2013-2017高考数学分类汇编-第十章 第3节抛物线及其性质~第4节曲线与方程

2013-2017高考数学分类汇编-第十章 第3节抛物线及其性质~第4节曲线与方程

第三节 抛物线及其性质 题型122 抛物线的定义与标准方程 ‎2013年 ‎1.（2013四川文5）抛物线的焦点到直线的距离是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2014年 ‎1.（2014安徽文3）抛物线的准线方程是（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2014辽宁文8）已知点在抛物线：的准线上，记的焦点为，则直线的斜率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.（2014新课标Ⅰ文10）已知抛物线：的焦点为，是C上一点，，则（ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.（2014陕西文11）抛物线的准线方程为___________.‎ ‎5.（2014湖南文14）平面上一机器人在行进中始终保持与点的距离和到直线 的距离相等.若机器人接触不到过点且斜率为的直线，则的取值范围 是 .‎ ‎2015年 ‎1.（2015陕西文3）已知抛物线的准线经过点，则该抛物线的焦 点坐标为（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎1. 解析 由抛物线得准线，因为准线经过点，所以，‎ 所以抛物线焦点坐标为.故选B.‎ ‎2.（2015福建文19）已知点为抛物线：的焦点，点在抛 物线上，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）已知点，延长交抛物线于点，求证：‎ 以点为圆心且与直线 相切的圆，必与直线相切．‎ ‎2.分析 （1）利用抛物线定义，将抛物线上的点到焦点距离和到准线距离相互转化．本题 由可得，可求的值，进而确定抛物线方程；‎ ‎（2）欲证明以点为圆心且与直线相切的圆，必与直线相切．可证明点到直线 和直线的距离相等（此时需确定两条直线方程）；也可以证明，‎ 可转化为证明两条直线的斜率互为相反数．‎ 解析（1）由抛物线的定义得．因为，即，解得，‎ 所以抛物线的方程为．‎ ‎（2）解法一：因为点，在抛物线：上，‎ 所以，由抛物线的对称性，不妨设．‎ 由，可得直线的方程为．‎ 由，得.‎ 解得或，从而．‎ 又，所以，，‎ 所以，从而，这表明点到直线，的距离相等，‎ 故以为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．‎ 解法二：设以点为圆心且与直线相切的圆的半径为．‎ 因为点在抛物线：上，‎ 所以，由抛物线的对称性，不妨设．‎ 由，可得直线的方程为．‎ 由，得，‎ 解得或，从而．‎ 又，故直线的方程为，‎ 从而．‎ 又直线的方程为，‎ 所以点到直线的距离．‎ 这表明以点为圆心且与直线相切的圆必与直线相切．‎ ‎2016年 ‎1.（2016四川文3）抛物线的焦点坐标是（ ）.‎ A. B. C. D.‎ ‎1. D 解析 由题意，的焦点坐标为.故选.‎ ‎2.（2016江苏22（1））如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线.若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程.‎ ‎ ‎ ‎2. 解析 因为，所以与轴的交点坐标为，抛物线的焦点为，‎ 所以，故.‎ ‎3.（2016浙江文19（1））如图所示，设抛物线的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于. 求的值. ‎ ‎3. 解析因为抛物线上点到焦点的距离等于点到准线的距离，由已知条件得，即.‎ 题型123 与抛物线有关的距离和最值问题 ‎2013年 ‎1. （2013江西文9）已知点，抛物线的焦点为，射线与抛物线 相交于点，与其准线相交于点，则（ ）.‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.（2013江苏9）抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为（包含三 角形内部和边界）.若点是区域内的任意一点，则的取值范围是 .‎ ‎3．（2013广东文20）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线 的距离为，设为直线上的点，过点做抛物线的两条切线，‎ 其中，为切点．‎ ‎(1) 求抛物线的方程；‎ ‎(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；‎ ‎(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．‎ ‎4.（2013浙江文22）已知抛物线的顶点为 ，焦点.‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过作直线交抛物线于两点，若直线分别交 直线： 于两点， 求 的最小值. ‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国2卷文12）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在轴上方），为的准线，点在上且，则点到直线的距离为（ ）. ‎ A. B. C. D.