安徽省阜阳市界首中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

安徽省阜阳市界首中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题（解析版）

安徽省阜阳市界首中学2019-2020学年 高一下学期期中考试试题 第I卷（选择题)‎ 一、单选题(每小题5分，满分60分)‎ ‎1．与终边相同的角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎3．扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其圆心角的弧度数是（ ）‎ A．1或5 B．1或2 C．2或4 D．1或4‎ ‎4．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是(　　)‎ A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100‎ ‎5．如果，且是第四象限角，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎7.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学成果，该校为学生举行了一次网上匿名测试.已知测试成绩整理后分成五组绘制成如图所示的 频率分布直方图，且成绩在[70,80)间的学生共有240人，不及格（低于60分）的人数为m，则 A. a=0.05，m=40 B.a=0.05，m=80 C.a=0.005，m=40 D.a=0.005，m=80‎ ‎8．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了对照表：‎ ‎（单位:）‎ ‎(单位：度)‎ 由表中数据得线性回归方程：.则的值为 A． B． C． D．‎ ‎9．为得到函数的图象，可将函数的图象( )‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎10．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）‎ A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎12．已知函数均为正的常数)的最小正周期为，当 时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题(每小题5分，满分20分)‎ ‎13．化简：=__________.‎ ‎14．在平面直角坐标系中，若角的始边是 轴非负半轴，终边经过点，则________.‎ ‎15．在一个边长为2的正方形区域内随机投一个质点，则质点落在离4个顶点的距离都大于1的概率为 .‎ ‎16．已知函数=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点对称，且与点M相邻的一个最低点为，则对于下列判断：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎②点是函数的一个对称中心；‎ ‎③函数与 ()的图象的交点的横坐标之和为.‎ 其中判断正确的是__________.‎ 三、解答题(17题10分，其余每题12分，满分70分)‎ ‎17．（1）化简：.‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎18．如图，在中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设，.‎ ‎（1）用表示向量，；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎19．企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）的缴纳，‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎270‎ ‎330‎ ‎390‎ ‎460‎ ‎550‎ 某企业员工甲在2014年至2018年各年中每月所撒纳的养老保险数额y（单位：元）与年份序号t的统计如下表：‎ ‎（1）求出t关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）试预测2019年该员工的月平均工资为多少元？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎（注： ， ，其中）‎ ‎20．已知函数为偶函数，且函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.‎ ‎21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的中位数；‎ ‎（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．‎ ‎22．如图是函数的部分图象.‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；‎ ‎（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围．‎ 参考答案 第I卷（选择题)‎ 一、单选题(每小题5分，满分60分)‎ ‎1．与终边相同的角是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 与角终边相同的角为：， ‎ 当时，． ‎ 故选C．‎ ‎2．下列命题正确的是（ ）‎ A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 模为零的向量是零向量，所以A项正确；‎ 时，只说明向的长度相等，无法确定方向，‎ 所以B，C均错；‎ 时，只说明方向相同或相反，没有长度关系，‎ 不能确定相等，所以D错.‎ 故选：A.‎ ‎3．扇形周长为6cm，面积为2cm2，则其圆心角的弧度数是（ ）‎ A．1或5 B．1或2 C．