数学文卷·2019届辽宁省实验中学分校高二12月月考（2017-12）

数学文卷·2019届辽宁省实验中学分校高二12月月考（2017-12）

数学文科 高二年级 ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. 抛物线 的焦点坐标是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎2. 椭圆 的左右焦点分别为 ，，一直线过 交椭圆于 ， 两点，则 的周长为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎3. 若双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ，，点 在双曲线 上，且 ，则 等于 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎4. 若 ，则双曲线 的离心率的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎5. 椭圆 的焦点在 轴上，一个顶点是抛物线 的焦点，过焦点且垂直于长轴的弦长为 ，则椭圆的离心率为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎6. 已知抛物线 的准线与双曲线 相交于 ， 两点，双曲线的一条渐近线方程是 ，点 是抛物线的焦点，且 是等边三角形，则该双曲线的标准方程是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎7. 为过椭圆 的中心的弦， 为它的右焦点，则 的最大面积为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎8. 已知抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线交抛物线于 ， 两点，为坐标原点，若 ，则 的面积为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 已知 为双曲线 上任一点，过 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂足分别为 ，，则 的值为 ‎ ‎ A. B. C. D. 与点 的位置有关 ‎10. 若直线 与抛物线 相交于 ， 两点，则 等于 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ ‎11. 已知抛物线 和动直线 （， 是参变量，且 ，）相交于 ， 两点，直角坐标系原点为 ，记直线 ， 的斜率分别为 恒成立，则当 变化时直线恒经过的定点为 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 12. 椭圆 上离顶点 距离最大的点恰好是另一个顶点 ，则 的取值范围是 ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）‎ ‎13. 已知双曲线 的一条渐近线为 ，一个焦点为 ，则  ；  ．‎ ‎ ‎ ‎14. 若直线 与椭圆 恒有公共点，则实数 的取值范围为  ．‎ ‎15. 已知椭圆 的上顶点为 ，直线 交椭圆 于 ， 两点，若直线 ， 的斜率分别为 ，，则 的值为  ．‎ ‎ ‎ ‎16. 如图，已知直线 与抛物线 相交于 ， 两点，点 为抛物线焦点，且 ， 两点在抛物线 准线上的射影分别是 ，，若 ，则 的值是  ．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共 70分）‎ ‎17. （本小题满分10分）‎ ‎ 根据下列条件，求双曲线的标准方程．‎ ‎（1）过点 ， 且焦点在坐标轴上；‎ ‎（2）与双曲线 有相同的焦点，且经过点 ．‎ ‎ ‎ ‎18. （本小题满分12分）‎ 已知 ， 分别是椭圆 的左右两个焦点， 为坐标原点，点 在椭圆上，线段 与 轴的交点 为线段 的中点．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）点 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于 ，求 的值．‎ ‎ ‎ ‎19. （本小题满分12分）‎ 已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ．