高考文科数学专题复习练习1空间几何体的结构及其三视图和直观图

高考文科数学专题复习练习1空间几何体的结构及其三视图和直观图

第八章立体几何 ‎8.1空间几何体的结构及其三视图和直观图 ‎107‎ 三视图与直观图 ‎7.(2015广西南宁一模,文7,三视图与直观图,选择题)已知底面为正方形的四棱锥,其一条侧棱垂直于底面,那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的(　　)‎ 解析:由题意,该四棱锥的直观图如下图所示:‎ 则其三视图如图:‎ 答案:C ‎8.(2015贵州贵阳一模,文8,三视图与直观图,选择题)如图,三棱锥V-ABC,VA⊥VC,AB⊥BC,∠VAC=∠ACB=30°,若侧面VAC⊥底面ABC,则其正视图与侧视图面积之比为(　　)‎ A.4∶‎3‎ B.4∶‎7‎ C.‎3‎‎∶‎‎7‎ D.‎‎7‎‎∶‎‎3‎ 解析:正视图为Rt△VAC,侧视图为以△VAC中AC的高VD为一条直角边,△ABC中AC的高BE为另一条直角边的直角三角形.‎ 设AC=x,则VA=‎3‎‎2‎x,VC=‎1‎‎2‎x,VD=‎3‎‎4‎x,BE=‎3‎‎4‎x,‎ 则S主视图∶S左视图=‎1‎‎2‎‎·‎3‎‎2‎x·‎1‎‎2‎x‎∶‎‎1‎‎2‎‎·‎3‎‎4‎x·‎3‎‎4‎x=4∶‎3‎.‎ 答案:A ‎8.(2015山西太原山大附中高三月考,文8,三视图与直观图,选择题)已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图的是(　　)‎ 解析:三棱锥的三视图均为三角形,四个答案均满足,‎ 且四个三视图均表示一个高为3,底面为两直角边分别为1,2的棱锥.A与C中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,而其正视图和侧视图中三角形斜边倾斜方向相反,满足实际情况,故A,C表示同一棱锥.设A中观察的正方向为标准正方向,以C表示从后面观察该棱锥,B与D中俯视图正好旋转180°,故应是从相反方向进行观察,但侧视图中三角形斜边倾斜方向相同,不满足实际情况,故B,D中有一个不与其他三个一样表示同一个棱锥,根据B中正视图与A中侧视图相同,侧视图与C中正视图相同,可判断B是从左边观察该棱锥.故选D.‎ 答案:D ‎7.(2015甘肃兰州二诊,文7,三视图与直观图,选择题)某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是(　　)‎ A.29 B.‎29‎ C.13 D.‎‎13‎ 解析:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为直角梯形,侧棱PA⊥底面ABCD的四棱锥,如图所示:‎ 连接AC,则AC=AD‎2‎+DC‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5,‎ 故最长的侧棱长为PC=PA‎2‎+AC‎2‎‎=‎2‎‎2‎‎+‎‎5‎‎2‎=‎‎29‎.‎ 答案:B ‎6.(2015甘肃兰州一模,文6,三视图与直观图,选择题)某几何体的三视图如图所示,且该几何体的体积是3,则正视图中的x的值是(　　)‎ A.2 B.‎9‎‎2‎ C.‎3‎‎2‎ D.3‎ 解析:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图如图所示,‎ V=‎1‎‎3‎‎×‎‎1+2‎‎2‎×2×x=3⇒x=3.故选D.‎ 答案:D ‎10.(2015甘肃庆阳一诊,文10,三视图与直观图,选择题)某四面体的三视图如图所示.该四面体的六条棱的长度中,最大的是(　　)‎ A.2‎5‎ B.2‎6‎ C.2‎7‎ D.4‎‎2‎ 解析:由三视图可知原几何体为三棱锥,‎ 其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形,∠BCA为钝角,‎ 其中BC=2,BC边上的高为2‎3‎,PC⊥底面ABC,且PC=2,‎ 由以上条件可知,∠PCA为直角,最长的棱为PA或AB,‎ 在直角三角形PAC中,由勾股定理得,‎ PA=PC‎2‎+AC‎2‎‎=‎‎2‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎=2‎5‎,‎ 又在钝角三角形ABC中,AB=‎‎(2BC‎)‎‎2‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎ ‎=‎16+12‎=2‎7‎.故选C.‎ 答案:C ‎6.(2015黑龙江绥化一模,文6,三视图与直观图,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图中圆的直径为4,该几何体的体积为(　　)‎ A.‎8π‎3‎ B.‎16π‎3‎ C.4π D.8π 解析:由三视图知:几何体为圆柱挖去一个圆锥,且圆锥与圆柱的底面直径都为4,高为2,‎ 故几何体的体积V1=π×22×2-‎1‎‎3‎×π×22×2=‎16π‎3‎.‎ 答案:B ‎4.(2015甘肃河西五地一模,文4,三视图与直观图,选择题)若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如下图所示,则这个棱柱的体积为(　　)‎ A.12‎3‎ B.36‎3‎ C.27‎3‎ D.6‎ 解析:此几何体为一个三棱柱,棱柱的高是4,底面正三角形的高是3‎3‎,‎ 设底面边长为a,则‎3‎‎2‎a=3‎3‎,a=6,‎ 故三棱柱体积V=‎1‎‎2‎×62×‎3‎‎2‎×4=36‎3‎.故选B.‎ 答案:B ‎5.(2015甘肃张掖二模,文5,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图如图所示,其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积是(　　)‎ A.12π B.4‎3‎π C.3π D.12‎3‎π 解析:由三视图知该几何体为四棱锥,记作S-ABCD,其中SA⊥平面ABCD.‎ 底面ABCD为正方形,将此四棱锥还原为正方体,易知正方体的体对角线即为外接球直径,所以2r=‎3‎,r=‎3‎‎2‎.‎ 故S球=4πr2=4π×‎3‎‎4‎=3π.‎ 答案:C ‎5.(2015甘肃张掖一模,文5,三视图与直观图,选择题)一个几何体的三视图是一个正方形,一个矩形,一个半圆,尺寸大小如图所示,则该几何体的表面积是(　　)‎ A.π B.3π+4 C.π+4 D.2π+4‎ 解析:由三视图可知,原几何体为圆柱的一半(沿中轴线切开),由题意可知,圆柱的高为2,底面圆的半径为1,‎ 故其表面积为S=2×‎1‎‎2‎π×12+2×2+‎1‎‎2‎×2π×1×2=3π+4.故选B.‎ 答案:B ‎8.2空间几何体的表面积与体积 ‎108‎ 空间几何体的表面积 ‎1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文12,空间几何体的表面积,选择题)体积为‎2‎‎6‎的三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,已知△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,则球O的表面积为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.