数学卷·2019届河北省邢台三中高二上学期9月月考数学试题（解析版）x

数学卷·2019届河北省邢台三中高二上学期9月月考数学试题（解析版）x

邢台市第三中学2017-2018学年度第一学期9月月考试题 高二数学试题 分值：150分 时间：120分钟 I卷（选择题 共60分）‎ 注意事项：请将I卷（选择题）答案涂在答题卡上，第II卷（非选择题）答案用黑色钢笔（作图除外）做在答题卡上，不得出框 一、选择题（共12题，每题5分，每题只有唯一正确选项，共60分）‎ ‎1. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，，即，又圆锥的侧面积公式，，解得，即，则，即圆锥的母线与圆锥的轴所成角的大小为，故选A.‎ ‎2. 设三条不同的直线，满足，则与（ ）‎ A. 是异面直线 B. 是相交直线 C. 是平行直线 D. 可能相交，或平行，或异面直线 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：构造长方体，令为一侧棱，可知选.‎ 考点：空间直线的位置关系.‎ ‎3. 下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）‎ A. ①② B. ②③ C. ②④ D. ①③‎ ‎【答案】C ‎【解析】解：正方体的三个视图都是正方形，三棱台的三个视图都不同．所以①③不正确；‎ 圆锥的正视图、左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，满足题意；‎ 半球的左视图、正视图都是半圆，俯视图是圆，所以满足题意；‎ 故选C ‎4. 将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：被截去的四棱锥的三条可见棱中，‎ 在两条为长方体的两条对角线，‎ 它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，‎ 另一条为体对角线，‎ 它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，‎ 对照各图，只有D符合 考点：简单空间图形的三视图 ‎5. 在长方体中,若经过的平面分别交和于点,则四边形的形状是(　　)‎ A. 矩形 B. 菱形 C. 平行四边形 D. 正方形 ‎【答案】C ‎【解析】长方体中，平面与平面平行，又经过的平面分别交和于点，根据面面平行的性质定理，则，同理可证，四边形为平行四边形，故选C.‎ ‎6. 三棱锥的外接球为球，球的直径是，且都是边长为的等边三角形，则三棱锥的体积是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：取BC中点M ，则有,所以三棱锥的体积是，选B.‎ 考点：三棱锥体积 ‎【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎7. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由几何体的三视图知该几何体的上部是底面边长为高为的正四棱锥,该几何体的下部是边长为的正方体,所以该几何体的表面积：，‎ 故选B. ‎ ‎8. 三棱柱的各个顶点都在球的球面上，且平面．若球的表面积为，则这个三棱柱的体积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ 考点：1.棱柱外接球的性质；2.球的表面积公式及棱柱的体积公式。‎ ‎9. 如图（1）在正方形中，分别是边的中点，沿及把这个正方形折成一个几何体如图(2),使三点重合于, 下面结论成立的是( )‎ ‎ ‎ A. 平面 B. 平面 C. 平面 D. 平面 ‎【答案】A ‎【解析】证明：在折叠过程中，始终有，即 平面，故选A.‎ ‎10. 下列命题中正确的命题有（ ）个 ‎ ‎（1）如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 ‎（2）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 ‎（3）如果平面平面，平面平面， ，那么平面 ‎（4）如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】（1）结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；（2）假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直，故此命题成立；（3）结合面面垂直的性质可以分别在内作异于的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与平行，又两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；（4）举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的，故此命题错误，正确的命题有个，故选C.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面垂直的性质及线面垂直的判定，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.‎ ‎11. 不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有( )‎ A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 空间中不共面的四个定点构成三棱锥，如图：三棱锥,①当平面一侧有一点，另一侧有三点时，即对此三棱锥进行换底，则三棱锥有四种表示形式，此时满足条件的平面个数是四个；②当平面一侧有两点，另一侧有两点时，即构成的直线是三棱锥的相对棱，因三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面个数是三个，所以满足条件的平面共有个，故选D.‎ ‎12. 已知两条不同的直线，两个不同的平面，则下列命题中正确的是( )‎ A. 若则 B. 若，则 C. 若则 D. 若则 ‎【答案】C ‎【解析】由两条不同的直线，两个不同的平面，在中，若，则与相交，平行或异面，故错误；在中，若，则与相交，平行或异面，故错误；在中，若，则由线线垂直、面面垂直的性质定理得，故正确；在中，若，则与相交，平行或异面，故错误，故选C.