2017-2018学年云南省玉溪市玉溪一中高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

2017-2018学年云南省玉溪市玉溪一中高二下学期期中考试数学（文）试题 Word版

玉溪一中 2019 届高二年级下学期期中考试 文科数学 第 I 卷（选择题，共 60 分） 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1、已知集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2、已知 为复数单位，且复数 ，则 的虚部为（ ） A． B． C． D． 3、已知 ，椭圆 的方程为 ，双曲线 的方程为 ， 与 的离心率之积为 ， 则 、 的离心率分别为( ) A. ， B. ， C. ， D. ， 4、向量 ，则“ ”是“ ”的（ ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5、在等差数列 中， 是方程 的根，则 的值是 （ ） A. 41 B． 51 C. 61 D．68 6、已知实数 ，则 的大小关系是（ ） A． B. C． D. 7、如图，网格纸上小正方形的边长为 ，粗实线画出的是某几何体的三视图， 则该几何体的体积为（ ） A． B． C. D． 8、函数 的图象可由函数 的图象至少向右平移 个单 位长度得到，则 （ ） A． B． C. D． 9、若双曲线 的渐近线与圆 相离，则双曲线离 心率 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10、已知直线 ， 及平面 ， ， ， .命题 ：若 ，则 ， 一定 不平行；命题 是 ， 没有公共点的充分不必要条件，则下列命题是真命题的是 （ ） A． B． C. D． 11、已知函数 ，则 （ ） A． B． C. D． 12、已知椭圆 ，过椭圆 的左焦点 的直线 交椭圆 于 两点，其中 点 是椭圆的上顶点，椭圆 的左顶点为 ，直线 分别与直线 相 交于 两点．则 （ ） A． B． C． D． 第 II 卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分）. 13、若 满足约束条件 ，则 的最大值为 ． 14、中国古代数学著作《张丘建算经》（成书约公元 5 世纪）卷上二十三“织女问题”： 今有女善织，日益功疾. 初日织五尺，今一月日织九匹三丈.问日益几何. 其意思为：有一 个女子很会织布，一天比一天织得快，而且每天增加的长度都是一样的. 已知第一天织 尺， 经过一个月 天后，共织布九匹三丈.则每天多织布 尺？(注： 匹 丈， 丈 尺). 15、曲线 在点 处的切线方程是 ． 16、已知函数 ，存在 ，使得 ， 则 的取值范围是 ． 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17、(本小题满分 12 分) 在 中， 为 边上一点， ， ， . （1）若 ，求 外接圆半径 的值； （2）设 ，若 ，求 的面积. 18、(本小题满分 12 分) 某校 2019 届高二文（15）班在一次数学测验中，全班 名学生的数学成绩的频率分布直方 图如下，已知分数在 的学生数有 人. （1）求总人数 和分数在 的人数 ； （2）利用频率分布直方图，估算该班学生数学成绩的众数和中位数各是多少？ （3）现从分数在 名学生（男女生比例为 ）中任选 人，求其中至多含有 名 男生的概率. 19、(本小题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是菱形， ∠BAD=60°，AB=2，PD= ，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为棱 PB 上一点． （Ⅰ）证明：平面 EAC⊥平面 PBD； （Ⅱ）若 PD∥平面 EAC，求三棱锥 P﹣EAD 的体积． 20、(本小题满分 12 分) 已知椭圆 H： x2 a2＋y2＝1(a＞1)，原点 O 到直线 MN 的距离为 3 2，其中点 M(0，－1)，点 N(a，0). (1)求椭圆 H 的离心率 e； (2)经过椭圆右焦点 F2 的直线 l 和该椭圆交于 A，B 两点，点 C 在椭圆上，若 OC →＝ 1 2 OA →＋ 3 2 OB →， 求直线 l 的方程. 21、(本小题满分 12 分) 已知函数 ， . （1）当 时，求 的单调区间； （2）当 时，若对任意 ，都有 成立，求 的最大值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22、选修 4-4：坐标系与参数方程(本小题满分 10 分) 在直角坐标系 中，直线 : = 2，圆 ： ,以坐标原点为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求 ， 的极坐标方程； （2）若直线 的极坐标方程为 ，设 与 的交点为 , ,求 的面积. 23、选修 4-5：不等式选讲(本小题满分 10 分) 设函数 （1）若 最小值为 ，求 的值； （2）求不等式 的解集. 