π B.2π C.4π D.6π 解析:根据题意作出图形:‎ 设球心为O,球的半径为r.‎ 过A,B,C三点的小圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,‎ 延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC.‎ ‎∵CO1=‎2‎‎3‎‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎,∴OO1=r‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎.‎ ‎∴SD=2OO1=2r‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎,‎ ‎∵△ABC是边长为1的正三角形,‎ ‎∴S△ABC=‎3‎‎4‎.‎ ‎∴V三棱锥S-ABC=‎1‎‎3‎‎×‎‎3‎‎4‎×2r‎2‎‎-‎‎1‎‎3‎‎=‎‎2‎‎6‎,‎ ‎∴r=1.故球O的表面积为S=4πr2=4π.故选C.‎ 答案:C ‎3.(2015广西柳州一中一模,文5,空间几何体的表面积,选择题)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为(　　)‎ A.6+4‎2‎+2‎3‎ B.8+4‎‎2‎ C.6+6‎2‎ D.6+2‎2‎+4‎‎3‎ 解析:直观图为如图所示的四棱锥P-ABCD.‎ S△PAB=S△PAD=S△PDC=‎1‎‎2‎×2×2=2,‎ S△PBC=‎1‎‎2‎×2‎2‎×2‎2‎×sin 60°=2‎3‎,‎ S四边形ABCD=2‎2‎×2=4‎2‎,‎ 故此棱锥的表面积为6+4‎2‎+2‎3‎.故选A.‎ 答案:A ‎4.(2015黑龙江大庆二模,文3,空间几何体的表面积,选择题)如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的表面积为(　　)‎ A.32+4π B.24+4π C.12+‎4π‎3‎ D.24+‎‎4π‎3‎ 解析:该几何体为长方体与球的组合体.‎ 其中长方体的长、宽、高分别为2,2,3,球的半径为1;‎ 故其表面积为2×2×2+2×3×4+4×π×12=32+4π.故选A.‎ 答案:A ‎10.(2015江西九江一模,文10,空间几何体的表面积,选择题)如图,网格纸上小正方形边长为1,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的表面积为(　　)‎ A.8‎3‎ B.4‎3‎ C.8‎6‎ D.4‎‎6‎ 解析:由已知中的三视图,可得棱锥的直观图如图所示的棱锥A-BCD,‎ 由已知三视图中的网格纸上小正方形边长为1,‎ 可得正方体的棱长为2,则棱锥的棱长均为2‎2‎,‎ 故棱锥的表面积S=4×‎3‎‎4‎×(2‎2‎)2=8‎3‎.‎ 答案:A ‎9.(2015江西鹰潭一模,文9,空间几何体的表面积,选择题)已知曲线y=‎4-‎x‎2‎与x轴的交点为A,B,分别由A,B两点向直线y=x作垂线,垂足为C,D,沿直线y=x将平面ACD折起,使平面ACD⊥平面BCD,则四面体ABCD的外接球的表面积为(　　)‎ A.16π B.12π C.8π D.6π 解析:由题意曲线y=‎4-‎x‎2‎与x轴的交点为A,B可知,OA=OB=2,‎ 由A,B两点向直线y=x作垂线,垂足为C,D,‎ 所以AC=BD=‎2‎,‎ 沿直线y=x将平面ACD折起,使平面ACD⊥平面BCD,可得三棱锥,三棱锥扩展为长方体,长方体的对角线AB的一半就是外接球的半径,所以AB2=AC2+BC2=AC2+CD2+BD2=2+8+2=12,R=‎3‎,‎ 故四面体A-BCD的外接球的表面积为4π×(‎3‎)2=12π.‎ 答案:B ‎7.(2015江西吉安一模,文7,空间几何体的表面积,选择题)三棱锥S-ABC的三视图如图,若点S,A,B,C都在球O的球面上,则球O的表面积是(　　)‎ A.4π B.8π C.12π D.15π 解析:根据几何体的三视图,得该几何体是由棱长为2的正方体的四个顶点组成的三棱锥,如图三棱锥S-ABC所示:‎ 所以三棱锥的外接球的直径为2R=‎2‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+‎‎2‎‎2‎=2‎3‎;‎ 所以它的外接球的表面积为S=4πR2=π×(2‎3‎)2=12π.‎ 答案:C ‎19.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文19,空间几何体的表面积,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,PD⊥平面ABCD,PD=AD=1,点E,F分别为AB和PD中点.‎ ‎(1)求证:直线AF∥平面PEC;‎ ‎(2)求三棱锥P-BEF的表面积.‎ ‎(1)证明:如图,‎ 分别取PC,DC的中点G,H,连接FG,GH,EH,‎ 则FG∥DH,FG=DH,DH∥AE,DH=AE,‎ ‎∴FG∥AE,FG=AE,则四边形AEGF为平行四边形,则AF∥EG,EG⊂平面PEC,AF⊄平面PEC,‎ ‎∴直线AF∥平面PEC.‎ ‎(2)解:三棱锥P-BEF的表面积等于S△BEF+S△PBE+S△PFE+S△PBF.连接BD,DE.‎ ‎∵底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,‎ ‎∴△ABD为正三角形.‎ 又AD=1,∴BD=1,DE=‎3‎‎2‎.‎ 又PD⊥平面ABCD,DE⊥AB,‎ ‎∴PE⊥AB,EF⊥AB,‎ ‎∵PD=1,DE=‎3‎‎2‎,DF=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴EF=‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎2‎=1,‎ PE=‎1‎‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎‎2‎‎=‎‎7‎‎2‎.‎ ‎∴S△BEF=‎1‎‎2‎‎×‎‎1‎‎2‎×1=‎1‎‎4‎,S△BEP=‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎×‎7‎‎2‎=‎‎7‎‎8‎,‎ S△PFE=‎1‎‎2‎‎×‎1‎‎2‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎8‎,S△PFB=‎1‎‎2‎‎×‎‎1‎‎2‎×1=‎1‎‎4‎.‎ ‎∴三棱锥P-BEF的表面积等于‎1‎‎2‎‎+‎‎7‎‎+‎‎3‎‎8‎.‎ ‎12.(2015江西上饶二模,文12,空间几何体的表面积,选择题)空间几何体的外接球,理解为能将几何体包围,几何体的顶点和弧面在此球上,且球的半径要最小.若如图是一个几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为(　　)‎ A.‎113π‎16‎ B.‎113π‎48‎ C.‎113π‎64‎ D.‎‎377π‎64‎ 解析:该几何体是一个圆柱和一个正方体的组合体,作出其外接球的轴截面如下图所示:‎ 则R2=x2+1=(2-x)2+‎2‎‎2‎‎2‎,‎ 解得x=‎7‎‎8‎,R2=x2+1=‎113‎‎64‎,‎ 故该几何体的外接球的表面积S=4πR2=‎113‎‎16‎π.‎ 答案:A ‎15.