‎ II卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题（每题5分共20分）‎ ‎13. 球内有一个内接正方体，正方体的全面积为，则球的体积是__________‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：由于正方体的顶点都在球面上，则正方体的对角线即为球的直径．正方体的全面积为24，则设正方体的边长为，即有，解得，设球的半径为，则，解得，，则有球的体积为．‎ 考点：球的体积和表面积公式．‎ ‎14. 如图，设平面,点,直线与交于点,且，当在之间时,______. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线与相交，过于可作一平面，设为，由且点所在的平面，故有两平面平行的性质，，，即，故答案为.‎ ‎15. 在正方体中, 分别是的中点, 则异面直线与所成角的大小是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角以及空间向量的应用，属于难题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎16. 如图，长方体中， 为的中点，三棱锥的体积为，四 棱锥的体积为，则的值为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设AB=a，AD=b，=c．‎ 则．．∴．‎ 考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 三、解答题（写详细的解答过程，共70分）‎ ‎17. 某几何体的三视图如图所示，求这个几何体的体积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据三视图还原几何体为，一个正方体割去一个直三棱柱，其体积为两个几何体的体积之差，利用正方体的体积公式及棱柱的体积公式可得结果.‎ 试题解析：由三视图知，该几何体是一个棱长为的正方体，割去一个底面是直角边长为和的直角三角形，高为的三棱柱的组合体，直观图如图，其体积为.‎ ‎18. 底面边长为的正三棱锥,其表面展开图是三角形，如图，求的各边长及此三棱锥的体积.‎ ‎【答案】,‎ ‎【解析】试题分析：由于展开图是，分别是所在边的中点，根据三角形的性质，是正三角形，其边长为4，原三棱锥的侧棱也是2，要求棱锥的体积需要求出棱锥的高，由于是正棱锥，顶点在底面上的射影是底面的中心，由相应的直角三角形可求得高，得到体积．‎ 试题解析：由题意中，，，所以是的中位线，因此是正三角形，且边长为4．‎ 即，三棱锥是边长为2的正四面体 ‎∴如右图所示作图，设顶点在底面内的投影为，连接，并延长交于 ‎∴为中点，为的重心，底面 ‎∴，，‎ ‎【考点】图象的翻折，几何体的体积．‎ ‎19. 如图，已知四棱锥的底面是平行四边形， 平面， 是的中点， 是的中点．‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）若，求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：取中点，连，，中，且．又，，，可得四边形是平行四边形，进而可得平面；（2）由线面垂直的性质可证明,又知，可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论. ‎ 试题解析：（1）取中点，连，，中，且．‎ 又，，， ‎ 得，，四边形是平行四边形． ‎ 得，平面，平面，‎ ‎ 平面． ‎ ‎（2）因为平面，所以,又因为，是平面内两条相交直线，所以平面，而在平面平面内，所以平面平面．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.‎ ‎20. 如图，四棱锥中，底面为平行四边形，底 面 ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若平面平面，证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由线面垂直的性质以及余弦定理可得，再由线面垂直的判定定理可得平面，从而可证明；（2）因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD，再由线面平行的性质定理可得结论.‎ 试题解析：（1）证明：因为，，‎ 由余弦定理得.‎ 从而，∴，‎ 又由底面，面，可得.‎ 所以平面.故.‎ ‎（2）因为BC∥AD,BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,‎ 所以BC∥平面PAD.‎ 又因为BC⊂平面PBC，平面PBC∩平面PAD=l,‎ 所以BC∥l.‎ ‎21. 如图所示,在正方体中,是上一点,是的中点.‎ ‎（1）求证:平面；‎ ‎（2） 若平面,求证:是的中点.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先由正方形的性质可得，再由线面垂直的性质可得，由线面垂直的判定定理可得结论；（2）以为原点，分别为轴，建立坐标系，设，由（1）知是平面法向量，由解出，即可得结论.‎ 试题解析：（1）是正方形，，又平面平面，，而在平面内相交，平面 因为平面，所以平面 平面.‎ ‎(2)以为原点，分别为轴，建立坐标系，则，‎ 设，由（1）知，是平面法向量，‎ 平面,，可得，是的中点.‎ ‎22. 在如图所示的多面体中， 为直角梯形， ， ，四边形为等腰梯形，，已知， ．　‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求多面体的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）设法证明 即可平面；‎ ‎（Ⅱ）由题意可知，则多面体的体积可求.‎ 试题解析：（Ⅰ）证明：取AD中点M，连接EM，AF=EF=DE=2，AD=4，可知EM=AD，∴AE⊥DE，‎ 又AE⊥EC， ∴AE⊥平面CDE，‎ ‎∵ ，∴AE⊥CD，又CD⊥AD，‎ ‎ ,∴CD⊥平面ADEF． ‎ ‎（Ⅱ）由(1)知 CD⊥平面ADEF， 平面ABCD，‎ ‎∴平面ABCD⊥平面ADEF；‎ 作EO⊥AD，∴EO⊥平面ABCD，EO=， ‎ 连接AC，则 ‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎∴．‎ ‎ ‎