‎ ‎1.解析 由题知，与抛物线联立得，解得，所以.‎ 解法一：因为，所以，因为，所以，所以到的距离为.故选C.‎ 解法二：如图所示，在中，由抛物线定义知，.因为，所以.又轴，所以，所以为等边三角形，且，则点到直线的距离为.‎ 题型124 抛物线中三角形、四边形的面积问题 ‎2016年 ‎1.（2016上海文20）有一块正方形菜地，所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到点或河边运走.于是，菜地分为两个区域和，其中中的蔬菜运到河边较近，中的蔬菜运到点较近，而菜地内和的分界线上的点到河边与到点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点为的中点，点的坐标为，如图所示.‎ ‎（1）求菜地内的分界线的方程；‎ ‎（2）菜农从蔬菜运量估计出面积是面积的两倍，由此得到面积的“经验值”为.设是上纵坐标为的点，请计算以为一边，另一边过点的矩形的面积，及五边形的面积，并判断哪一个更接近于面积的经验值.‎ ‎1.解析 （1）不妨设设分界线上任一点为，依题意，化简得.‎ ‎（2）因为，所以，‎ 设以为一边，另一边过点的矩形的面积为，则，‎ 设五边形面积为，过作交于点，如图所示.‎ 则，‎ 因为，，‎ 所以五边形的面积更接近的面积.‎ 第四节 曲线与方程 题型125 求动点的轨迹方程 ‎2013年 ‎1. （2013辽宁文20）如图，抛物线.点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）.当时，切线的斜率为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（ ‎ 重合于时，中点为）.‎ ‎2. (2013陕西文20）已知动点到直线的距离是它到点的距离的倍.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点的直线与轨迹交于两点.若是的中点，求直线的斜率.‎ ‎2014年 ‎1.（2014福建文21）已知曲线上的点到点的距离比它到直线的距离小 ‎2.‎ ‎（1）求曲线的方程；‎ ‎（2）曲线在点处的切线与轴交于点.直线分别与直线及轴交于点，以为直径作圆，过点作圆的切线，切点为，试探究：当点在曲线上运动（点与原点不重合）时，线段的长度是否发生变化？证明你的结论.‎ ‎2. （2014广东文20）（14分）已知椭圆的一个焦点为 ‎，离心率为，‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若动点为椭圆外一点，且点到椭圆的两条切线相互垂直，求点的轨迹方程.‎ ‎3.（2014湖北文22）在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多．记点的轨迹为.‎ ‎（Ⅰ）求轨迹的方程；‎ ‎（Ⅱ）设斜率为的直线过定点. 求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时的相应取值范围. ‎ ‎2015年 ‎1.（2015浙江文7）如图所示，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面 ‎ 上的动点满足，则点的轨迹是（ ）.‎ A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线的一支 ‎1. 解析 若，则绕点旋转形成圆锥面，这面被平面截得图像是椭圆.故选C.‎ ‎2016年 ‎1. （2016四川文15）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“伴随点”为，当是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：‎ ‎①若点的“伴随点”是点，则点的“伴随点”是点；②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上；‎ ‎③若两点关于轴对称，则他们的“伴随点”关于轴对称；④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线.‎ 其中的真命题是 .‎ ‎1.②③ 解析 对于①，若令则其伴随点为，而的伴随点为，而不是，故①错误；‎ 对于②，令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上，故②正确；‎ 对于③，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线，其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因为 其伴随曲线分别为与的图像关于轴对称，所以③正确；‎ 对于④，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故④错误.‎ 所以正确的序号为②③.‎ ‎2017年 ‎1.（2017全国2卷文20）设O为坐标原点，动点M在椭圆上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，‎ 点P满足.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）设点在直线上，且.证明：过点且垂直于的直线过的左焦点. ‎ ‎1. 解析 （1）如图所示，设，，.‎ 由知，，即.‎ 又点在椭圆上，则有，即.‎ ‎（2）设，则有 ‎，即.‎ 椭圆的左焦点.又，所以.所以过点且垂直于的直线过的左焦点.‎