(2015贵州贵阳二模,文15,空间几何体的表面积,填空题)球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切,则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为　　　　　. ‎ 解析:球O与一圆柱的侧面和上下底面都相切,‎ 设球的半径为r,则球的表面积为4πr2,‎ 圆柱的表面积为:2πr2+2πr×2r=6πr2.‎ 则球O的表面积与该圆柱的表面积的比值为:‎ ‎4πr‎2‎‎6πr‎2‎‎=‎‎2‎‎3‎‎.‎ 答案:‎‎2‎‎3‎ ‎15.(2015贵州贵阳一模,文15,空间几何体的表面积,填空题)已知正四棱锥的侧棱与底面的边长都为3‎2‎,则这个四棱锥的外接球的表面积为　　　　　. ‎ 解析:如图,设正四棱锥底面的中心为O,则 在直角三角形ABC中,AC=‎2‎×AB=6,∴AO=CO=3.‎ 在直角三角形PAO中,PO=PA‎2‎-AO‎2‎‎=‎‎(3‎2‎‎)‎‎2‎-‎‎3‎‎2‎=3,‎ ‎∴正四棱锥的各个顶点到它的底面的中心的距离都为3,‎ ‎∴正四棱锥外接球的球心在它的底面的中心,且球半径r=3,球的表面积S=4πr2=36π.‎ 答案:36π ‎16.(2015江西南昌零模,文,空间几何体的表面积,填空题)设某几何体的三视图如图所示(尺寸的长度单位:m),若该几何体的各个顶点都在同一球面上,则此球面的表面积等于　　　　　 m2.(答案用含有π的式子表示) ‎ 解析:由已知中的三视图,可得该几何体是一个三棱柱,‎ 底面的半径r满足2r=4,则r=2,棱柱的高为8,‎ 则球心到底面的距离d=4,则球的半径R=r‎2‎‎+‎d‎2‎=2‎5‎,故此球的表面积S=4πR2=80π.‎ 答案:80π ‎7.(2015江西重点中学协作体二模,文7,空间几何体的表面积,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为(　　)‎ A.π B.2π C.3π D.4π 解析:由已知的三视图可得,该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其外接球相当于一个长,宽,高分别为‎2‎,1,1的长方体的外接球,故外接球的半径R=‎2+1+1‎‎2‎=1,所以几何体的外接球的表面积为4π·12=4π.‎ 答案:D ‎5.(2015江西红色六校二模,文5,空间几何体的表面积,选择题)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为(　　)‎ A.10π+96 B.9π+96 C.8π+96 D.9π+80‎ 解析:由三视图知几何体为一个正方体与一个圆柱的组合体,其中圆柱的底面直径为2,高为4,S侧面积=2π×4=8π,S圆柱上表面积=S圆柱下表面积=π,正方体的棱长为4,S正方体=6×42=96,故几何体的表面积S=9π+96-π=8π+96.‎ 答案:C ‎12.(2015江西赣州兴国一模,文12,空间几何体的表面积,选择题)一几何体三视图如图,则其表面积为(　　)‎ A.12+‎1‎‎2‎+2‎2‎ B.10+2‎‎2‎‎+‎‎6‎ C.10+2‎2‎+2‎3‎ D.10+2‎‎2‎‎+‎‎5‎ 解析:直观图如图所示,正视图是梯形,面积为‎1‎‎2‎×(1+2)×2=3,‎ 俯视图是正方形,面积为4,‎ 侧视图是等腰直角三角形,面积为‎1‎‎2‎×2×2=2,‎ 另两个表面为直角边分别为2,2‎2‎的直角三角形,面积为2‎2‎,‎ 三边长为‎5‎‎,‎‎5‎,2‎3‎的等腰三角形,面积为‎6‎,‎ 最左边表面为直角三角形,面积为1,‎ 故表面积为10+2‎2‎‎+‎‎6‎.‎ 答案:B ‎7.(2015山西太原山大附中高三月考,文7,空间几何体的表面积,选择题)球面上有三点A,B,C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点,其中AB=18,BC=24,AC=30,球心到这个截面的距离为球半径的一半,则球的表面积为(　　)‎ A.1 200π B.1 400π C.1 600π D.1 800π 解析:∵AB2+BC2=182+242=302=AC2,‎ ‎∴△ABC为直角三角形,且其外接圆的半径为AC‎2‎=15,‎ 即截面圆的半径r=15,又球心到截面的距离为d=‎1‎‎2‎R,‎ ‎∴R2-‎1‎‎2‎R‎2‎=152,∴R=10‎3‎,‎ ‎∴球的表面积S=4πR2=4π×(10‎3‎)2=1 200π.‎ 答案:A ‎14.(2015山西太原山大附中高三月考,文14,空间几何体的表面积,填空题)在三棱锥P-ABC中,侧棱PA,PB,PC两两垂直,PA=1,PB=2,PC=3,则三棱锥的外接球的表面积为　　　　　. ‎ 解析:三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两互相垂直,它的外接球就是它扩展为长方体的外接球,求出长方体的对角线的长为‎1‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎‎=‎‎14‎,‎ ‎∴球的直径是‎14‎,球的半径为‎14‎‎2‎,‎ ‎∴球的表面积为4π×‎14‎‎2‎‎2‎=14π.‎ 答案:14π ‎9.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文9,空间几何体的表面积,选择题)在三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,PA=PB=PC=2,PA⊥PB,三棱锥P-ABC的外接球的表面积为(　　)‎ A.48π B.12π C.4‎3‎π D.32‎3‎π 解析:∵三棱锥P-ABC中,△ABC为等边三角形,PA=PB=PC=2,‎ ‎∴△PAB≌△PAC≌△PBC.‎ ‎∵PA⊥PB,∴PA⊥PC,PB⊥PC.‎ 以PA,PB,PC为过同一顶点的三条棱,作长方体如图.‎ 则长方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC外接球.‎ ‎∵长方体的对角线长为‎4+4+4‎=2‎3‎,‎ ‎∴球直径为2‎3‎,半径R=‎3‎,‎ 故三棱锥P-ABC外接球的表面积是4πR2=4π×(‎3‎)2=12π.‎ 答案:B ‎10.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文10,空间几何体的表面积,选择题)已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球O的球面上,AB=6,BC=2‎3‎,棱锥O-ABCD的体积为8‎3‎,则球O的表面积为(　　)‎ A.16π B.32π C.48π D.64π 解析:由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为矩形ABCD的对角线长度的一半,‎ ‎∵AB=6,BC=2‎3‎,‎ ‎∴r=‎6‎‎2‎‎+(2‎‎3‎‎)‎‎2‎‎2‎=2‎3‎,‎ 由矩形ABCD的面积S=AB·BC=12‎3‎,‎ 则O到平面ABCD的距离为h满足:‎1‎‎3‎×12‎3‎h=8‎3‎,解得h=2,‎ 故球的半径R=r‎2‎‎+‎h‎2‎=4,故球的表面积为4πR2=64π.‎ 答案:D ‎109‎ 空间几何体的体积 ‎1.