ABC=120°,G 为线段 PC 上的点。 （Ⅰ）证明：BD⊥面 PAC ; （Ⅱ)若 G 是 PC 的中点，求 DG 与 APC 所成的角的正切值； （Ⅲ）若 G 满足 PC⊥面 BGD，求 PG GC 的值. （2013·安徽文）（15）如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱长为 1， P 为 BC 的中点，Q 为线段 1CC 上的动点， 过点 , ,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。 ①当 10 2CQ  时， S 为四边形 ②当 1 2CQ  时， S 为等腰梯形 ③当 3 4CQ  时， S 与 1 1C D 的交点 R 满足 1 1 3C R  ④当 3 14 CQ  时， S 为六边形 ⑤当 1CQ  时， S 的面积为 6 2 【学科网考点定位】考查立体几何中关于切割的问题，以及如何确定平面。 （2013·安徽文）（18）（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 60BAD   .已知 2, 6PB PD PA   . （Ⅰ）证明： PC BD （Ⅱ）若 E 为 PA 的中点，求三菱锥 P BCE 的体积. （2013·北京文）（17）（本小题共 14 分） 如图，在四棱锥 P ABCD 中， / /AB CD ，AB AD ， 2CD AB ，平面 PAD  底面 ABCD ，PA AD . E 和 F 分别是CD 和 PC 的中点，求证： （Ⅰ） PA  底面 ABCD ； （Ⅱ） / /BE 平面 PAD ； （Ⅲ）平面 BEF  平面 PCD . （2013·大纲文）19.（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P ABCD 中， 90ABC BAD    ， 2 ,BC AD PAB PAD 与 都是边长为 2 的等边三角 形. （I）证明： ;PB CD （II）求点 A 到平面 PCD 的距离. 【答案】 （Ⅰ）证明：取 BC 的中点 E，连结 DE，则 ABED 为正方形. （2013·福建文）18．（本小题满分 12 分） 如图，在四棱柱 //P ABCD AB DC 中，PD 平面ABCD， ， , 5, 3, 4, 60 .AB AD BC DC AD PAD       （I）当正视方向与向量 AD  的方向相同时，画出四棱锥 P ABCD 的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过 程）； （II）若 M 为 PA 的中点，求证：求二面角 //DM PBC平面 ; （III）求三棱锥 D PBC 的体积。 【答案】（Ⅰ）在梯形 ABCD 中，过点 C 作 CE AB ，垂足为 E ， 由已知得，四边形 ADCE 为矩形， 3AE CD  在 Rt BEC 中，由 5BC  ， 4CE  ,依勾股定理得： 3BE  ，从而 6AB  又由 PD  平面 ABCD 得， PD AD 从而在 Rt PDA 中，由 4AD  ， 60PAD   ,得 4 3PD  正视图如右图所示： （Ⅱ）取 PB 中点 N ，连结 MN ，CN 在 PAB 中， M 是 PA 中点， ∴ MN AB ， 1 32MN AB  ，又 CD AB , 3CD  ∴ MN CD ， MN CD ∴四边形 MNCD 为平行四边形，∴ DM CN 又 DM  平面 PBC ， CN  平面 PBC ∴ DM  平面 PBC （Ⅲ） 1 3D PBC P DBC DBCV V S PD     又 6PBCs  ， 4 3PD  ，所以 8 3D PBCV   解法二： （Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）取 AB 的中点 E ，连结 ME , DE 在梯形 ABCD 中， BE CD ，且 BE CD ∴四边形 BCDE 为平行四边形 ∴ DE BC ，又 DE  平面 PBC ， BC  平面 PBC ∴ DE  平面 PBC ，又在 PAB 中， ME PB ME  平面 PBC , PB  平面 PBC ∴ ME  平面 PBC .又 DE ME E , ∴平面 DME  平面 PBC ，又 DM  平面 DME ∴ DM  平面 PBC （Ⅲ）同解法一 （2013·湖南文）17.(本小题满分 12 分) 如图 2.在直棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠ BAC=90°，AB=AC= ，AA1=3，D 是 BC 的中点，点 E 在菱 BB1 上运 动。 （I） 证明：AD⊥C1E； （II） 当异面直线 AC，C1E 所成的角为 60°时， 求三棱锥 C1-A1B1E 的体积 （2013·江西文）19. （本小题满分 12 分） 如图，直四棱柱 1 1 1 1ABCD A B C D 中， / /AB CD ， AD AB ， 2AB  ， 2AD  ， 1 3AA  ，E 为 CD 上一点， 1DE  ， 3EC  1.证明：BE⊥平面 1 1BB C C ； 2.求点 1B 到平面 1 1EAC 的距离。 （2013·辽宁文）18．（本小题满分 12 分） 如图， .AB O PA O C O是圆 的直径， 垂直圆 所在的平面， 是圆 上的点 （I）求证： BC PAC 平面 ； （II）设 / / .Q PA G AOC QG PBC为 的中点， 为 的重心，求证： 平面 （2013·山东文）19. 如图，四棱锥 P ABCD 中， ,AB AC AB PA  , , 2AB CD AB CD∥ , , , , ,E F G M N 分别为 , , , ,PB AB BC PD PC 的中点. (Ⅰ)求证：CE PAD∥平面 ; (Ⅱ)求证： EFG EMN平面 平面 。 （2013·陕西文）18. (本小题满分 12 分) 如图, 四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O⊥平面 ABCD, 1 2AB AA  . (Ⅰ) 证明: A1BD // 平面 CD1B1; (Ⅱ) 求三棱柱 ABD－A1B1D1 的体积. 证、计算能力。属于容易题。 （2013·天津卷）（17）（本小题满分 13 分） 如图, 三棱柱 ABC－A1B1C1 中, 侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等. D, E, F 分别为棱 AB, BC, A1C1 的中点. (Ⅰ) 证明 EF//平面 A1CD; (Ⅱ) 证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (Ⅲ) 求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值. （2013·新课标Ⅱ卷）（18）（本小题满分 12 分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，D,E 分别是 AB，BB1 的中点. （Ⅰ）证明： BC1//平面 A1CD; （Ⅱ）设 AA1= AC=CB=2，AB=2 2 ，求三棱锥 C 一 A1DE 的体积. （2013·新课标Ⅰ文）19.（本小题满分 12 分） 如图，三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，CA CB ， 1AB AA ， 1 60BAA   。 （Ⅰ）证明： 1AB AC ； （Ⅱ）若 2AB CB  ， 1 6AC  ，求三棱柱 1 1 1ABC A B C 的体积。 【2012 高考真题】 1．（2012·重庆）设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1， 2和 a，且长为 a 的棱与长为 2的棱异面，则 a 的取 值范围为( ) A．(0， 2) B．(0， 3) C．(1， 2) D．(1， 3) 2．（2012·陕西）将正方体(如图 1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图为( ) 图 1－3 图 1－4 【答案】B 【解析】 分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知 对应的左视图应该为 B. 3．（2012·安徽）若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出所 有正确结论的编号)． ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体 ABCD 每个面的面积相等；③从四面体 ABCD 每个顶点出发的 三条棱两两夹角之和大于 90°而小于 180°；④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 5．（2012·上海）如图 1－1，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，D 是 PC 的中点，已知∠BAC＝π 2 ，AB＝2，AC ＝2 3，PA＝2，求： 图 1－1 (1)三棱锥 P－ABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)． 6 ． （2012·天津）一个几何体的三视图如图 1－2 所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3. 图 1－2 【答案】30 【解析】 由三视图可得该几何体为两个直四棱柱的组合体，其体积 V＝3×4×2＋1 2(1＋2)×1×4＝ 30. 7．（2012·辽宁）一个几何体的三视图如图 1－3 所示，则该几何体的体积为________． 8．（2012·课标全国）如图 1－2，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的 体积为( ) 9. （2012·浙江）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图 1－1 所示，则该三棱锥的体积是( ) A．1 cm3 B．2 cm3 C．3 cm3 D．6 cm3 10．（2012·陕西）将正方体(如图 1－3①所示)截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体的左视图 为( ) 图 1－3 图 1－4 【答案】B 【解析】 分析题目中截几何体所得的新的几何体的形状，结合三视图实线和虚线的不同表示可知 对应的左视图应该为 B. 12.（2012·湖北）已知某几何体的三视图如图 1－4 所示，则该几何体的体积为________． 图 1－4 图 1－5 13．（2012·广东）某几何体的三视图如图 1－1 所示，它的体积为( ) 图 1－1 A．72π B．48π C．30π D．24π 15．（2012·安徽）某几何体的三视图如图 1－2 所示，则该几何体的体积等于________． A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 5 17．（2012·湖南）某几何体的正视图和侧视图均如图 1－1 所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是( ) 18．（2012·江西）若一个几何体的三视图如图 1－2 所示，则此几何体的体积为( ) A.11 2 B．5 C.9 2 D．4 19．（2012·山东）如图 1－6，几何体 E－ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. 图 1－6 (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面 BEC. 因为△ABD 为正三角形． 20．（2012·辽宁）如图 1－5，直三棱柱 ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 2，AA′＝1，点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点． (1)证明：MN∥平面 A′ACC′； (2)求三棱锥 A′－MNC 的体积． (锥体体积公式 V＝1 3Sh，其中 S 为底面面积，h 为高) 21．（2012·北京）如图 1－9(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 1－9(2)． (1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由． 21．（2012·江苏）如图 1－4，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点． 求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1； (2)直线 A1F∥平面 ADE. 所以 CC1⊥A1F. 22．（2012·浙江）设 l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若 l∥α，l∥β，则α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β 23．（2012·江西）如图 1－7，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，E，F 是线段 AB 上的两点，且 DE⊥AB，CF⊥AB，AB ＝12，AD＝5，BC＝4 2，DE＝4，现将△ADE，△CFB 分别沿 DE，CF 折起，使 A，B 两点重合于点 G，得到多 面体 CDEFG. (1)求证：平面 DEG⊥平面 CFG； (2)求多面体 CDEFG 的体积． 24．（2012·四川）如图 1－4，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别是棱 CD、CC1 的中点，则异面直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________. 图 1－4 25．（2012·重庆）已知在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝4，AC＝BC＝3，D 为 AB 的中点． (1)求异面直线 CC1 和 AB 的距离； (2)若 AB1⊥A1C，求二面角 A1－CD－B1 的平面角的余弦值． 图 1－3 26．（2012·浙江）设 l 是直线，α，β是两个不同的平面( ) A．若 l∥α，l∥β，则α∥β B．若 l∥α，l⊥β，则α⊥β C．若α⊥β，l⊥α，则 l⊥β D．若α⊥β，l∥α，则 l⊥β 27．