江苏省苏州市五校2020届高三上学期12月月考数学试卷

江苏省苏州市五校2020届高三上学期12月月考数学试卷

数 学（正卷）‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．）‎ ‎1.已知，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个集合直接求交集.‎ ‎【详解】由已知可知.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查集合的交集，属于简单题型.‎ ‎2.若复数（为虚数），则复数的模______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求复数，再化简求模.‎ ‎【详解】，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查复数的化简和求模，意在考查转化和化简计算，属于基础题型.‎ ‎3.某市有中外合资企业160家，私营企业320家，国有企业240家，其他性质的企业80家，为了了解企业的管理情况，现用分层抽样的方法从这800家企业中抽取一个容量为的样本，已知从国有企业中抽取了12家，那么______.‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，计算结果.‎ ‎【详解】由题意可知，解得：.‎ 故答案为：40‎ ‎【点睛】本题考查分层抽样，意在考查基本公式和基本计算能力，属于简单题型.‎ ‎4.函数的定义域是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据具体函数的形式，直接求定义域.‎ ‎【详解】由题意可知 ‎ 解得：，‎ 函数的定义域是.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查具体函数的定义域，属于简单题型.‎ ‎5.如图所示的流程图的运行结果是______．‎ ‎【答案】20‎ ‎【解析】‎ 试题分析：第一次循环：，第二次循环：，结束循环，输出 考点：循环结构流程图 ‎6.高三（5）班演讲兴趣小组有女生3人，男生2人，现从中任选2‎ ‎ 名学生去参加校演讲比赛，则参赛学生恰好为1名男生和1名女生的概率是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求任选2人的方法种数，然后求满足条件的方法，最后用古典概型求概率.‎ ‎【详解】从5人中任选2名学生参加演讲比赛有种方法，‎ 其中恰好为1名男生和1名女生的方法有种方法，‎ 则恰好为1名男生和1名女生的概率.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查组合数和古典概型的计算方法，意在考查基本公式和计算能力，属于基础题型.‎ ‎7.在平面直角坐标系中，直线为双曲线的一条渐近线，则该双曲线的离心率为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知，再表示.‎ ‎【详解】由题意可知双曲线的渐近线方程是 ‎ 若直线是双曲线的一条渐近线，‎ 则 ，即，‎ 离心率.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查双曲线基本性质，属于简单题型，一般求双曲线离心率的方法是1.‎ 直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.‎ ‎8.已知，，则的值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据角的范围求，然后化简为，代入求值.‎ ‎【详解】， ‎ 又 ，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎=.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型.‎ ‎9.设公比不为1的等比数列满足，且，，成等差数列，则数列的前4项和为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知可知，且，求首项和公差，再求.‎ ‎【详解】由等比数列的性质可知 ‎ ‎，‎ 成等差数列，‎ ‎，，‎ ‎ ，‎ 解得：（舍）或，‎ ‎ ，‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查等比数列基本量的求法，意在考查基本公式，属于基础题型.‎ ‎10.曲线在点处的切线与直线互相垂直，则实数的值为______.‎ ‎【答案】-4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求，由题意可知，求实数的值.‎ ‎【详解】 ，当时，，‎ 由题意可知， ，解得：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查导数的几何意义，属于简单题型，当求曲线在某点处的切线时，切线方程是.‎ ‎11.已知，且，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意变形为，再变形为，展开后利用基本不等式求最值.‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 当时等号成立，‎ 且 ，变形为 ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，‎ 本题的关键是根据，对原式进行变形 ‎，然后再求最值.‎ ‎12.已知直线与圆心为的圆相交于两点，且为等边三角形，则实数________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由于为等边三角形，故弦长，根据直线与圆相交，所得弦长公式为，可建立方程，，，即，解得.‎ 考点：直线与圆的位置关系，解三角形．‎ ‎【思路点晴】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆相交所得弦长公式，考查等边三角形几何性质.由于为等边三角形，故弦长，我们利用弦长公式就可以建立一个方程出来，这个方程包括点到直线距离公式.在求解完整之后，要验证圆心到直线的距离是否小于半径.‎ ‎13.