(2015吉林实验中学二模,文3,空间几何体的体积,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.6 B.2‎3‎ C.3 D.3‎‎3‎ 解析:根据该几何体的三视图知,该几何体是一个平放的三棱柱;‎ 它的底面三角形的面积为S底面=‎1‎‎2‎×2×‎3‎‎=‎‎3‎,‎ 棱柱高为h=3;‎ 故棱柱的体积为V棱柱=S底面h=‎3‎×3=3‎3‎.‎ 答案:D ‎2.(2015江西上饶重点中学一模,文9,空间几何体的体积,选择题)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视图是一个正方形,则这个几何体的体积是(　　)‎ A.64 B.32 C.16 D.8‎ 解析:由已知中的三视图,可得该几何体的直观图如下图所示:‎ 将这样的两个几何体组合在一起,能构成一个棱长为4的正方体,‎ 故几何体的体积V=‎1‎‎2‎×4×4×4=32.‎ 答案:B ‎3.(2015山西太原一模,文8,空间几何体的体积,选择题)已知某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是(　　)‎ A.‎3‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎‎3‎ D.‎‎5‎‎3‎‎3‎ 解析:由三视图可知:该几何体是底面边长为2的正方形,高为‎3‎的四棱锥,‎ 因此该几何体的体积V=‎1‎‎3‎×22×‎3‎‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎.‎ 答案:C ‎4.(2015山西太原一模,文16,空间几何体的体积,填空题)已知在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥D-ABC,当三棱锥D-ABC的体积取最大值时,其外接球的体积为　　　　　. ‎ 解析:已知直角梯形ABCD,AB⊥AD,CD⊥AD,AB=2AD=2CD=2,沿AC折叠成三棱锥,如图:‎ AB=2,AD=1,CD=1,‎ ‎∴AC=‎2‎,BC=‎2‎,‎ ‎∴BC⊥AC,取AC的中点E,AB的中点O,‎ 连接DE,OE,∵当三棱锥体积最大时,平面DCA⊥平面ACB,‎ ‎∴OB=OA=OC=OD=1,‎ ‎∴外接球的半径为1,‎ 此时三棱锥外接球的体积为‎4π‎3‎×13=‎4π‎3‎.‎ 答案:‎‎4π‎3‎ ‎5.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文9,空间几何体的体积,选择题)一个几何体的三视图如图所示,已知正视图是底边长为1的平行四边形,侧视图是一个长为‎3‎,宽为1的矩形,俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形,则该几何体的体积V是(　　)‎ A.1 B.‎3‎‎2‎ C.‎3‎ D.2‎ 解析:由三视图知,几何体为直四棱柱,且底面平行四边形的高为‎3‎,其面积为1×‎3‎‎=‎‎3‎,‎ 棱柱的高为1,故几何体的体积V=‎3‎×1=‎3‎.‎ 答案:C ‎6.(2015广西桂林、防城港联合调研,文6,空间几何体的体积,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(　　)‎ A.4 B.6 C.8 D.12‎ 解析:由已知中的三视图,可得该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥,‎ 棱锥的底面积S=‎1‎‎2‎×(2+4)×2=6,‎ 棱锥的高h=2,故棱锥的体积V=‎1‎‎3‎×6×2=4.‎ 答案:A ‎8.(2015广西柳州一模,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,四边形ABCD与A'ABB'都是边长为a的正方形,点E是A'A的中点,AA'⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:A'C∥平面BDE;‎ ‎(2)求体积VA'-ABCD与VE-ABD的比值.‎ ‎(1)证明:设BD交AC于M,连接ME.‎ ‎∵ABCD为正方形,∴M为AC中点.‎ 又E为A'A的中点,‎ ‎∴ME为△A'AC的中位线,‎ ‎∴ME∥A'C.‎ 又ME⊂平面BDE,A'C⊄平面BDE,‎ ‎∴A'C∥平面BDE.‎ ‎(2)解:∵VE-ABD=‎1‎‎3‎×AE×S△ABD=‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎AA'×‎1‎‎2‎S四边形ABCD=‎1‎‎4‎‎×‎‎1‎‎3‎AA'×S四边形ABCD=‎1‎‎4‎VA'-ABCD.‎ ‎∴VA'-ABCD∶VE-ABD=4∶1.‎ ‎9.(2015江西赣州一模,文8,空间几何体的体积,选择题)一个体积为‎25‎‎3‎的四棱锥的正视图和俯视图如图所示,则该棱锥的侧视图的面积为(　　)‎ A.‎25‎‎2‎ B.‎25‎‎3‎ C.‎25‎‎4‎ D.‎‎25‎‎6‎ 解析:由已知中四棱锥的正视图和俯视图,可得棱锥的底面由两个直角边长为1的等腰直角三角形组成,故底面面积S=2×‎1‎‎2‎×1×1=1,又由棱锥的体积为‎25‎‎3‎‎=‎‎1‎‎3‎Sh,故h=25,则棱锥的侧视图是一个底面边长为1,高为25的三角形,其面积为‎1‎‎2‎×1×25=‎25‎‎2‎.‎ 答案:A ‎10.(2015江西赣州一模,文15,空间几何体的体积,填空题)A,B,C三点在同一球面上,∠BAC=135°,BC=2,且球心O到平面ABC的距离为1,则此球O的体积为　　　　　. ‎ 解析:由于∠BAC=135°,BC=2,‎ 则△ABC的外接圆的直径2r=‎2‎sin135°‎=2‎2‎,即有r=‎2‎.由于球心O到平面ABC的距离为1,则由勾股定理可得,球的半径R=r‎2‎‎+‎d‎2‎‎=‎2+1‎=‎‎3‎,故此球O的体积为V=‎4‎‎3‎πR3=‎4‎‎3‎π×(‎3‎)3=4‎3‎π.‎ 答案:4‎3‎π ‎11.(2015甘肃张掖4月模拟,文7,空间几何体的体积,选择题)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是(　　)‎ A.4 B.‎8‎‎3‎ C.2 D.‎‎4‎‎3‎ 解析:根据几何体的三视图,得该几何体是一底面为三角形,高为2的三棱锥,且底面三角形的底边长为4,底边上的高为3,如图所示,‎ 故该三棱锥的体积是V=‎1‎‎3‎S△ABC·h=‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×4×3×2=4.‎ 答案:A ‎10.(2015贵州黔东南州一模,文10,空间几何体的体积,选择题)已知一块大理石表示的几何体的三视图如图所示,将该大理石切削、打磨加工成球体,则能得到的最大球的体积为(　　)‎ A.‎4π‎3‎ B.‎32π‎3‎ C.36π D.‎‎256π‎3‎ 解析:由题意,该几何体为三棱柱,所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r,则8-r+6-r=‎8‎‎2‎‎+‎‎6‎‎2‎,∴r=2,‎ ‎∴最大球的体积为‎4‎‎3‎π×23=‎32π‎3‎.‎ 答案:B ‎6.(2015山西太原二模,文6,空间几何体的体积,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则该几何体的体积为(　　)‎ A.4π B.2π C.‎4π‎3‎ D.