（2012·浙江）如图 1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝ 2，AD＝ 2，BC＝4，AA1＝2，E 是 DD1 的中点，F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点． (1)证明：(i)EF∥A1D1； (ii)BA1⊥平面 B1C1EF； (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值． 28．（2012·天津）如图 1－4，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2 3，PD ＝CD＝2. (1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值； (2)证明平面 PDC⊥平面 ABCD； (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 39 13 . 29．（2012·陕西）直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AA1，∠CAB＝π 2. (1)证明：CB1⊥BA1； (2)已知 AB＝2，BC＝ 5，求三棱锥 C1－ABA1 的体积． 30．（2012·课标全国）如图 1－4，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1 2AA1，D 是棱 AA1 的中点． (1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC； (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 图 1－4 31.（2012·山东）如图 1－6，几何体 E－ABCD 是四棱锥，△ABD 为正三角形，CB＝CD，EC⊥BD. 图 1－6 (1)求证：BE＝DE； (2)若∠BCD＝120°，M 为线段 AE 的中点，求证：DM∥平面 BEC. 因为△ABD 为正三角形． 所以∠BAD＝60°，∠ABC＝90°， 因此∠AFB＝30°， 32．（2012·湖南）如图 1－7，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC， AC⊥BD. (1)证明：BD⊥PC； (2)若 AD＝4，BC＝2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°，求四棱锥 P－ABCD 的体积． 在等腰直角三角形 AOD 中，OD＝ 2 2 AD＝2 2，所以 PD＝2OD＝4 2，PA＝ PD2－AD2＝4. 故四棱锥 P－ABCD 的体积为 V＝1 3×S×PA＝1 3×9×4＝12. 33．（2012·湖北）某个实心零部件的形状是如图 1－7 所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等 的等腰梯形的四棱台 A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD －A2B2C2D2. 图 1－7 (1)证明：直线 B1D1⊥平面 ACC2A2； (2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知 AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘 米的加工处理费为 0.20 元，需加工处理费多少元？ 所以 S2＝S 四棱台下底面＋S 四棱台侧面 ＝(A1B1)2＋4×1 2(AB＋A1B1)h 等腰梯形的高 ＝202＋4×1 2(10＋20) 132－ 1 2 20－10 2 ＝1 120(cm2)． 于是该实心零部件的表面积为 S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)， 故所需加工处理费为 0.2S＝0.2×2 420＝484(元)． 34．（2012·广东）如图 1－5 所示，在四棱锥 P－ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD，E 是 PB 的 中点，F 是 DC 上的点且 DF＝1 2AB，PH 为△PAD 中 AD 边上的高． (1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)若 PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥 E－BCF 的体积； (3)证明：EF⊥平面 PAB. 35．（2012·安徽）如图 1－3，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 A1B1C1D1 是正方形，O 是 BD 的中点，E 是棱 AA1 上任意一点． (1)证明：BD⊥EC1； (2)如果 AB＝2，AE＝ 2，OE⊥EC1，求 AA1 的长． 36．（2012·北京）如图 1－9(1)，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上的一点，将△ADE 沿 DE 折起到△A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 1－9(2)． (1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由． 37．（2012·江苏）如图 1－4，在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，A1B1＝A1C1，D，E 分别是棱 BC，CC1 上的点(点 D 不同于点 C)，且 AD⊥DE，F 为 B1C1 的中点． 求证：(1)平面 ADE⊥平面 BCC1B1； (2)直线 A1F∥平面 ADE. 38．（2012·全国）如图 1－1，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，AC＝2 2，PA＝2， E 是 PC 上的一点，PE＝2EC. (1)证明：PC⊥平面 BED； (2)设二面角 A－PB－C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小． 图 1－1 39．（2012·重庆）已知在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝4，AC＝BC＝3，D 为 AB 的中点． (1)求异面直线 CC1 和 AB 的距离； (2)若 AB1⊥A1C，求二面角 A1－CD－B1 的平面角的余弦值． 40．（2012·山东）如图 1－3 所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，E 为线段 B1C 上的一点，则三棱锥 A－DED1 的体积为________． .41．（2012·江苏）如图 1－2，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝3 cm，AA1＝2 cm，则四棱锥 A－BB1D1D 的体积为________cm3. 6. 42.（2012·浙江）已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图 1－1 所示，则该三棱锥的体积是( ) A．