2019届二轮复习（理）第九章第56讲　圆的综合问题学案（江苏专用）

2019届二轮复习（理）第九章第56讲　圆的综合问题学案（江苏专用）

第56讲　圆的综合问题 考试要求　1.圆的方程(C级要求)；2.高考中可能考查隐性圆问题，以及直线与圆的位置关系.‎ 诊 断 自 测 ‎1.若直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m＝ .‎ 解析　圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1，0)，半径r＝，直线x－y＋m＝0与圆相切时，d＝r，即＝，解得m＝－3或m＝.‎ 答案　－3或 ‎2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1，点A(0，2).若圆C上存在点M，满足MA2＋MO2＝10，则实数a的取值范围是 .‎ 解析　设点M(x，y)，由题意得点A(0，2)，O(0，0)及MA2＋MO2＝10，即x2＋(y－2)2＋x2＋y2＝10，整理得x2＋(y－1)2＝4，即点M在圆E：x2＋(y－1)2＝4上.若圆C上存在点M满足MA2＋MO2＝10也就等价于圆E与圆C有公共点，所以 ‎|2－1|≤CE≤2＋1，即|2－1|≤≤2＋1，整理得1≤2a2－6a＋9≤9，解得0≤a≤3，即实数a的取值范围是[0，3].‎ 答案　[0，3]‎ ‎3.(2017·南通期末)在平面直角坐标系xOy中，点A(1，0)，B(4，0).若直线x－y＋m＝0上存在点P使得PA＝PB，则实数m的取值范围是 .‎ 解析　设点P(x，x＋m)，由PA＝PB，得2x2＋2mx＋m2－4＝0，则Δ＝32－4m2≥0，则实数m的取值范围是[－2，2].‎ 答案　[－2，2]‎ ‎4.(2017·南京二模)在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x－a)2＋(y＋a－3)2＝1(a＞0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为 .‎ 解析　根据题意圆M与以N为圆心的圆的位置关系是内切或内含，则dMN≤dON ‎－1，即1≤dON－1，所以dON≥2恒成立.因为N在圆M上运动，所以dON的最小值为dOM－1，即dOM－1≥2，所以≥3，解得a≥3，所以a的最小值为3.‎ 答案　3‎ ‎5.(2018·南通一模)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2，0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为 .‎ 解析　圆x2＋y2＝1半径为1，PO＝2，则直线PT的倾斜角为30°，则直线方程为x－y＋2＝0，PT＝，RS＝，圆(x－a)2＋(y－)2＝3的半径为，则圆(x－a)2＋(y－)2＝3的圆心(a，)到直线PT的距离为，由点到直线距离公式得|a－1|＝3，则正数a＝4.‎ 答案　4‎ 知 识 梳 理 ‎1.定点定值问题 方法一：先特殊后一般，要加以证明.‎ 方法二：直接研究一般性，转化成恒成立问题.‎ ‎2.最值、取值范围问题 ‎(1)利用几何意义求解；(2) 转化成代数关系求解.‎ ‎3.隐性圆问题 ‎(1)定义；(2)垂直关系；(3)形如 MA2＋MO2＝常数；‎ ‎(4) 阿波罗尼斯圆；(5)形如·＝常数.‎ 考点一　取值范围、最值问题 ‎【例1】 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点.‎ ‎(1)若AM⊥l，过A作圆M的两条切线，切点分别为P，Q，求∠PAQ的大小；‎ ‎(2)若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，求点A横坐标的取值范围.‎ 解　(1)圆M的圆心M(1，1)，半径r＝2，直线l的斜率为－1，而AM⊥l，‎ ‎∴kAM＝1.‎ ‎∴直线AM的方程为y＝x.‎ 由解得即A(3，3).‎ 如图，连接MP，‎ ‎∵∠PAM＝∠PAQ，‎ sin ∠PAM＝ ‎＝＝，‎ ‎∴∠PAM＝45°，∴ ∠PAQ＝90°.‎ ‎(2)过A(a，b)作AD，AE分别与圆M相切于D，E两点，‎ ‎∵∠DAE≥∠BAC，‎ ‎∴要使圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，只要作∠DAE≥60°.‎ ‎∵AM平分∠DAE，∴ 只要30°≤∠DAM<90°.‎ 类似于第(1)问，只要≤sin ∠DAM<1，‎ 即≥且<1.‎ 又a＋b－6＝0，解得1≤a≤5，‎ 即点A横坐标的取值范围是[1，5].‎ ‎【训练1】 已知圆O：x2＋y2＝4和点M(1，a).‎ ‎(1)若过点M有且只有一条直线与圆O相切，求实数a的值，并求出切线方程；‎ ‎(2)若a＝，过点M作圆O的两条弦AC，BD互相垂直，求AC＋BD的最大值.‎ 解　(1)由条件知点M在圆O上，‎ 所以1＋a2＝4，则a＝±.‎ 当a＝时，点M为(1，)，‎ kOM＝，k切＝－，‎ 此时切线方程为y－＝－(x－1).‎ 即x＋y－4＝0，‎ 当a＝－时，点M为(1，－)，kOM＝－，k切＝.‎ 此时切线方程为y＋＝(x－1).‎ 即x－y－4＝0.‎ 所以所求的切线方程为x＋y－4＝0或x－y－4＝0.‎ ‎(2)设O到直线AC，BD的距离分别为d1，d2(d1，d2≥0)，‎ 则d＋d＝OM2＝3.‎ 又有AC＝2，BD＝2，‎ 所以AC＋BD＝2＋2.‎ 则(AC＋BD)2＝4×(4－d＋4－d＋2·)‎ ‎＝4×[5＋2]‎ ‎＝4×(5＋2).‎ 因为2d1d2≤d＋d＝3，所以dd≤，‎ 当且仅当d1＝d2＝时取等号，所以≤，‎ 所以(AC＋BD)2≤4×＝40.‎ 所以AC＋BD≤2，‎ 即AC＋BD的最大值为2.考点二　定点定值问题 ‎【例2】 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.‎ ‎(1)若直线l过点A(4，0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；‎ ‎(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.‎ 解　(1)由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，‎ 由垂径定理得圆心C1到直线l的距离d＝＝1，‎ 结合点到直线的距离公式得＝1⇒k＝0或k＝－，所求直线l的方程为y＝0或y＝－(x－4)，即y＝0或7x＋24y－28＝0.