‎‎2π‎3‎ 解析:由三视图可知,该几何体是由圆柱切割得到,其底面为半径为2,圆心角为π‎3‎的扇形,高为3;‎ 故其体积V=‎1‎‎2‎‎×‎π‎3‎×22×3=2π.‎ 答案:B ‎15.(2015江西九江一模,文15,空间几何体的体积,填空题)已知矩形ABCD的顶点都在半径为2的球O的球面上,且AB=3,BC=‎3‎,DE⊥平面ABCD,交球O于E,则棱锥E-ABCD的体积为　　　　　. ‎ 解析:如图所示,BE过球心,‎ ‎∴DE=‎4‎‎2‎‎-‎3‎‎2‎-(‎‎3‎‎)‎‎2‎=2,‎ ‎∴VE-ABCD=‎1‎‎3‎×3×‎3‎×2=2‎3‎.‎ 答案:2‎‎3‎ ‎7.(2015江西鹰潭一模,文7,空间几何体的体积,选择题)多面体的三视图如图所示,则该多面体的体积为(　　)‎ A.‎16‎‎2‎‎3‎ cm3 B.‎32‎‎3‎ cm3 C.16‎2‎ cm3 D.32 cm3‎ 解析:由已知中的三视图,画出几何体的直观图如下:‎ 该几何体是一个以△ABC为底面,以DA为高的三棱锥,底面△ABC的底边长和高均为4 cm,故底面面积S=‎1‎‎2‎×4×4=8(cm2),棱锥的高DA=4 cm,‎ 故棱锥的体积V=‎1‎‎3‎Sh=‎32‎‎3‎(cm3).‎ 答案:B ‎8.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文8,空间几何体的体积,选择题)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的体积为(　　)‎ A.‎32‎‎3‎ B.64 C.‎32‎‎3‎‎3‎ D.‎‎64‎‎3‎ 解析:由三视图可知,该多面体是一个四棱锥,且由一个顶点出发的三条棱两两垂直,长度都为4,故其体积V=‎1‎‎3‎×4×4×4=‎64‎‎3‎.‎ 答案:D ‎16.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文16,空间几何体的体积,填空题)底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为‎4‎‎2‎‎3‎,则该半球的体积为　　　　　. ‎ 解析:连接AC,BD交点为O,设球的半径为r,‎ 由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r.‎ 则AB=‎2‎r,四棱锥的体积为‎1‎‎3‎‎(‎‎2‎r)2×r=‎4‎‎2‎‎3‎,解得r=‎2‎,‎ 半球的体积为‎2π‎3‎r3=‎4‎2‎π‎3‎.‎ 答案:‎‎4‎2‎π‎3‎ ‎7.(2015江西红色六校一模,文7,空间几何体的体积,选择题)某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎2π‎3‎ B.π‎3‎ C.‎2π‎9‎ D.‎‎16π‎9‎ 解析:由三视图知几何体是圆锥的一部分,由俯视图与侧视图可得底面扇形的圆心角为120°,‎ 又由侧视图知几何体的高为4,底面圆的半径为2,‎ 故几何体的体积V=‎120‎‎360‎‎×‎‎1‎‎3‎×π×22×4=‎16‎‎9‎π.‎ 答案:D ‎7.(2015江西六校联考二模,文7,空间几何体的体积,选择题)如图,一个简单几何体三视图的正视图与侧视图都是边长为2的正三角形,其俯视图轮廓为正方形,则其体积是(　　)‎ A.‎3‎ B.‎4‎‎3‎‎3‎ C.‎8‎‎3‎ D.4‎‎3‎ 解析:由正视图和侧视图为三角形可得此几何体为锥体,由俯视图为四边形可得此几何体为四棱锥,‎ ‎∵正视图为边长为2的正三角形,‎ ‎∴正三角形的高,也就是棱锥的高为‎3‎.‎ 又俯视图为正方形,且边长为2,‎ ‎∴四棱锥的体积=‎1‎‎3‎×2×2×‎3‎‎=‎‎4‎‎3‎‎3‎.‎ 答案:B ‎7.(2015江西景德镇二模,文7,空间几何体的体积,选择题)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某几何体的三视图,该几何体的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎4‎‎3‎ D.2‎ 解析:根据几何体的三视图,得该几何体是直三棱锥,‎ 该三棱锥的底面积S=‎1‎‎2‎×2×2=2,高h=2,‎ 故三棱锥的体积V=‎1‎‎3‎Sh=‎1‎‎3‎×2×2=‎4‎‎3‎.‎ 答案:C ‎7.(2015江西鹰潭二模,文7,空间几何体的体积,选择题)某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积为(　　)‎ A.‎26‎‎3‎ B.8+π‎3‎ C.‎14π‎3‎ D.‎‎7π‎3‎ 解析:由三视图得,该几何体为一个半圆柱和一个半圆锥组成的组合体,半圆柱和半圆锥的底面半径均为1,半圆柱的高为4,半圆锥的高为2,故半圆柱的体积为‎1‎‎2‎×π×4=2π,半圆锥的体积为‎1‎‎2‎‎×‎‎1‎‎3‎×π×2=π‎3‎,故组合体的体积V=2π+π‎3‎‎=‎‎7π‎3‎.‎ 答案:D ‎15.(2015江西鹰潭二模,文15,空间几何体的体积,填空题)已知体积为‎3‎的正三棱锥V-ABC的外接球的球心为O,满足OA‎+OB+‎OC=0,则该三棱锥外接球的体积为　　　　　. ‎ 解析:正三棱锥D-ABC的外接球的球心O满足OA‎+OB=‎CO,‎ 说明△ABC在球O的大圆上,并且为正三角形,设球的半径为R,棱锥的底面正三角形ABC的高为‎3R‎2‎,‎ 底面△ABC的边长为‎3‎R,‎ 正三棱锥的体积为‎1‎‎3‎‎×‎‎3‎‎4‎×(‎3‎R)2×R=‎3‎,‎ 解得R3=4,故该三棱锥外接球的体积为‎4‎‎3‎πR3=‎16‎‎3‎π.‎ 答案:‎16‎‎3‎π ‎15.(2015广西南宁一模,文15,空间几何体的体积,填空题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,A1B1⊥A1C1,B1C⊥AC1,AB=2,AC=1,则该三棱柱的体积为　　　　　. ‎ 解析:连接A1C,‎ ‎∵A1B1⊥A1C1,∴A1B1⊥平面A1C.‎ ‎∵B1C⊥AC1,∴A1C⊥AC1.‎ ‎∴四边形AA1C1C是正方形.‎ ‎∴AA1=AC=1.‎ ‎∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积 V=‎1‎‎2‎×1×2×1=1.‎ 答案:1‎ ‎7.(2015贵州贵阳二模,文7,空间几何体的体积,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的所有棱中,最长的棱为(　　)‎ A.‎14‎ B.‎13‎ C.‎5‎ D.4‎ 解析:根据三视图判断几何体为四棱锥,其直观图如图,‎ 连接AC,AB=AD=2,BC=1,AB⊥BC,AB⊥AD,AC=‎5‎,V=‎1‎‎3‎‎×‎‎1+2‎‎2‎×2×x=3⇒x=3.‎ PA=x=3,AC>AD=AB,‎ 故PC最长,PC=PA‎2‎+AC‎2‎‎=‎3‎‎2‎‎+(‎‎5‎‎)‎‎2‎=‎‎14‎.‎ 答案:A ‎4.(2015黑龙江大庆一模,文4,空间几何体的体积,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.6 B.2‎3‎ C.3 D.3‎‎3‎ 解析:根据该几何体的三视图知,该几何体是一个平放的三棱柱;‎ 它的底面三角形的面积为S底面=‎1‎‎2‎×2×‎3‎‎=‎‎3‎,‎ 棱柱高为h=3;‎ 故棱柱的体积为V棱柱=S底面h=‎3‎×3=3‎3‎.‎ 答案:D ‎9.