1 cm3 B．2 cm3 C．3 cm3 D．6 cm3 43．（2012·陕西）直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝AA1，∠CAB＝π 2. (1)证明：CB1⊥BA1； (2)已知 AB＝2，BC＝ 5，求三棱锥 C1－ABA1 的体积． 44．（2012·湖南）如图 1－7，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是等腰梯形，AD∥BC， AC⊥BD. (1)证明：BD⊥PC； (2)若 AD＝4，BC＝2，直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30°，求四棱锥 P－ABCD 的体积． 45．（2012·湖北）某个实心零部件的形状是如图 1－7 所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等 腰梯形的四棱台 A1B1C1D1－ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱 ABCD－ A2B2C2D2. 图 1－7 (1)证明：直线 B1D1⊥平面 ACC2A2； (2)现需要对该零部件表面进行防腐处理．已知 AB＝10，A1B1＝20，AA2＝30，AA1＝13(单位：cm)，每平方厘 米的加工处理费为 0.20 元，需加工处理费多少元？ 【答案】解：(1)因为四棱柱 ABCD－A2B2C2D2 的侧面是全等的矩形， 46．（2012·福建）如图 1－3 所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M 为棱 DD1 上的一点． (1)求三棱锥 A－MCC1 的体积； (2)当 A1M＋MC 取得最小值时，求证：B1M⊥平面 MAC. 图 1－3 【答案】解：(1)由长方体 ABCD－A1B1C1D1 知， 47．（2012·北京）如图 1－9(1)，在 Rt △ ABC 中，∠C＝90°，D，E 分别为 AC，AB 的中点，点 F 为线段 CD 上 的一点，将 △ ADE 沿 DE 折起到 △ A1DE 的位置，使 A1F⊥CD，如图 1－9(2)． (1)求证：DE∥平面 A1CB； (2)求证：A1F⊥BE； (3)线段 A1B 上是否存在点 Q，使 A1C⊥平面 DEQ？说明理由． 图 1－9 所以 A1C⊥DP. 所以 A1C⊥平面 DEP. 从而 A1C⊥平面 DEQ. 故线段 A1B 上存在点 Q，使得 A1C⊥平面 DEQ. 48．（2012·北京）某三棱锥的三视图如图 1－4 所示，该三棱锥的表面积是( ) 图 1－4 A．28＋6 5 B．30＋6 5 C．56＋12 5 D．60＋12 5 49．（2012·安徽）某几何体的三视图如图 1－2 所示，则该几何体的体积等于________． 图 1－2 【答案】56 【解析】 如图，根据三视图还原的实物图为底面是直角梯形的直四棱柱，其体积为 V＝Sh＝ 1 2 (2＋5)×4×4＝56. 50．（2012·全国）如图 1－1，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，AC＝2 2，PA＝2， E 是 PC 上的一点，PE＝2EC. (1)证明：PC⊥平面 BED； (2)设二面角 A－PB－C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小． 图 1－1 【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面 ABCD 为菱形，所以 BD⊥AC，又 PA⊥底面 ABCD，所以 PC⊥BD. 51．（2012·课标全国）如图 1－4，三棱柱 ABC－A1B1C1 中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1 2AA1，D 是棱 AA1 的中点． (1)证明：平面 BDC1⊥平面 BDC； (2)平面 BDC1 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比． 52．（2012·辽宁）如图 1－5，直三棱柱 ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝ 2，AA′＝1，点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点． (1)证明：MN∥平面 A′ACC′； (2)求三棱锥 A′－MNC 的体积． (锥体体积公式 V＝1 3Sh，其中 S 为底面面积，h 为高) 53．（2012·辽宁）已知点 P，A，B，C，D 是球 O 表面上的点，PA⊥平面 ABCD，四边形 ABCD 是边长为 2 3 的正方形，若 PA＝2 6，则 △ OAB 的面积为________． 图 1－4 54．（2012·课标全国）平面α截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面α的距离为 2，则此球的体积为( ) A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π 【答案】B 【解析】 由题意，球的半径为 R＝ 12＋ 2 2＝ 3，所以球的体积为 V＝4 3πR3＝4 3π.故选 B. 55．（2012·重庆）已知在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝4，AC＝BC＝3，D 为 AB 的中点． (1)求异面直线 CC1 和 AB 的距离； (2)若 AB1⊥A1C，求二面角 A1－CD－B1 的平面角的余弦值． 56．（2012·重庆）已知在直三棱柱 ABC－A1B1C1 中，AB＝4，AC＝BC＝3，D 为 AB 的中点． (1)求异面直线 CC1 和 AB 的距离； (2)若 AB1⊥A1C，求二面角 A1－CD－B1 的平面角的余弦值． 57．（2012·浙江）如图 1－5，在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝ 2， AD＝2，BC＝4，AA1＝2，E 是 DD1 的中点，F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点． (1)证明：(i)EF∥A1D1； (ii)BA1⊥平面 B1C1EF； (2)求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值． 58．（2012·天津）如图 1－4，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝2 3，PD ＝CD＝2. (1)求异面直线 PA 与 BC 所成角的正切值； (2)证明平面 PDC⊥平面 ABCD； (3)求直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值． 所以直线 PB 与平面 ABCD 所成角的正弦值为 39 13 . 59．（2012·上海）如图 1－1，在三棱锥 P－ABC 中，PA⊥底面 ABC，D 是 PC 的中点，已知∠BAC＝π 2 ，AB＝ 2，AC＝2 3，PA＝2，求： 图 1－1 (1)三棱锥 P－ABC 的体积； (2)异面直线 BC 与 AD 所成的角的大小(结果用反三角函数值表示)． 