2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3

2020年高中数学第三章空间向量与立体几何3

‎3.1.3‎‎ 空间向量的数量积运算 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)‎ A．2· B．2· C．2· D．2· 解析：2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－a2，故D错，只有C正确．‎ 答案：C ‎2．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2 )·(－)＝0，则△ABC是(　　)‎ A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 解析：(＋－2 )·(－)‎ ‎＝(－＋－)·(－)‎ ‎＝(＋)·(－)‎ ‎＝－＝0‎ ‎∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．‎ 答案：B ‎3．已知向量a，b，c两两交角为60°，其模都为1，则|a－b＋‎2c|等于(　　)‎ A. B．‎5 C．6 D. 解析：因为|a|＝|b|＝|c|＝1，‎ ‎〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，‎ 所以a·b＝b·c＝a·c＝，‎ 8‎ a2＝b2＝c2＝1，‎ 所以|a－b＋‎2c|＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 答案：A ‎4.已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，‎ PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝(　　)‎ A．3 B．7‎ C．4 D．6‎ 解析：||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49.‎ 答案：B ‎5．已知空间向量a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)，若‎2a－b与b垂直，则|a|等于(　　)‎ A. B. C. D. 解析：∵a＝(1，n,2)，b＝(－2,1,2)．∴‎2a－b＝(2,2n,4)－(－2,1,2)‎ ‎＝(4,2n－1,2)，∵‎2a－b与b垂直，∴(‎2a－b)·b＝0，即 ‎－2×4＋1×(2n－1)＋4＝0，∴n＝，故|a|＝＝.‎ 答案：D ‎6．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.‎ 解析：由已知·＝·＝·＝0，且＝，‎ 故·(＋＋)‎ ‎＝(＋＋)2‎ ‎＝(||2＋||2＋||2)‎ 8‎ ‎＝(1＋4＋9)＝.‎ 答案： ‎7．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________.‎ 解析：因为m⊥n，所以m·n＝0，‎ 即(a＋b)·(a＋λb)＝0，‎ 所以a2＋(λ＋1)a·b＋λb2＝0，‎ 所以(3)2＋(λ＋1)×3×4×cos 135°＋λ·42＝0，‎ 所以18－12(λ＋1)＋16λ＝0，‎ 所以4λ＋6＝0，‎ λ＝－.‎ 答案：－ ‎8．已知空间向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，则|‎3a－2b|＝________.‎ 解析：∵|a|＝|b|＝|a－b|＝2，‎ ‎∴|a－b|2＝4，即a2－‎2a·b＋b2＝4，‎ ‎∴a·b＝2，‎ ‎∴|‎3a－2b|2＝(‎3a－2b)2＝‎9a2－‎12a·b＋4b2＝28，‎ 故|‎3a－2b|＝2.‎ 答案：2 ‎9.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.求证：PA⊥BD.‎ 证明：∵＝－，＝＋.‎ ‎∴·＝(－)·(＋)‎ ‎＝2＋·－·－· ‎＝DA2＋DA·2DA·cos 120°‎ ‎＝0.‎ ‎∴⊥，即PA⊥BD.‎ ‎10.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D 8‎ 两点间的距离．‎ 解析：∵＝＋＋，‎ ‎∴||2＝· ‎＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·①‎ ‎∵AB＝BC＝CD＝2，∴||＝||＝||＝2 ②‎ 又∵AB⊥α，BC⊂α，∴AB⊥BC.