2或4 D．1或4‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 设扇形的半径为cm，圆心角为，则解得或 故选D.‎ ‎4．某校期末考试后，为了分析该校高一年级1000名学生的学习成绩，从中随机抽取了100名学生的成绩单，就这个问题来说，下面说法中正确的是(　　)‎ A．1000名学生是总体 B．每名学生是个体 C．每名学生的成绩是所抽取的一个样本 D．样本的容量是100‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 根据有关的概念并且集合题意可得：此题的总体、个体、样本这三个概念考查的对象都是学生成绩，而不是学生，‎ 根据答案可得：而选项A、B表达的对象都是学生，而不是成绩，所以A、B都错误．‎ C每名学生的成绩是所抽取的一个样本也是错的，应是每名学生的成绩是一个个体．‎ D：样本的容量是100正确．‎ 故选D．‎ ‎5．如果，且是第四象限角，那么的值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 解：，且是第四象限角，‎ 故选：C ‎6．执行如图所示的程序框图，输出的的值为（ ）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：第一个循环， ，，执行否；‎ 第二个循环，，，执行否；‎ 第三个循环，，，结束循环，输出的值 故答案选：D.‎ ‎7.2020年春节后，因受疫情影响，某高中学校为学生导学助学开展网课，为了解网课教学成果，该校为学生举行了一次网上匿名测试.已知测试成绩整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，且成绩在[70,80)间的学生共有240人，不及格（低于60分）的人数为m，则 A. a=0.05，m=40 B.a=0.05，m=80 C.a=0.005，m=40 D.a=0.005，m=80‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎8．某单位为了落实“绿水青山就是金山银山”理念，制定节能减排的目标，先调查了用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机选取了天的用电量与当天气温，并制作了对照表：‎ ‎（单位:）‎ ‎(单位：度)‎ 由表中数据得线性回归方程：.则的值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 样本平均数为，即样本中心，则线性回归方程过，则，解得，即的值为，故选C.‎ ‎9．为得到函数的图象，可将函数的图象( )‎ A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 原函数，‎ 新函数，‎ 则函数图象需要向右平移：个单位.‎ 本题选择A选项.‎ ‎10．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则（ ）‎ A．1 B． C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 连接AO，由O为BC中点可得，‎ ‎，‎ ‎、、三点共线，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎ ‎ ‎11．汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是（ ）‎ A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D．某城市机动车最高限速80千米/小时. 相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 解：对于A，由图象可知当速度大于40km/h时，乙车的燃油效率大于5km/L，‎ ‎∴当速度大于40km/h时，消耗1升汽油，乙车的行驶距离大于5km，故A错误；‎ 对于B，由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率最高，即当速度相同时，消耗1升汽油，甲车的行驶路程最远，‎ ‎∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最少，故B错误；‎ 对于C，由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃油效率为10km/L，‎ 即甲车行驶10km时，耗油1升，故行驶1小时，路程为80km，燃油为8升，故C错误；‎ 对于D，由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，‎ ‎∴用丙车比用乙车更省油，故D正确 故选D．‎ ‎12．已知函数均为正的常数)的最小正周期为，当时，函数取得最小值，则下列结论正确的是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 因为 ，所以 因为当时，函数取得最小值，所以 ，所以 所以 所以 ‎ 且 ，且在 上单调递减，所以 ‎ 综上，‎ 所以选A. ‎ 第II卷（非选择题)‎ 二、填空题(每小题5分，满分20分)‎ ‎13．化简：=__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 原式=.‎ 故答案为：‎ ‎14．在平面直角坐标系中，若角的始边是 轴非负半轴，终边经过点，则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 解：由题意知，，则到原点的距离为1，‎ ‎，.‎ 故答案为: .‎ ‎15．在一个边长为2的正方形区域内随机投一个质点，则质点落在离4个顶点的距离都大于1的概率为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 在一个边长为2的正方形区域内随机投一个质点，‎ 以四个顶点为圆心，1为半径作圆，‎ 当质点在边长为2的正方形区域内随机滚动，离顶点的距离不大于1，其面积为，‎ 边长为2的正方形的面积为4，‎ ‎∴它在离4个顶点距离都大于1的区域内的概率为.