60．（2012·安徽）如图 1－3，长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，底面 A1B1C1D1 是正方形，O 是 BD 的中点，E 是棱 AA1 上任意一点． (1)证明：BD⊥EC1； (2)如果 AB＝2，AE＝ 2，OE⊥EC1，求 AA1 的长． 所以 AA1 的长为 3 2. 61．（2012·全国）已知正四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝2，CC1＝2 2，E 为 CC1 的中点，则直线 AC1 与平 面 BED 的距离为( ) A．2 B. 3 C. 2 D．1 62．（2012·全国）已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，E、F 分别为 BB1、CC1 的中点，那么异面直线 AE 与 D1F 所成 角的余弦值为________． 63．（2012·全国）如图 1－1，四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PA⊥底面 ABCD，AC＝2 2，PA＝2，E 是 PC 上的一点，PE＝2EC. (1)证明：PC⊥平面 BED； (2)设二面角 A－PB－C 为 90°，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小． 64．（2012·四川）下列命题正确的是( ) A．若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行 B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D．若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 65．（2012·四川）如图 1－3，半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面α内，过点 O 作平面α的垂线交半球面于点 A， 过圆 O 的直径 CD 作与平面α成 45°角的平面与半球面相交，所得交线上到平面α的距离最大的点为 B，该交线上的 一点 P 满足∠BOP＝60°，则 A、P 两点间的球面距离为( ) A．Rarccos 2 4 B.πR 4 C．Rarccos 3 3 D.πR 3 66．（2012·广东）如图 1－5 所示，在四棱锥 P－ABCD 中，AB⊥平面 PAD，AB∥CD，PD＝AD，E 是 PB 的中点， F 是 DC 上的点且 DF＝1 2AB，PH 为 △ PAD 中 AD 边上的高． (1)证明：PH⊥平面 ABCD； (2)若 PH＝1，AD＝ 2，FC＝1，求三棱锥 E－BCF 的体积； (3)证明：EF⊥平面 PAB. 67．（2012·福建）如图 1－3 所示，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M 为棱 DD1 上的一 点． (1)求三棱锥 A－MCC1 的体积； (2)当 A1M＋MC 取得最小值时，求证：B1M⊥平面 MAC. 68．（2012·安徽）若四面体 ABCD 的三组对棱分别相等，即 AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，则________(写出 所有正确结论的编号)． ①四面体 ABCD 每组对棱相互垂直；②四面体 ABCD 每个面的面积相等；③从四面体 ABCD 每个顶点出发的 三条棱两两夹角之和大于 90°而小于 180°；④连接四面体 ABCD 每组对棱中点的线段相互垂直平分；⑤从四面体 ABCD 每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长． 69．（2012·四川）如图 1－5，在三棱锥 P－ABC 中，∠APB＝90°，∠PAB＝60°，AB＝BC＝CA，点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上． (1)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小； (2)求二面角 B－AP－C 的大小． 设二面角 B－AP－C 的平面角为β，易知β为锐角． 而面 ABP 的一个法向量为 m＝(0,1,0)，则 cosβ＝| n·m |n|·|m||＝| 1 3＋1＋1|＝ 5 5 . 故二面角 B－AP－C 的大小为 arccos 5 5 . 【2011 高考真题】 1.(2011 年高考安徽卷文科 8)一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为 2．(2011 年高考广东卷文科 9)如图 1-3，某几何体的正视图（主视图），侧视图（左视图）和俯视图分别为等边三 角形、等腰三角形和菱形，则该几何体体积为（ ） A． B． C． D． 2 【答案】C 【解析】由题得该几何体是如图所示的四棱锥 P-ABCD， ，棱锥的高， 3232322 1 3 13312332312 22  VPOhAO 所以选择 C. 3．（2011 年高考湖南卷文科 4)设图１是某几何体的三视图，则该 几何体的体积为 A．9 42  Ｂ．36 18  Ｃ． 9 122   Ｄ． 9 182   答案：D 解析：有三视图可知该几何体是一个长方体和球构成的组合体， 其体积 34 3 9+3 3 2= 183 2 2V     （ ） 。 4．（2011 年高考湖北卷文科 7)设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2，下列说法中最合适的是 A. V1 比 V2 大约多一半 B. V1 比 V2 大约多两倍半 C. V1 比 V2 大约多一倍 D. V1 比 V2 大约多一倍半 答案：D 解析：设球半径为 R，其内接正方体棱长为 a，则 2 2 2 2a a a R   ，即 2 3 ,3a R 由 3 3 3 1 2 4 8, 33 9v R v a R   ，比较可得应选 D. 5.（2011 年高考山东卷文科 11)下图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正 (主)视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正(主)视图、俯视图如下图；③存在圆柱，其正(主)视图、俯视图如 下图．其中真命题的个数是 3 3 2 正视图 侧视图 俯视图 图 1 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】A 【解析】对于①,可以是放倒的三棱柱；容易判断②③可以. 6.（2011 年高考海南卷文科第 8 题）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图，则相应的侧视图可以 为（ ） 解析：D. 由主视图和府视图可知，原几何体是由后面是半个圆锥，前面是三棱锥的组合体，所以，左视图是 D。 7.（2011 年高考浙江卷文科 4)若直线l 不平行于平面 a ，且l a ，则 (A) a 内的所有直线与l 异面 (B) a 内不存在与l 平行的直线 (C) a 内存在唯一的直线与l 平行 (D) a 内的直线与l 都相交 【答案】 B 【解析】：直线l 不平行于平面 a ，l a 所以 l 与 a 相交，故选 B 8.