(2015广西梧州一模,文9,空间几何体的体积,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为(　　)‎ A.48-‎8π‎3‎ B.‎32π‎3‎ C.64-‎16π‎3‎ D.‎‎64π‎3‎ 解析:由题意,几何体为正方体挖去两个圆锥,则几何体的体积为43-‎1‎‎3‎×π×4×3-‎1‎‎3‎×π×4×1=64-‎16π‎3‎.‎ 答案:C ‎7.(2015江西新余二模,文7,空间几何体的体积,选择题)已知三棱锥的三视图,则该三棱锥的体积是(　　)‎ A.‎6‎‎3‎ B.‎2‎‎6‎‎3‎ C.‎3‎‎6‎‎2‎ D.‎‎6‎‎2‎ 解析:如图所示,AB=BC=CA=2,点P在侧面ABC上的射影为O,OP=2‎2‎.‎ 故该三棱锥的体积V=‎1‎‎3‎·S△ABC·OP=‎1‎‎3‎‎×‎‎3‎‎4‎×22×2‎2‎‎=‎‎2‎‎6‎‎3‎.‎ 答案:B ‎19.(2015贵州贵阳一模,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,PA=PD=AD=2,点M在线段PC上,且PM=2MC,N为AD的中点.‎ ‎(1)求证:BC⊥平面PNB;‎ ‎(2)若平面PAD⊥平面ABCD,求三棱锥P-NBM的体积.‎ ‎(1)证明:连接BD.∵PA=AD,N为AD的中点,‎ ‎∴PN⊥AD.‎ 又底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,‎ ‎∴△ABD为等边三角形.‎ ‎∵N为AD的中点,‎ ‎∴BN⊥AD.又PN∩BN=N.‎ ‎∴AD⊥平面PNB.‎ ‎∵AD∥BC,∴BC⊥平面PNB.‎ ‎(2)解:∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PN⊥AD,‎ ‎∴PN⊥平面ABCD,‎ ‎∴PN⊥NB.‎ ‎∵PA=PD=AD=2,‎ ‎∴PN=NB=‎3‎,∴S△PNB=‎3‎‎2‎.‎ 又BC⊥平面PNB,PM=2MC,‎ ‎∴VP-NBM=VM-PNB=‎2‎‎3‎VC-PNB=‎2‎‎3‎‎×‎1‎‎3‎×‎‎3‎‎2‎×2=‎2‎‎3‎.‎ ‎19.(2015江西南昌零模,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,已知三棱锥A-BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC,M为AB的中点,D为PB的中点,且△PMB为正三角形.‎ ‎(1)求证:DM∥平面APC;‎ ‎(2)若BC=4,AB=20,求三棱锥D-BCM的体积.‎ ‎(1)证明:∵M为AB的中点,D为PB的中点,‎ ‎∴MD为△PAB的中位线,∴MD∥AP.‎ 而AP⊂平面PAC,MD⊄平面PAC,‎ ‎∴MD∥平面PAC.‎ ‎(2)解:∵△PMB为正三角形,PD=DB,∴MD⊥PB.‎ ‎∵MD∥AP,AP⊥PC,∴MD⊥PC.‎ 又PC∩PB=P,∴MD⊥平面PBC,即MD为三棱锥M-BCD的高.‎ ‎∵AB=20,∴MB=10,BD=5,∴MD=5‎3‎.‎ 在Rt△PCB中,由勾股定理得PC=‎1‎0‎‎2‎-‎‎4‎‎2‎=2‎21‎.‎ ‎∴S△BCD=‎1‎‎2‎S△BCP=‎1‎‎2‎‎×‎‎1‎‎2‎×2‎21‎×4=2‎21‎.‎ ‎∴VD-BCM=VM-BCD=‎1‎‎3‎×2‎21‎×5‎3‎=10‎7‎.‎ ‎6.(2015江西新八校联考一模,文6,空间几何体的体积,选择题)如图为某几何体的三视图,图中四边形为边长为1的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎2‎ B.‎2‎‎3‎ C.‎3‎‎4‎ D.‎‎5‎‎6‎ 解析:∵1=‎2‎x‎2‎,x=‎2‎‎2‎,x=‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎h‎2‎,h=‎1‎‎2‎.‎ ‎∴几何体的直观图为棱长为1的正方体中挖空了一个高为‎1‎‎2‎的正四棱锥,‎ 故该几何体体积为13-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×1×1=1-‎1‎‎6‎‎=‎‎5‎‎6‎.‎ 答案:D ‎9.(2015江西上饶一模,文9,空间几何体的体积,选择题)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎16‎‎3‎ B.‎32‎‎3‎ C.16 D.32‎ 解析:由已知中的三视图可得几何体是一个三棱锥,且棱锥的底面是一个以2为底,以4为高的三角形,棱锥的高为4,故棱锥的体积V=‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×2×4×4=‎16‎‎3‎.‎ 答案:A ‎14.(2015江西上饶重点中学二模,文14,空间几何体的体积,填空题)已知三棱锥A-BCD满足棱AB,AC,AD两两互相垂直,且BC=‎34‎,CD=‎41‎,BD=5.则三棱锥A-BCD外接球的体积为　　　　　. ‎ 解析:三棱锥A-BCD中,侧棱AB,AC,AD两两垂直,补成长方体(如图),两者的外接球是同一个,长方体的对角线就是球的直径,‎ 设AC=a,AB=b,AD=c,由题意得,a2+b2=34,a2+c2=41,b2+c2=25,解得a2+b2+c2=50,‎ 所以球的直径为5‎2‎,半径为‎5‎‎2‎‎2‎,球的体积为‎4‎‎3‎π·‎5‎‎2‎‎2‎‎3‎‎=‎‎125‎‎2‎‎3‎π.‎ 答案:‎125‎‎2‎‎3‎π ‎6.(2015广西防城港、桂林一模,文6,空间几何体的体积,选择题)某几何体在网格纸上的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎4π‎3‎ B.‎5π‎3‎ C.‎7π‎3‎ D.‎‎8π‎3‎ 解析:由已知的三视图可得,该几何体是由一个圆柱和四分之一球组成的组合体,圆柱底面和球的半径R均为1,则四分之一球的体积为‎1‎‎4‎‎×‎‎4‎‎3‎πR3=‎1‎‎3‎π,圆柱的高h=1,圆柱的体积为πR2h=π,故组合体的体积V=‎1‎‎3‎π+π=‎4π‎3‎.‎ 答案:A ‎9.(2015江西宜春高安四校一模,文9,空间几何体的体积,选择题)已知,如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的体积为(　　)‎ A.6π B.‎6‎π C.3π D.‎8‎‎3‎π 解析:由三视图知该几何体是直三棱锥,且底面是等腰直角三角形,如图所示.‎ 直三棱锥的高是‎2‎,底面的直角边长为‎2‎,斜边为2,‎ 则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球,‎ 设几何体外接球的半径为R,因为底面是等腰直角三角形,则底面外接圆的半径为1,‎ 所以R2=1+‎1‎‎2‎‎=‎‎3‎‎2‎,故外接球的体积是‎4‎‎3‎πR3=‎6‎π.‎ 答案:B ‎6.(2015山西四校联考三模,文6,空间几何体的体积,选择题)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.‎8‎‎3‎π B.‎16‎‎3‎π C.8π D.‎64‎‎3‎π 解析:由已知的三视图可得,该几何体是一个圆柱挖去一个同底同高的圆锥所得的组合体.根据三视图可得,圆柱和圆锥的底面半径r=2,高h=2,故组合体的体积V=πr2h-‎1‎‎3‎πr2h=‎2‎‎3‎πr2h=‎16π‎3‎.