‎ ‎(2) 设点P(m，n)，直线l1，l2的方程分别为y－n＝k(x－m)，y－n＝－(x－m)，‎ 即kx－y＋n－km＝0，－x－y＋n＋＝0.‎ 由题意可知圆心C1到直线l1的距离等于圆心C2到直线l2的距离，即＝，化简得(2－m－n)k＝m－n－3或(m－n＋8)k＝m＋n－5.‎ 因为关于k的方程有无穷多解，则有或解得或 故P或P.‎ ‎【训练2】 已知以点C(t∈R，t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O，A，与y轴交于点O，B，其中O为坐标原点.‎ ‎(1)求证：△AOB的面积为定值；‎ ‎(2)设直线2x＋y－4＝0与圆C交于点M，N.若OM＝ON，求圆C的方程.‎ ‎(1)证明　由题设知圆C的方程为(x－t)2＋＝t2＋，化简得x2－2tx＋y2－y＝0，当y＝0时，x＝0或2t，则点A(2t，0).当x＝0时，y＝0或，则点B.‎ 所以S△AOB＝OA·OB＝|2t|·||＝4为定值.‎ ‎(2)解　因为OM＝ON，所以原点O在MN的中垂线上.设MN的中点为H，则CH⊥MN，所以C，H，O三点共线，则直线OC的斜率k＝＝＝，所以t＝2或t＝－2，则圆心C(2，1)或C(－2，－1)，所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5或(x＋2)2＋(y＋1)2＝5.由于当圆C的方程为(x＋2)2＋(y＋1)2＝5时，直线2x＋y－4＝0到圆心的距离d>r，此时不满足直线与圆相交，故舍去.所以圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.‎ 考点三　隐性圆问题 ‎【例3】 已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足PA＝2PB.‎ ‎(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；‎ ‎(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求QM的最小值，并求此时直线l2的方程.‎ 解　(1)设点P的坐标为(x，y)，‎ 则 ‎＝2，‎ 化简可得(x－5)2＋y2＝16即为所求.‎ ‎(2)曲线C是以点(5，0)为圆心、4为半径的圆，如图，则直线l2是此圆的切线，‎ 连接CQ，CM，则QM＝＝，‎ 当CQ⊥l1时，CQ取最小值，CQ＝＝4，‎ 此时QM的最小值为＝4，这样的直线l2有两条，设满足条件的两个公共点为M1，M2，‎ 易证四边形M1CM2Q是正方形，所以l2的方程是x＝1或y＝－4.‎ ‎【训练3】 (2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：‎ x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2，4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t，0)满足：圆M上存在两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围.‎ 解　(1)M：(x－6)2＋(y－7)2＝25，圆心M(6，7)，‎ 因为圆N的圆心N在直线x＝6上，设N(6，y0)，又圆N与x轴相切，与圆M外切，‎ 所以2y0＝7－5，y0＝1，所以圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)因为直线l∥OA，所以直线l的斜率为＝2.‎ 设直线l的方程为y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0，‎ 则圆心M到直线l的距离d＝＝.‎ 因为BC＝OA＝＝2，而MC2＝d2＋，‎ 所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.‎ 故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.‎ ‎(3) 因为＋＝，根据向量的平行四边形法则可得四边形TAQP是平行四边形(如图所示)，所以＝.因为点P，Q在圆上，所以PQ≤10，则TA＝≤10，解得2－2≤t≤2＋2.‎ 因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2].‎ 一、必做题 ‎1.若圆的方程为x2＋y2＋kx－4y＋k2＝0，则当圆的面积最大时圆心坐标为 .‎ 解析　将圆的方程x2＋y2＋kx－4y＋k2＝0化为标准方程为＋(y－2)2＝4－.∵ r2＝4－≤4，∴ k＝0时，r最大，此时圆心坐标为(0，2).‎ 答案　(0，2)‎ ‎2.过点M(1，2)的直线l与圆C：(x－2)2＋y2＝9交于A，B两点，C为圆心.当∠ACB最小时，直线l的方程为 .‎ 解析　若∠ACB最小，则CM⊥l，易知C(2，0)，∴ kCM＝＝－2，∴ 直线l的斜率为k＝，∴ 直线l的方程为y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0.‎ 答案　x－2y＋3＝0‎ ‎3.已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值为 .‎ 解析　lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到lAB的距离d＝＝，∴ AB边上的高的最小值为－1.又AB＝2，‎ ‎∴ S△ABCmin＝×2×＝3－.‎ 答案　3－ ‎4.已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a的值为 .‎ 解析　易知△ABC是边长为2的等边三角形.故圆心C(1，a)到直线AB的距离为.即＝，解得a＝4±.‎ 答案　4± ‎5.若直线y＝－x＋m与圆x2＋y2＝1在第一象限内有两个不同的交点，则m的取值范围是 .‎ 解析　当直线经过点(0，1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时m＝1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离d＝＝1，解得m＝(切点在第一象限)，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则1

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