玉溪一中 2019 届高二年级下学期期中考试（文科数学）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D B A B C A B B D D A 13、8 14、 15、 16、 三、解答题（本大题共 8 个小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 17. 【解】（1）由余弦定理，得 ， 解得 . 由正弦定理得， . （2）设 ，则 ， ∵ ，∴ . ∴ . ∵ ，∴ . ∴ ， 即 ，解得 . ∴ . ∵ ，∴ . ∴ . 18、【解】（1）分数在 内的学生的频率为 ， 所以该班总人数为 . 分数在 内的学生的频率为： ， 分数在 内的人数为 . （2）由频率直方图可知众数是最高的小矩形底边中点的横坐标， 即为 . 设中位数为 ，∵ ，∴ . ∴众数和中位数分别是 ， . （3）由题意分数在 内有学生 名，其中男生有 名. 设女生为 ，男生为 ，从 名学生中选出 名的基本事件为： 共 种，其中至多有 名男生的基本事件共 种， ∴所求的概率为 . 19、【解】 （Ⅰ）证明：∵PD⊥平面 ABCD，AC⊂平面 ABCD， ∴AC⊥PD．∵四边形 ABCD 是菱形，∴AC⊥BD， 又∵PD∩BD=D，AC⊥平面 PBD． 而 AC⊂平面 EAC，∴平面 EAC⊥平面 PBD． （Ⅱ）∵PD∥平面 EAC，平面 EAC∩平面 PBD=OE，∴PD∥OE， ∵O 是 BD 中点，∴E 是 PB 中点． 取 AD 中点 H，连结 BH，∵四边形 ABCD 是菱形，∠BAD=60°， ∴BH⊥AD，又 BH⊥PD，AD∩PD=D，∴BD⊥平面 PAD， ． ∴ = = ． 20、【解】(1)由题意得直线 MN 的方程为 x－ay－a＝0， 则 a 1＋a2＝ 3 2⇒a＝， 所以 c＝，所以离心率 e＝ 2 3＝ 6 3. (2)椭圆 H 的方程为 x2 3 ＋y2＝1，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， ①当直线 l 的斜率为 0 时，其方程为 y＝0， 此时 A(，0)，B(－，0)，不符合题意，舍去. ②当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝my＋， 由 x2 ＋y2＝1， 消去 x 得(m2＋3)y2＋2my－1＝0， 所以Δ＞0， －1 . 因为 OC →＝ 1 2 OA →＋ 3 2 OB →， 所以 x3＝ 1 2x1＋ 3 2x2，y3＝ 1 2y1＋ 3 2y2. 因为点 C 在椭圆上， 所以 3＋y 2 3＝ 1 332＋32 ＝ 1 4 2 1＋ 3 4 2 2＋ 3 2 1 x1x2＋y1y2 ＝ 1 4＋ 3 4＋ 3 2 1 x1x2＋y1y2＝1， 所以 x1x2＋3y1y2＝0. 又因为 x1x2＝(my1＋)(my2＋)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋2＝m2× －1 m2＋3＋m× 2m m2＋3＋2＝ －3m2＋6 m2＋3 ， 所以 x1x2＋3y1y2＝ －3m2＋6 m2＋3 ＋3× －1 m2＋3＝0， 化简得 m2－1＝0. 所以 m＝±1. 所以直线 l 的方程 x＝±y＋. 综上，直线 l 的方程为 x－y－＝0 或 x＋y－＝0. 21、【解】(1) 由题意可知函数 的定义域为 . 当 时， ， . ①当 或 时， ， 单调递增. ②当 时， ， 单调递减. 综上， 的单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 . （2）由 ，得 ， 整理得 ， ∵ ，∴ . 令 ，则 . 令 ，∵ ，∴ . ∴ 在 上递增， ， ∴ 存在唯一的零点 . ∴ ，得 . 当 时， ， ∴ 在 上递减； 当 时， ， ∴ 在 上递增. ∴ ， 要使 对任意 恒成立，只需 . 又 ，且 ，∴ 的最大值为 . 22、【答案】（Ⅰ） , （Ⅱ） 23、【解】（Ⅰ）由题知 则 ，解得 （Ⅱ）设 若 ，有 ，解得 ， 若 ，有 ，解得 ， 综上，不等式的解集为