‎ 答案:B ‎9.(2015山西太原五中二模,文9,空间几何体的体积,选择题)已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(　　)‎ A.27-‎3π‎2‎ B.18-‎3π‎2‎ C.27-3π D.18-3π 解析:由三视图可知,该几何体为放倒的直四棱柱,且中间挖去半个圆柱,由三视图中的数据可得,四棱柱的高为3,底面为等腰梯形,梯形的上、下底边分别为2,4,高为2,圆柱的高为3,圆柱底面的半径都是1,故几何体的体积V=‎1‎‎2‎×(2+4)×2×3-‎1‎‎2‎×π×12×3=18-‎3π‎2‎.‎ 答案:B ‎15.(2015山西太原五中二模,文15,空间几何体的体积,填空题)已知四面体P-ABC的外接球的球心O在AB上,且PO⊥平面ABC,2AC=‎3‎AB,若四面体P-ABC的体积为‎3‎‎2‎,则该球的体积为　　　　　. ‎ 解析:设该球的半径为R,则AB=2R,2AC=‎3‎AB=‎3‎×2R,‎ 所以AC=‎3‎R,由于AB是球的直径,‎ 所以△ABC在大圆所在平面内且有AC⊥BC,‎ 在Rt△ABC中,由勾股定理,得 BC2=AB2-AC2=R2,‎ 所以Rt△ABC面积S=‎1‎‎2‎×BC×AC=‎3‎‎2‎R2,‎ 又PO⊥平面ABC,且PO=R,四面体P-ABC的体积为‎3‎‎2‎,所以VP-ABC=‎1‎‎3‎×R×‎3‎‎2‎×R2=‎3‎‎2‎,‎ 即‎3‎R3=9,R3=3‎3‎,‎ 故球的体积V=‎4‎‎3‎×πR3=‎4‎‎3‎×π×3‎3‎=4‎3‎π.‎ 答案:4‎3‎π ‎7.(2015甘肃兰州一中模拟,文7,空间几何体的体积,选择题)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm),图中粗线画出的是某多面体的三视图,该多面体的体积为(　　)‎ A.40 cm3 B.50 cm3 C.60 cm3 D.80 cm3‎ 解析:根据几何体的三视图,得该几何体如图中三棱锥A-BCD所示,‎ 由三视图中的网格纸上小正方形边长为1 cm,‎ 得该长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm,5 cm,‎ 则三棱锥的体积为V=6×4×5-4×‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×6×4×5=40(cm3).‎ 答案:A ‎9.(2015甘肃兰州一中模拟,文9,空间几何体的体积,选择题)已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上,△ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且SC=2,则此三棱锥的体积为(　　)‎ A.‎1‎‎4‎ B.‎‎2‎‎4‎ C.‎2‎‎6‎ D.‎‎2‎‎12‎ 解析:‎ 设球心为O,过ABC三点的小圆的圆心为O1,则OO1⊥平面ABC,‎ 延长CO1交球于点D,则SD⊥平面ABC.‎ ‎∵CO1=‎2‎‎3‎‎×‎3‎‎2‎=‎‎3‎‎3‎,‎ ‎∴OO1=‎1-‎‎1‎‎3‎‎=‎‎6‎‎3‎,‎ ‎∴高SD=2OO1=‎2‎‎6‎‎3‎.‎ ‎∵△ABC是边长为1的正三角形,‎ ‎∴S△ABC=‎3‎‎4‎.‎ ‎∴VS-ABC=‎1‎‎3‎‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎6‎‎3‎=‎‎2‎‎6‎.‎ 答案:C ‎13.(2015甘肃嘉峪关一中三模,文13,空间几何体的体积,填空题)某几何体的三视图如图所示,则其体积为　　　　　. ‎ 解析:几何体为圆锥被轴截面分割出的半个圆锥体,底面是半径为1的半圆,高为2.‎ 故其体积V=‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎·π·12×2=π‎3‎.‎ 答案:‎π‎3‎ ‎8.(2015甘肃兰州一中三模,文8,空间几何体的体积,选择题)已知某个几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸(单位:cm),则这个几何体的体积是(　　)‎ A.8 cm3 B.12 cm3 C.24 cm3 D.72 cm3‎ 解析:因为三视图复原的几何体是三棱锥,三棱锥的底面三角形是底为6,高为4的等腰三角形,三棱锥的高为3,所以三棱锥的体积为‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×6×4×3=12(cm3).‎ 答案:B ‎6.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文6,空间几何体的体积,选择题)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积等于(　　)‎ A.12 B.4 C.‎56‎‎3‎ D.‎‎8‎‎3‎‎3‎ 解析:由三视图复原几何体,如图,‎ 它的底面是直角梯形,一条侧棱垂直于底面,高为2,故这个几何体的体积为‎1‎‎3‎‎×‎‎2+4‎‎2‎×2×2=4.‎ 答案:B ‎5.(2015黑龙江哈尔滨三中四模,文5,空间几何体的体积,选择题)某几何体三视图如下,图中三个等腰三角形的直角边长都是2,该几何体的体积为(　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.‎8‎‎3‎ C.4 D.‎‎16‎‎3‎ 解析:由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其底面面积S=‎1‎‎2‎×2×2=2,高h=2,‎ 故几何体的体积V=‎1‎‎3‎Sh=‎4‎‎3‎.‎ 答案:A ‎9.(2015江西三县部分高中一模,文9,空间几何体的体积,选择题)一块橡胶泥表示的几何体的三视图如图所示,将该橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥,则这个三棱锥的高为(　　)‎ A.3‎3‎ B.6‎3‎ C.9‎3‎ D.18‎‎3‎ 解析:由已知中的三视图可得,该几何体是一个三棱柱,底面是直角边为6,8的三角形,高为12,‎ 则几何体的体积为‎1‎‎2‎×6×8×12=288.‎ ‎∵橡胶泥揉成一个底面边长为8的正三角形的三棱锥,‎ ‎∴底面积为‎3‎‎4‎×82=16‎3‎.‎ ‎∴三棱锥的高为‎288×3‎‎16‎‎3‎=18‎3‎.‎ 答案:D ‎15.(2015吉林实验中学六模,文15,空间几何体的体积,填空题)若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是　　　　　. ‎ 解析:由图知此几何体为棱长为2的正方体裁去一个三棱锥(如下图),‎ 故此几何体的体积为:2×2×2-‎1‎‎3‎‎×‎‎1‎‎2‎×1×2×2=‎22‎‎3‎.‎ 答案:‎‎22‎‎3‎ ‎19.(2015甘肃河西五地二模,文19,空间几何体的体积,解答题)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形,∠BCD=120°,AB=PC=2,AP=BP=‎2‎.‎ ‎(1)求证:AB⊥PC;‎ ‎(2)求四棱锥P-ABCD的体积.‎ ‎(1)证明:取AB的中点O,连接PO,CO.