‎ ‎∴·＝0. ③‎ ‎∵CD⊥BC，∴·＝0. ④‎ 把②③④代入①可得||2＝4＋4＋4＋2· ‎＝12＋2||·||cos〈，〉‎ ‎＝12＋8cos〈，〉． ⑤‎ ‎∵∠D CF＝30°，从而∠CDF＝60°. ‎ 又∵AB⊥α，DF⊥α，∴AB∥DF.‎ ‎∴〈，〉＝〈，〉＝60°.‎ ‎∴〈，〉＝120°.代入⑤式得到 ‎||2＝12＋8cos 120°＝8，∴||＝2.‎ ‎∴A，D两点间距离为2.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．若(a＋b)⊥(‎2a－b)，(a－2b)⊥(‎2a＋b)，则cos〈a，b〉为(　　)‎ A. B．－ C．－ D. 解析：由(a＋b)·(‎2a－b)＝0，(a－2b)·(‎2a＋b)＝0得 ‎2a‎2＋a·b－b2＝0， ①‎ ‎2a‎2－‎3a·b－2b2＝0， ②‎ 所以‎8a2－5b2＝0，a·b＝－b2，‎ 8‎ 所以cos〈a，b〉＝＝＝－.‎ 答案：B ‎2．三棱柱ABCA1B‎1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)‎ A. B．－ C. D. 解析：设底面边长为a，‎ 因为＝＋，‎ ‎||2＝(＋)2‎ ‎＝2＋2·＋2‎ ‎＝a2＋2×a×acos 60°＋a2‎ ‎＝‎3a2，‎ ‎∴||＝a，‎ ＝＋＝＋(－)＝＋－，‎ ‎∴||2＝(＋－)2‎ ‎＝2＋2＋2＋2·－2·－2· ‎＝a2＋a2＋a2＋a2－a2－a2‎ ‎＝‎2a2，‎ ‎∴||＝a，‎ ·＝(＋)·(＋－)‎ ‎＝(＋)·＋(＋)·(－)‎ ‎＝·＋·＋2－2‎ ‎＝a×acos 60°＋a×acos 60°＋a2－a2‎ ‎＝a2.‎ 8‎ ‎∴cos〈，〉＝＝＝.‎ 答案：A ‎3．在长方体ABCDA1B‎1C1D1中，AB＝，AA1＝1，AD＝1，给出下列命题：‎ ‎①异面直线AD与CB1所成的角等于向量与的夹角；‎ ‎②与的夹角为；‎ ‎③⊥；‎ ‎④cos，＝.‎ 其中正确的命题是________．‎ 解析：①异面直线AD与CB1所成的角为，而向量与的夹角为；②与的夹角为钝角，与直线AB1与BB1所成的角互补，其值为，所以正确；③⊥显然正确；④cos，＝－cos，＝－.‎ 答案：②③‎ ‎4．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，把△ADC沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，则BD的长为________．‎ 解析：取基底{，，C}‎ 则＝＋＋ ‎∴||2＝2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2· ‎＝12＋12＋12＋2×1×1×cos〈，〉‎ ‎＝3＋2cos〈，〉，‎ 8‎ 当〈，〉＝60°时，‎ ‎||2＝3＋2×＝4，||＝2.‎ 当〈，〉＝120°时，‎ ‎||2＝3＋2×(－)＝2，||＝.‎ 答案：2或 ‎5.如图，BB1⊥平面ABC，且△ABC是∠B＝90°的等腰直角三角形，▱ABB‎1A1、▱BB‎1C1C的对角线都分别相互垂直且相等，若AB＝a，求异面直线BA1与AC所成的角．‎ 解析：·＝(＋)·(－)‎ ‎＝·－＋·－· ‎＝0－a2＋0－0＝－a2，‎ 又||＝a，||＝a，‎ 于是cos〈，〉＝＝＝－.‎ 所以向量与的夹角是120°，‎ 故异面直线BA1与AC所成的角等于60°.‎ ‎6.如图，正三棱柱ABCA1B‎1C1中，底面边长为.‎ ‎(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；‎ ‎(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．‎ 解析：(1)证明：＝＋，＝＋.‎ ‎∵BB1⊥平面ABC，‎ ‎∴·＝0，·＝0.‎ 又△ABC为正三角形，‎ ‎∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.‎ ‎∵·＝(＋)·(＋)‎ 8‎ ‎＝·＋·＋2＋· ‎＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，‎ ‎∴AB1⊥BC1.‎ ‎(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.‎ 又||＝ ＝ ＝||，‎ ‎∴cos〈，〉＝＝，‎ ‎∴||＝2，即侧棱长为2.‎ 8‎