‎ ‎（1）求该双曲线 的方程；‎ ‎（2）若直线： 与双曲线 左支有两个不同的交点 ，，求 的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 已知抛物线 与过点 的直线相交于 ， 两点，且直线 与 的斜率之和为 ，求直线的方程．‎ ‎ ‎ ‎21. （本小题满分12分）‎ ‎ 已知抛物线 ：，直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点．‎ ‎（1）求抛物线 的方程；‎ ‎（2）设点 的坐标为 ，记直线 ， 的斜率分别为 ，，求证： 为定值．‎ ‎ ‎ ‎22. （本小题满分12分）‎ 已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，且椭圆 上的点到两个焦点的距离之和为 ．‎ ‎（1）求椭圆 的方程；‎ ‎（2）设 为椭圆 的左顶点，过点 的直线与椭圆交于点 ，与 轴交于点，过原点且与平行的直线与椭圆交于点 ．证明：．‎ ‎ ‎ 数学文科 高二年级 ‎ ‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）‎ ‎1. D 【解析】由题意， 的焦点坐标为 ．‎ ‎2. B 3. B 【解析】，故点 在双曲线的左支上，由双曲线的定义得 ，所以 ．‎ ‎4. C 5. D ‎ ‎6. D 【解析】由题意可得抛物线 的准线为 ，焦点坐标是 ，‎ 又抛物线 的准线与双曲线 相交于 ， 两点，‎ 且 是等边三角形，‎ 则有 ， 两点关于 轴对称，横坐标是 ，纵坐标分别是 与 ，‎ 将坐标 代入双曲线方程得 ‎ 又双曲线的一条渐近线方程是 ，得 ‎ 由 解得 ，．‎ 所以双曲线的方程是 ．‎ ‎7. C ‎ ‎8. A 9. C 10. B 11. D 【解析】将直线与抛物线联立，消去 ，得 ，‎ 所以 ，；所以 ，所以 ，‎ 所以 所以 ，解得 ，‎ 所以 ．令 ，得 ，所以直线过定点 ．‎ ‎12. B 【解析】提示：由对称性，可设椭圆上任意一点 的坐标为 ，所以 ，．因为 ，所以 ，关于 的二次函数图象开口向下，所以对称轴 ．解得 ．‎ ‎ ‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共 20分）‎ ‎13. ，‎ ‎【解析】，所以 ，，所以 ；．‎ ‎14. ‎ ‎【解析】因为方程 表示椭圆，所以 ． 恒过点 ，而当 时，点 恒在椭圆内或椭圆上，所以实数 的取值范围为 ．‎ ‎15. 【解析】将直线 代入椭圆 的方程，得 ，解得 ，，因为 为椭圆的上顶点，所以 ，所 以 ，，所以 ．‎ ‎16. 【解析】抛物线 的准线为 ，‎ 直线 恒过定点 ，连接 ，，‎ ‎ ‎ 由 ，则 ，‎ 点 为 的中点，连接 ，则 ，‎ 所以 ，点 的横坐标为 ，‎ 所以点 的坐标为 ，‎ 把 代入直线 ，解得 ．‎ 三、解答题（本大题共6小题，共 70分）‎ ‎17. （1） 设双曲线的方程为 ．‎ 因为 ， 两点在双曲线上，所以 解得 ‎ 所以所求双曲线的标准方程为 ．‎ ‎ （2） 根据题意设所求双曲线的方程为 （）．‎ 因为双曲线过点 ，所以 ，所以 或 （舍去）．‎ 所以所求双曲线的标准方程为 ．‎ ‎18. （1） 因为点 是线段 的中点，所以 是 的中位线，由 ，得 ，所以 解得 ，，．所以椭圆的标准方程为 ．‎ ‎ （2） 因为点 在椭圆上， ，， 是椭圆的两个焦点，所以 ，，在 中，由正弦定理，得 ，‎ 所以 ．‎ ‎19. （1） 由题意设双曲线方程为 ．由已知得 ，，‎ 再由 ，得 ．故双曲线 的方程为 ．‎ ‎ （2） 设 ，，将 代入 ，‎ 得 ．由题意知 ‎ 解得 ．所以 的取值范围为 ．‎ ‎20. 设 ，．则有 ，．因为 ，‎ 所以 ，又 ，，所以 ．‎ 又因为 ，所以 ．‎ 因此，所求直线的方程为 ．‎ ‎21. （1） 将 代入 ，得 ，其中 ．设 ，，则 ，．‎ 因为 ．‎ 由已知得 ，，所以抛物线 的方程为 ．‎ ‎ （2） 由（ ） 知 ，． ，‎ 同理 ，所以 ．‎ ‎22. （1） 设椭圆 的标准方程为 ，由题意知 解得 ，，所以椭圆 的标准方程为 ．‎ ‎ （2） 设直线 的方程为 ，则 ，由 得 ．（1）易知 ，设 ，则 ， 是方程（1）的两个根，所以 ，所以 ，‎ ‎ ，‎ 又 ，所以 ．设直线 的方程为 ，‎ 由 得 ．设 ，则 ，，‎ 所以 ，．所以 ．‎ ‎ ‎