已知平面向量，，满足，，，的夹角等于，且，则的取值范围是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由数量积公式变形为，并且整理为 ‎，变形为，利用三角函数的有界性，求得的取值范围.‎ ‎【详解】，‎ ‎，‎ ‎， ，，的夹角等于，‎ ‎，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎，，‎ 整理为：，‎ 解得：.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查数量积的运算公式的综合应用，意在考查转化与化简和计算能力，属于中档题型，当变形为时，化简为，利用三角函数的有界性求模的范围.‎ ‎14.关于的方程有3个不同的实数解，则实数的取值范围为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先方程变形为，将方程有3个不同的实数解转化为函数与 有3个不同交点，利用数形结合求的取值范围.‎ ‎【详解】原式变形为，‎ 当函数与有3个不同交点时，‎ 如图，满足条件的直线夹在如图的两条直线之间，一条是过的直线，此时，此时与轴的交点是 ，‎ 另外一条是相切的直线，设切点，‎ 则，解得：，‎ 则切点是，则，解得，，此时与轴的交点是，‎ ‎ ‎ ‎.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.‎ 二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15.在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，若，角为钝角，‎ ‎ （1）求的值；‎ ‎ （2）求边的长.‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，分别求得，得到答案；（2）利用正弦定理得到，利用余弦定理解出．‎ ‎【详解】(1)因为角 为钝角， ，所以 ，‎ 又 ，所以 ，‎ 且 ，‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎(2)因为 ，且 ，所以 ，‎ 又 ，‎ 则 ，‎ 所以 .‎ ‎16.如图所示，在三棱柱中，为正方形，是菱形，平面平面．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）要证明线面平行，需先证明线线平行，结合题意易证明；‎ ‎（2）要证明线线平行，需先证明线面平行，即证明平面.‎ ‎【详解】（1）是菱形，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ ‎（2）连接，‎ 四边形是菱形，，‎ 平面平面，且平面平面，‎ ‎，‎ 平面，且平面，‎ ‎，且，‎ 平面，‎ 又平面,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行和线线垂直的证明，意在考查空间想象能力和推理证明，属于基础题型.‎ ‎17.已知椭圆：的离心率为，且过点．右焦点为．‎ ‎（1）求椭圆方程；‎ ‎（2）设过右焦点为的直线与椭圆交于，两点，且，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知，再将点代入椭圆方程，结合可得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，代入向量的坐标表示可得，建立关于的方程，求得直线的方程.‎ ‎【详解】（1）解：因为，所以，，‎ 设椭圆的方程为．将点的坐标代入得：，‎ 所以，椭圆的方程为．‎ ‎（2）因为右焦点为，设直线的方程为：，‎ 代入椭圆中并化简得：，‎ 设，，因为，所以，‎ 即，所以，，‎ 即，解得，所以，‎ 所以直线的方程为：或．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系的综合问题，主要考查转化与化归和计算能力，第二问中设而不求的基本方法也使得求解过程变得简单，在解决圆锥曲线与动直线问题中，韦达定理，弦长公式都是解题的基本工具.‎ ‎18.如图，两座建筑物，的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是和，从建筑物的顶部看建筑物的视角．‎ ‎（1）求的长度；‎ ‎（2）在线段上取一点（点与点，不重合），从点看这两座建筑物的视角分别为，，问点在何处时，最小？‎ ‎【答案】（1）；（2）为时，取得最小值．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可知是等边三角形，，根据条件直接求的长度；‎ ‎（2）由（1）设，则，分别求和，然后再表示，设，利用导数求函数的最小值和点的位置.‎ ‎【详解】（1）如图，作，垂足为，则，，设，‎ 由条件可知是等边三角形，，‎ ‎， ‎ ‎..‎ 答：的长度为．‎ ‎（2）设，则，‎ ‎.‎ 设，，‎ 令，因为，得，‎ 当时，，是减函数；‎ 当时，，是增函数，‎ 所以，当时，取得最小值，即取得最小值，‎ 因为恒成立，所以，所以，，‎ 因为在上是增函数，所以当时，取得最小值．‎ 答：当为时，取得最小值．‎ ‎【点睛】本题考查三角函数和导数解决实际问题的综合问题，意在考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题型.‎ ‎19.已知数列、满足：，，.‎ ‎（1）证明：是等差数列，并求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求实数何值时恒成立．‎ ‎【答案】（1）见解析，；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知变形为，再构造，从而证明数列是等差数列，并求通项公式；‎ ‎（2）由（1）可知，再写出，利用裂项相消法求和，恒成立整理为恒成立，分，和三种情况讨论时恒成立求的取值范围.‎ ‎【详解】（1）∵，‎ ‎∴，∴． ‎ ‎∴数列是以-4为首项，-1为公差的等差数列．‎ ‎∴，∴．‎ ‎（2）∵．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由条件可知恒成立即可满足条件，设，‎ 当时，恒成立，‎ 当时，由二次函数的性质知不可能成立．‎ 当时，对称轴，在为单调递减函数． ‎ ‎，∴，∴时恒成立．‎ 综上知：时，恒成立．‎ ‎【点睛】本题考查证明由递推公式求通项公式，裂项相消法求和，以及数列和函数结合的综合性问题，意在考查转化与化归，讨论的思想和计算能力，属于中高档习题.