‎ ‎16．已知函数=Asin(ωx+φ)(其中A>0，ω>0，0<φ<π)的图象关于点对称，且与点M相邻的一个最低点为，则对于下列判断：‎ ‎①直线是函数图象的一条对称轴；‎ ‎②点是函数的一个对称中心；‎ ‎③函数与 ()的图象的交点的横坐标之和为.‎ 其中判断正确的是__________.‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ 由题可知,‎ ‎∴,又,,‎ 由N()‎ ‎∴,∴,‎ 故.‎ ‎①当x=时,±1,‎ ‎∴直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴.‎ ‎②,‎ ‎∴点是函数f(x)的一个对称中心.‎ ‎③在第一个周期内函数y=1与y=f(x)图象的所有交点的横坐标之和.‎ 故答案为:②‎ 三、解答题(17题10分，其余每题12分，满分70分)‎ ‎17．（1）化简：.‎ ‎（2）已知，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）原式 ‎（2）由，所以，‎ ‎18．如图，在中，点A是BC的中点，点D是靠近点B将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设，.‎ ‎（1）用表示向量，；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为点A是BC的中点，所以，所以，‎ 又点D是靠近点B将OB分成2：1的个内分点，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）因为C，E，D三点共线，所以存在实数，使得，‎ 又，，所以,‎ 又不共线，则，解得.‎ ‎19．企业需为员工缴纳社会保险，缴费标准是根据职工本人上一年度月平均工资（单位：元）的缴纳，‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎270‎ ‎330‎ ‎390‎ ‎460‎ ‎550‎ 某企业员工甲在2014年至2018年各年中每月所撒纳的养老保险数额y（单位：元）与年份序号t的统计如下表：‎ ‎（1）求出t关于t的线性回归方程；‎ ‎（2）试预测2019年该员工的月平均工资为多少元？‎ 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：‎ ‎（注：，，其中）‎ ‎【答案】（1）；（2）7200元．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）,,‎ ‎,‎ ‎,‎ 故；‎ ‎（2）由题意,因为2019年该员工的月平均工资决定2020年企业需为该员工缴纳社会保险,故取,‎ 故,‎ 故2019年度月平均工资是（元）.‎ ‎20．已知函数为偶函数，且函数的图象的两相邻对称轴间的距离为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）将函数的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为为偶函数，所以，所以.又，所以，所以.‎ 有函数 的图象的两相邻对称轴间的距离为，所以，‎ 所以，所以，‎ 所以.‎ ‎（2）将的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，‎ 所以.‎ 当，‎ 即时，单调递减.‎ 所以函数的单调递减区间是.‎ ‎21．某校学生社团组织活动丰富，学生会为了解同学对社团活动的满意程度，随机选取了100位同学进行问卷调查，并将问卷中的这100人根据其满意度评分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6组，制成如图所示频率分布直方图．‎ ‎（1）求图中x的值；‎ ‎（2）求这组数据的中位数；‎ ‎（3）现从被调查的问卷满意度评分值在[60，80）的学生中按分层抽样的方法抽取5人进行座谈了解，再从这5人中随机抽取2人作主题发言，求抽取的2人恰在同一组的概率．‎ ‎【答案】（1）0.02；（2）75；（3）0.4‎ ‎【解析】‎ 解：（1）由（0.005+0.010+0.030+0.025+0.010+x）×10=1，解得x=0.02．‎ ‎（2）中位数设为m，则0.05+0.1+0.2+（m-70）×0.03=0.5，解得m=75．‎ ‎（3）可得满意度评分值在[60，70）内有20人，抽得样本为2人，记为a1，a2 ‎ 满意度评分值在[70，80）内有30人，抽得样本为3人，记为b1，b2，b3，‎ 记“5人中随机抽取2人作主题发言，抽出的2人恰在同一组”为事件A，‎ 基本事件有（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a2，b1），（a2，b2），‎ ‎（a2，b3），（b1，b2），（b1，b3），（b2，b3）共10个，A包含的基本事件个数为4个，‎ 利用古典概型概率公式可知P（A）=0.4．‎ ‎22．如图是函数的部分图象.‎ ‎（1）求函数的表达式；‎ ‎（2）若函数满足方程，求在内的所有实数根之和；‎ ‎（3）把函数的图象的周期扩大为原来的两倍，然后向右平移个单位，再把纵坐标伸长为原来的两倍，最后向上平移一个单位得到函数的图象．若对任意的，方程在区间上至多有一个解，求正数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）‎ ‎【解析】‎ 解：（Ⅰ）由图可知：，即，‎ 又由图可知：是五点作图法中的第三点，‎ ‎，即． ‎ ‎（Ⅱ）因为的周期为，在内恰有个周期.‎ ‎⑴当时，方程在内有个实根，‎ 设为，结合图像知 ，‎ 故所有实数根之和为 ； ‎ ‎⑵当时，方程在内有个实根为，‎ 故所有实数根之和为 ； ‎ ‎⑶当时，方程在内有个实根，‎ 设为，结合图像知 ，‎ 故所有实数根之和为 ； ‎ 综上：当时，方程所有实数根之和为 ；‎ 当时，方程所有实数根之和为 ； ‎ ‎（Ⅲ），‎ 函数的图象如图所示：‎ 则当图象伸长为原来的倍以上时符合题意，‎ 所以．‎