（2011 年高考辽宁卷文科 8)一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为 2 3 ，它的三视图中的俯视图 如右图所示．左视图是一个矩形．则这个矩形的面积是 (A)4 (B) 2 3 (c)2 (D) 3 A B C D第 8 题图 9.（2011 年高考全国卷文科 8)已知直二面角 l   ，点 , ,A AC l C  为垂足， , ,B BD l D  为垂足， 若 2, 1,AB AC BD   则 D 到平面 ABC 的距离等于 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 6 3 （D）1 10.（2011 年高考全国卷文科 12)已知平面 截一球面得圆 M，过圆心 M 且与 成 060 ，二面角的平面  截该球面 得圆 N，若该球的半径为 4，圆 M 的面积为 4 ，则圆 N 的面积为 (A)7 (B)9 (c)11 (D)13 11.（2011 年高考江西卷文科 9)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ） 1 2. （2011 年高考四川卷文科 6) 1l ， 2l ， 3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 （A） 1 2 2 3,l l l l   1l // 2l （B） 1 2l l , 1l // 3l  1 3l l （C） 1l // 2l // 3l  1l ， 2l ， 3l 共面 （D） 1l ， 2l ， 3l 共点 1l ， 2l ， 3l 共面 13. （2011 年高考海南卷文科 16)已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆 锥底面面积是这个球面面积的 3 16 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 . 14. （2011 年高考福建卷文科 15)如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2。，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上， 若 EF∥平面 AB1C，则线段 EF 的长度等于_____________. 15. (2011 年高考天津卷文科 10)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为 3m . 16．（2011 年高考湖南卷文科 19)（本题满分 12 分） 如图 3，在圆锥 PO 中，已知 2,PO O  的直径 2, ,AB C AB D AC  点 在 上,且 CAB=30 为 的中点． （I）证明： ;AC POD 平面 （II）求直线和平面 PAC 所成角的正弦值． 17. (2011 年高考天津卷文科 17)（本小题满分 13 分） 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形, 45ADC   ,AD=AC=1,O 为 AC 的中点,PO⊥平面 ABCD,PO=2, M 为 PD 的中点. (Ⅰ)证明 PB∥平面 ACM ; (Ⅱ)证明 AD⊥平面 PAC; (Ⅲ)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值. 18. （2011 年高考福建卷文科 20)（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，点 E 在线段 AD 上，且 CE∥AB。 求证：CE⊥平面 PAD； （11）若 PA=AB=1，AD=3，CD= 2 ，∠CDA=45°，求四棱锥 P-ABCD 的体积 19 ．（2011 年高考陕西卷文科 16)（本小题满分 12 分）如图，在△ABC 中，∠ABC=45°， ∠BAC=90°，AD BC是 上的高 ，沿 AD 把是 BC 上的△ABD 折起， 使∠BDC=90°。（Ⅰ）证明：平面 ADB BDC 平面 ； （Ⅱ ）设 BD=1，求三棱锥 D— ABC 的表面积。 1 11 12 2DAM DBC DCAS S S        ， 1 32 2 sin 602 2ABCS       三棱锥表面积： 1 3 3 332 2 2S     20. （2011 年高考湖北卷文科 18)如图，已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的底面边长为 2，侧棱长为 3 2 ，点 E 在 侧棱 1AA 上，点 F 在侧棱 1BB 上，且 2 2, 2AE BE  . (Ⅰ)求证： 1CF C (Ⅱ)求二面角 1EE CF C  的大小. 又 由（1）知 1CF C E ，且 1EF C E E ，所以 CF⊥平面 C1EF. 又 1C F  平面 C1EF，故 CF⊥C1F. 于是∠EFC1 即为二面角 E-CF-C1 的平面角. 由（1）知△CEF 是等腰直角三角形，所以∠EFC1=450，即所求二面角 E-CF-C1 的大小为 450. 21.（2011 年高考浙江卷文科 20)（本题满分 14 分）如图，在三棱锥 P ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的 中点， PO ⊥平面 ABC ，垂足O 落在线段 AD 上. 又 2 2 2 1cos 2 3 PA PB ABBPA PA PB     从而 2 2sin 3BPA  故 sin 4 2BM PB BPA   同理 4 2CM  ，因为 2 2 2BM CM BC  所以 90BMC   即二面角 B AP C  的大小为90 22.(2011 年高考江苏卷 16)如图，在四棱锥 ABCDP  中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB=AD，∠BAD=60°， E、F 分别是 AP、AD 的中点.求证： （1）直线 EF∥平面 PCD；（2）平面 BEF⊥平面 PAD 2 3. (2011 年高考江苏卷 22)（本小题满分 10 分） 如图，在正四棱柱 1 1 1 1ABCD ABCD 中， 1 2, 1AA AB  ，点 N 是 BC 的中点，点 M 在 1CC 上，设二面角 1A DN M  的大小为 。 （1）当 090  时，求 AM 的长； （2）当 6cos 6   时，求CM 的长。 22第 题图 （2）由题 意： 1 1 1 1 60, 0, ,6 nn DNn DM n n n         即 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 02 0 3 4 4 2 0 x y y zz x x y x z y z             取 1 1 1 12, 1, 2, ;2x y z z    则 1 .2CM  25.(2011 年高考安徽卷文科 19)（本小题满分 13 分） 如图，ABCDEFG 为多面体，平面 ABED 与平面 AGFD 垂直，点O 在线段 AD 上， 1, 2,OA OD  OABV , △OAC ，△ODE ，△ODF 都是正三角形。 （Ⅰ）证明直线 BC ∥ EF ； （II）求棱锥 F-OBED 的体积。 又OB DE  和OC DF  ,可知 B 和 C 分别是线段 GE 和 GF 的中点， / /BC EF 26.