‎ ‎∵AP=BP,∴PO⊥AB,‎ 又四边形ABCD是菱形,且∠BCD=120°,‎ ‎∴△ACB是等边三角形,∴CO⊥AB.‎ 又PO∩CO=O,∴AB⊥平面PCO.‎ 又PC⊂平面PCO,∴AB⊥PC.‎ ‎(2)解:∵PA=PB=‎2‎,AB=2,‎ ‎∴∠APB=90°,∴PO=1.‎ ‎∵△ABC是边长为2的正三角形,‎ ‎∴OC=‎3‎,又PC=2,∴PO2+CO2=PC2,‎ ‎∴PO⊥OC.又PO⊥AB,‎ ‎∴PO为四棱锥P-ABCD的高.‎ ‎∵∠BCD=120°,AB=2,‎ ‎∴菱形ABCD的面积为2×‎1‎‎2‎×2×2sin 120°=2‎3‎.‎ 故VP-ABCD=‎1‎‎3‎×2‎3‎×1=‎2‎‎3‎‎3‎.‎ ‎9.(2015甘肃兰州二诊,文9,空间几何体的体积,选择题)已知长方体ABCD-A1B1C1D1的各个顶点都在表面积为16π的球面上,且AB=‎3‎AD,AA1=2AD,则四棱锥D1-ABCD的体积为(　　)‎ A.‎2‎‎6‎‎3‎ B.‎4‎‎6‎‎3‎ C.2‎6‎ D.4‎‎6‎ 解析:设AD=x,长方体的外接球的半径为R,‎ 则AD2+AB2+AA‎1‎‎2‎=(2R)2,4πR2=16π,‎ ‎∴x2+(‎3‎x)2+(2x)2=4R2,R2=4.‎ 化为8x2=16,解得x=‎2‎,‎ ‎∴四棱锥D1-ABCD的体积V=‎1‎‎3‎AA1·SABCD ‎=‎1‎‎3‎×2‎2‎‎×‎‎3‎x2=‎4‎‎6‎‎3‎.‎ 答案:B ‎15.(2015甘肃庆阳一诊,文15,空间几何体的体积,填空题)已知长方体ABCD-A1B1C1D1内接于球O,底面ABCD是边长为2的正方形,E为AA1的中点,OA⊥平面BDE,则球O的表面积为　　　　　. ‎ 解析:‎ 设AA1=2a,E为AA1的中点,‎ 以A为坐标原点,分别以AB,AD,AA1为x,y,z轴建立空间坐标系,‎ 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,2,0),E(0,0,a),C1(2,2,2a),O(1,1,a),‎ 则BD=(-2,2,0),BE=(-2,0,a),OA=(-1,-1,-a),‎ 若OA⊥平面BDE,则OA‎⊥BD,‎OA‎⊥BE,‎即OA‎·BD=0,‎OA‎·BE=0,‎ 即2-a2=0,解得a=‎2‎,‎ 因为球O的半径R满足:2R=‎2‎‎2‎‎+‎2‎‎2‎+(2‎‎2‎‎)‎‎2‎=4,‎ 故球O的表面积S=4πR2=16π.‎ 答案:16π ‎8.3空间点、直线、平面之间的位置关系 ‎112‎ 空间两条直线的位置关系 ‎1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文19,空间两条直线的位置关系,解答题)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=‎1‎‎2‎AA1=2,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.‎ ‎(1)证明:DC1⊥BC;‎ ‎(2)求四面体BCDC1的体积.‎ ‎(1)证明:∵D是棱AA1的中点,∴A1D=AD=2.‎ ‎∴在Rt△DAC中,AC=AD=2,∴∠ADC=45°,‎ 同理,得∠A1DC1=45°.‎ ‎∴∠CDC1=90°,即DC⊥DC1.‎ 又DB⊥DC1,∴DC1⊥平面BCD,∴DC1⊥BC.‎ ‎(2)解:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,‎ ‎∵CC1⊥BC,由(1)得DC1⊥BC,‎ ‎∴BC⊥平面ACC1A1.‎ ‎∴VB-CDC‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎×BC×S‎△CDC‎1‎‎=‎‎1‎‎3‎×2×‎1‎‎2‎×2‎2‎×2‎2‎‎=‎‎8‎‎3‎.‎ ‎∴四面体BCDC1的体积为‎8‎‎3‎.‎ ‎19.(2015山西太原二模,文19,空间两条直线的位置关系,解答题)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD=2,PD⊥平面ABCD.‎ ‎(1)求证:AD⊥PB;‎ ‎(2)若BD与平面PBC所成的角为30°,求二面角P-BC-D的余弦值.‎ ‎(1)证明:因为∠DAB=60°,AB=2AD,‎ 由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠DAB=3AD2,‎ 从而BD2+AD2=AB2,‎ ‎∴∠ADB=90°,即BD⊥AD.‎ 又PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AD.‎ ‎∴AD⊥平面PBD.∴AD⊥PB.‎ ‎(2)解:∵PD⊥底面ABCD,∴PD⊥AD,PD⊥BD,‎ ‎∵AD⊥BD,∴以D为坐标原点,射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,‎ 设AD=a,DP=b,则A(a,0,0),B(0,‎3‎a,0),C(-a,‎3‎a,0),P(0,0,b).‎ ‎∴DB=(0,‎3‎a,0),BC=(-a,0,0),PB=(0,‎3‎a,-b),‎ 设m=(x,y,z)是平面PBC的一个法向量,‎ 则m·BC=-ax=0,‎m·PB=‎3‎ay-bz=0,‎ 令y=‎3‎‎3‎,则x=0,z=ab,则m=‎0,‎3‎‎3‎,‎ab,‎ ‎∵BD与平面PBC所成的角为30°,‎ ‎∴m与DB的夹角为60°.‎ ‎∴cos =‎m·‎DB‎|m||DB|‎‎=‎a‎1‎‎3‎‎+‎ab‎2‎‎·‎3‎a ‎=cos 60°=‎1‎‎2‎,‎ 整理得b=a,∴m=‎0,‎3‎‎3‎,1‎.‎ 平面BCD的一个法向量为n=(0,0,1),则cos =‎1‎‎2‎‎3‎‎3‎‎×1‎‎=‎‎3‎‎2‎.‎ 即二面角P-BC-D的余弦值是‎3‎‎2‎.‎ ‎19.(2015江西九江一模,文19,空间两条直线的位置关系,解答题)如图,直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=5,AA'=AB=6,D,E分别为AB和BB'上的点,且ADDB‎=‎BEEB'‎=λ.‎ ‎(1)求证:当λ=1时,A'B⊥CE;‎ ‎(2)当λ为何值时,三棱锥A'-CDE的体积最小,并求出最小体积.‎ ‎(1)证明:∵λ=1,∴D,E分别为AB和BB'的中点.‎ 又AA'=AB,且三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,‎ ‎∴平行四边形ABB'A'为正方形.‎ ‎∴DE⊥A'B.‎ ‎∵AC=BC,D为AB的中点,‎ ‎∴CD⊥AB.‎ ‎∴CD⊥平面ABB'A',∴CD⊥A'B.‎ 又CD∩DE=D,∴A'B⊥平面CDE,‎ ‎∵CE⊂平面CDE,∴A'B⊥CE.‎ ‎(2)解:设BE=x,则AD=x,DB=6-x,B'E=6-x.‎ 由已知可得C到平面A'DE距离即为△ABC的边AB所对应的高h=AC‎2‎-‎AB‎2‎‎2‎=4,‎ ‎∴VA'-CDE=VC-A'DE=‎1‎‎3‎(S四边形ABB'A'-S△AA'D-S△DBE-S△A'B'E)·h ‎=‎1‎‎3‎‎36-3x-‎1‎‎2‎(6-x)x-3(6-x)‎·h ‎=‎2‎‎3‎(x2-6x+36)‎ ‎=‎2‎‎3‎[(x-3)2+27](0

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