‎ ‎20.已知函数．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；‎ ‎（2）当时，求证：；‎ ‎（3）设函数，其中为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）或；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据导数的意义可知，解得切点；‎ ‎（2）将所证明不等式转化为证明恒成立，设，利用导数证明；‎ ‎（3）等价于，等价于，且，令，利用导数分析函数的性质，可知函数的极小值0，极大值，讨论当 ‎，，，时，结合零点存在性定理确定零点的个数.‎ ‎【详解】（1）．所以过点的切线方程为，所以，‎ 解得或．‎ ‎（2）证明：即证，因为，所以即证，‎ 设，则．‎ 令，解得．‎ ‎4‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 减 极小 增 所以 当时，取得最小值．‎ 所以当时，．‎ ‎（3）解：等价于，等价于，且．‎ 令，则．‎ 令，得或，‎ ‎1‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 减 极小0‎ 增 极大 减 ‎（Ⅰ）当时，，所以无零点，即定义域内无零点 ‎（Ⅱ）当即时，若，因为，‎ ‎，所以在只有一个零点，‎ 而当时，，所以只有一个零点；‎ ‎（Ⅲ）当即时，由（Ⅱ）知在只有一个零点，且当时，，所以恰好有两个零点；‎ ‎（Ⅳ）当即时，由（Ⅱ）、（Ⅲ）知在只有一个零点，在只有一个零点，在时，因为，‎ 只要比较与的大小，即只要比较与的大小，‎ 令，‎ 因为，因为，所以，‎ 所以，‎ 即，所以，即在也只有一解，所以 有三个零点； ‎ 综上所述：当时，函数的零点个数为0； 当时，函数的零点个数为1；当时，函数的零点个数为2；当时，函数的零点个数为3．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值，以及分析零点个数的问题，判断零点个数不仅需要讨论极值点的位置，还需根据单调性验证零点存在性定理，第三问中当即时判断零点个数相对其他情况比较难，还需构造函数.解决零点问题常用方法还有：分离参数、构造函数、数形结合.‎ ‎2020届高三12月联合调研测试 数 学（加试）‎ 每小题10分，计40分.请把答案写在答题纸的指定区域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21.已知矩阵，若矩阵属于特征值1的一个特征向量为，属于特征值5的一个特征向量为．求矩阵，并写出的逆矩阵．‎ ‎【答案】，的逆矩阵是 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意列出和，建立关于的方程组，求解即可，再根据逆矩阵的定义求解.‎ ‎【详解】由矩阵属于特征值1的一个特征向量为可得，，即 ‎；‎ 由矩阵属于特征值5的一个特征向量为，可得，‎ 即，解得即，‎ 设的逆矩阵是，则 ,‎ 即 ，解得，，‎ 的逆矩阵是.‎ ‎【点睛】本题考查特征向量和逆矩阵，意在考查基本概念和基本计算，属于基础题型.‎ ‎22. 在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,求曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=1的交点Q的极坐标.‎ ‎【答案】(,)‎ ‎【解析】‎ 以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立直角坐标系,‎ 则曲线ρ=2sinθ可化为:x2+(y-1)2=1,‎ 曲线ρcosθ=1可化为x=1,‎ 由可得交点坐标为(1,1),‎ 所以交点Q极坐标是(,).‎ ‎23.在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角．‎ ‎（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；‎ ‎（2）求二面角的余弦值大小．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．设，表示与，根据求；‎ ‎（2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值的大小.‎ ‎【详解】由题意可知底面，且，‎ 以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，所以，所以．‎ 所以，，，，．‎ ‎（1）设，则，所以，‎ ‎．若，则，‎ 解得，而，所以，‎ 所以．‎ ‎（2）因为，，设平面法向量为，‎ 则，令，则，，所以.‎ 而平面的法向量为，‎ 所以，又显然所求二面角的平面角为锐角，‎ 故所求二面角的余弦值的大小为.‎ ‎【点睛】本题考查利用空间直角坐标系解决垂直和二面角的问题，意在考查空间想象能力和计算能力，属于中档题型.‎ ‎24.已知（其中）.‎ ‎（1）当时，计算及；‎ ‎（2）记，试比较与的大小，并说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）答案不唯一，见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）采用赋值法，令，计算，然后令和，求的值；‎ ‎（2）由（1）知，，比较与的大小，利用数学归纳法证明.‎ ‎【详解】（1）当时，取，得， ‎ 取时，得，……①‎ 取时，得，……②‎ 将①-②得：，‎ 所以．‎ ‎（2）由（1）可知，‎ 要比较与的大小，只要比较与，‎ 只要比较与，‎ 当时，左边，右边，所以左边右边；‎ 当时，左边，右边，所以左边右边；‎ 当时，左边，右边，所以左边右边；‎ 当时，左边，右边=，所以左边右边；‎ 猜想当时，左边右边，即． ‎ 下面用数学归纳法证明：‎ ‎①当时已证；‎ ‎②假设当时成立， ‎ 则当时，左边 ‎，‎ 因为 ‎，‎ 所以，即当时不等式也成立．‎ 所以对的一切正整数都成立．‎ 综上所述：当或时，，‎ 当或时．‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理求系数和，数学归纳法证明不等式，意在考查计算和推理能力，属于中档题型，利用数学归纳法证明时，注意当证明时不等式成立，必须利用时的假设，否则不是数学归纳法.‎ ‎ ‎ ‎ ‎