（2011 年高考全国卷文科 20) (本小题满分 12 分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 如图，四棱锥 S ABCD 中， //AB CD , BC CD ，侧面 SAB 为等边三角形， 2, 1AB BC CD SD    . （Ⅰ）证明： SD SAB 平面 ; （Ⅱ)求 AB 与平面 SBC 所成角的大小. （Ⅱ）过 D 做 Dz  平面 ABCD ，如图建立空间直角坐标系 D xyz ， (2, 1,0), (2,1,0),A B 1 3(0,1,0), ( ,0, )2 2C S 可计算平面 SBC 的一个法向量是 (0, 3,2)n  ， =AB  (0,2,0) | | 2 3 21| cos , | .7| || | 2 7 AB nAB n AB n           所以 AB 与平面 SBC 所成角为 21arccos .7 【2010 高考真题】 1.（2010 陕西文数） 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 （A）2 （B）1 （C） 2 3 （D） 1 3 【答案】B 【解析】本题考查立体图形三视图及体积公式 如图，该立体图形为直三棱柱 所以其体积为 12212 1  2.（2010 辽宁文数）（11）已知 , , ,S A B C 是球O 表面上的点， SA ABC 平面 ， AB BC ， 1SA AB  ， 2BC  ，则球O 的表面积等于 （A）4 （B）3 （C）2 （D） 【答案】A. 【解析】由已知，球 O 的直径为 2 2R SC  ，表面积为 24 4 .R  3.（2010 全国卷 2 文数）（11）与正方体 ABCD—A1B1C1D1 的三条棱 AB、CC1、A1D1 所在直线的距离相等的 点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 4.（2010 全国卷 2 文数）（8）已知三棱锥 S ABC 中，底面 ABC 为边长等于 2 的等边三角形， SA 垂直于底 面 ABC ， SA =3，那么直线 AB 与平面 SBC 所成角的正弦值为 （A） 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 2 2 1 5.（2010 安徽文数）（9）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积是 （A）372 （B）360 （C）292 （D）280 【答案】B 【解析】该几何体由两个长方体组合而成，其表面积等于下面长方体的全面积加上面长方体的 4 个侧面积之和。 2(10 8 10 2 8 2) 2(6 8 8 2) 360S            . 6.（2010 重庆文数）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 （A）只有 1 个 （B）恰有 3 个 （C）恰有 4 个 （D）有无穷多个 7.（2010 浙江文数）（8）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是 （A） 352 3 cm3 （B） 320 3 cm3 （C） 224 3 cm3 （D）160 3 cm3 8.（2010 福建文数）3．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ) A． 3 B．2 C． 2 3 D．6 9.（2010 全国卷 1 文数）（12）已知在半径为 2 的球面上有 A、B、C、D 四点，若 AB=CD=2,则四面体 ABCD 的体积的最大值为 (A) 2 3 3 (B) 4 3 3 (C) 2 3 (D) 8 3 3 10.（2010 全国卷 1 文数）（9）正方体 ABCD - 1 1 1 1A B C D 中， 1BB 与平面 1ACD 所成角的余弦值为 （A） 2 3 （B） 3 3 （C） 2 3 （D） 6 3 【答案】D 【解析 1】因为 BB1//DD1,所以 B 1B 与平面 AC 1D 所成角和 DD1 与平面 AC 1D 所成角相等,设 DO⊥平面 AC 1D ， 11.（2010 全国卷 1 文数）(6)直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中，若 90BAC   ， 1AB AC AA  ，则异面直线 1BA 与 1AC 所成的角等于 (A)30° (B)45°(C)60° (D)90° 12.（2010 四川文数）（12）半径为 R 的球O 的直径 AB 垂直于平面 a ，垂足为 B ， BCD 是平面 a 内边长为 R 的正三角形，线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M 、 N ，那么 M 、 N 两点间的球面距离是 （A） 17arccos 25R （B） 18arccos 25R （C） 1 3 R （D） 4 15 R 13.（2010 天津文数）（12）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 。 14.（2010 四川文数）（15）如图，二面角 l   的大小是 60°，线段 AB  . B l ， AB 与l 所成的角为 30°.则 AB 与平面  所成的角的正弦值是 . 答案： 3 4 15.（2010 陕西文数）18.(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形 PA⊥平面 ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E，F 分别是 PB,PC 的中点. (Ⅰ)证明：EF∥平面 PAD； (Ⅱ)求三棱锥 E—ABC 的体积 V. 【2009 高考真题】 1. (广东文 6 理 5)给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 Ａ．①和② Ｂ．②和③ Ｃ．.③和④ Ｄ．②和④ 答案：D 解析：①错, ②正确, ③错, ④正确.故选 D 2. (宁夏海南文 9 理 8) 如图，正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的棱线长为 1，线段 1 1B D 上有两个动点 E，F，且 2 2EF  ，则下列结论中错误的是 （A） AC BE （B） / /EF ABCD平面 （C）三棱锥 A BEF 的体积为定值 （D）异面直线 ,AE BF 所成的角为定值 解析：A 正确，易证 1 1 ;AC D DBB AC BE 平面 ，从而 B 显然正确， / / , / /EF BD EF ABCD 平面 易证；C 正确，可用等积法求得；D 错误。选 D. 3.(山东文理 4) 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ). A. 2 2 3  B. 4 2 3  C. 2 32 3   D. 2 34 3   4.(辽宁文 5)如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬 060 纬线长和赤道长的比值为 （A）0.8 （B）0.75 （C）0.5 （D）0.25 解析：设地球半径为 R,则北纬 060 纬线圆的半径为 Rcos60°＝ 1 2 R 而圆周长之比等于半径之比,故北纬 060 纬线长和赤道长的比值为 0.5. 答案：C 5. (浙江文 4)设 ,  是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A．若 ,l     ，则l  B．若 / / , / /l    ，则l  C．若 , / /l    ，则 l  D．若 / / ,l    ，则l  答案：C 解析：此题主要考查立体几何的线面、面面的位置关系，通过对平行和垂直的考查，充分调动了立体几何中的 基本元素关系．对于 A、B、D 均可能出现 //l  ，而对于 C 是正确的． 6. (2009·安徽文 20) 本小题满分 13 分 如图，ABCD 的边长为 2 的正方形，直线l 与平面 ABCD 平行，E 和 F 式l 上的两个不同点，且 EA=ED，FB=FC, E 和 F是平面 ABCD 内的两点， EE 和 FF 都与平面 ABCD 垂直， （1）证明：直线 E F  垂直且平分线段 AD： （2）若∠EAD=∠EAB  060 ,EF 2,求多面 体 ABCDEF 的体积。 ∴多面体 ABCDEF 的体积为 2 2E ABCD E BCFV V   。 7. (2009·福建文 20) （本小题满分 12 分） 如图，平行四边形 ABCD 中， 60DAB   ， 2, 4AB AD  将 CBD 沿 BD 折起到 EBD 的位置，使平面 EDB  平面 ABD （I）求证： AB DE （Ⅱ）求三棱锥 E ABD 的侧面积。 14, 42ABEBE BC AD S AB BE       ,DE BD 平面 EBD  平面 ABD ED  ，平面 ABD 而 AD  平面 1, , 42ADEABD ED AD S AD DE      综上，三棱锥 E ABD 的侧面积， 8 2 3S   8. (2009·广东文 17)（本小题满分 13 分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P－EFGH,下半部分是长方体 ABCD－EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线 BD  平面 PEG 9. (2009·辽宁文 19)（本小题满分 12 分） 如图，已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB，DF 的中点。 （I）若 CD＝2，平面 ABCD ⊥平面 DCEF，求直线 MN 的长； （II）用反证法证明：直线 ME 与 BN 是两条异面直线。 B A N D C E F M G 10. (2009·宁夏海南文 19) （18）（本小题满分 12 分） 如图，在三棱锥 P ABC 中，⊿ PAB 是等边三角形，∠PAC=∠PBC=90 º （Ⅰ）证明：AB⊥PC （Ⅱ）若 4PC  ，且平面 PAC ⊥平面 PBC ， 求三棱锥 P ABC 体积。 P A B C .12.（2009·山东文 18）（（本小题满分 12 分） 如图，在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB//CD，AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、 E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. 设 F 是棱 AB 的中点,证明：直线 EE 1 //平面 FCC 1 ； 证明:平面 D1AC⊥平面 BB1C1C. 13．(2009·浙江文 19) （本题满分 14 分）如图，DC  平面 ABC ， / /EB DC ， 2 2AC BC EB DC    ， 120ACB   ， ,P Q 分别为 ,AE AB 的中点． （I）证明： / /PQ 平面 ACD ；（II）求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值． 22 14．（2009·天津文理 19）（本小题满分 12 分） 如图，在五面体 ABCDEF 中，FA  平面 ABCD, AD//BC//FE，AB  AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 1 2 AD (I) 求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小； (II) 证明平面 AMD  平面 CDE； （III）求二面角 A-CD-E 的余弦值。 （I）  ，，，解： 101BF   ，，， 110DE  .2 1 22 100 DEBF DEBFDEcos   ，于是 BF 所以异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小为 060 . （II）证明： ，，，由      2 112 1AM  ，，，101CE    0AMCE020AD  ，可得，， ， .AMDCEAADAM.ADCEAMCE.0ADCE 平面，故又，因此，   .CDEAMDCDECE 平面，所以平面平面而  （III）      .0D 0)(CDE Eu CEuzyxu ，，则，，的法向量为解：设平面 .111(1.0 0 ），，，可得令，于是       uxzy zx 又由题设，平面 ACD 的一个法向量为 ).100( ，，v .3 3 13 100cos    vu vuvu，所以， 【2008 年高考真题】 1.（2008·海南、宁夏文科卷）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面。已知该六棱柱的顶点都在同一 个球面上，且该六棱柱的高为 3 ，底面周长为 3，那么这个球的体积为 _________ 解析：∵正六边形周长为３，得边长为 1 2 ，故其主对角线为１，从而球的直径  2 22 3 1 2R    ∴ 1R  ∴球的体积 4 3V   答案： 4 3  2.（2008·海南、宁夏文科卷）已知平面α⊥平面β，α∩β= l，点 A∈α，Al，直线 AB∥l，直线 AC⊥l，直线 m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定．．．成立的是（ ） A. AB∥m B. AC⊥m C. AB∥β D. AC⊥β 解析：容易判断Ａ、Ｂ、Ｃ三个答案都是正确的，对于Ｄ，虽然 AC l ，但ＡＣ不一定在平面  内，故它可 以与平面 相交、平行，故不一定垂直； 答案：D 3．（2008·广东文科卷）如图 5 所示，四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是半径为 R 的圆的内接四边形，其中 BD 是圆的直径， 60 , 45 , ~ABD BDC ADP BAD       。 （1）求线段 PD 的长； （2）若 11PC R ，求三棱锥 P-ABC 的体积。 4．（2008·山东文科卷）如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面 PAD  平面 ABCD ， AB DC∥ ， PAD△ 是 等边三角形，已知 2 8BD AD  ， 2 4 5AB DC  ． （Ⅰ）设 M 是 PC 上的一点，证明：平面 MBD  平面 PAD ； （Ⅱ）求四棱锥 P ABCD 的体积． 解析：（Ⅰ）证明：在 ABD△ 中， 由于 4AD  ， 8BD  ， 4 5AB  ， A B C M P D