专题04+导数及其应用（热点难点突破）-2019年高考数学（文）考纲解读与热点难点突破
1．设函数y＝xsin x＋cos x的图象在点处切线的斜率为g(t)，则函数y＝g(t)的图象一部分可以是( )
答案 A
2．已知函数f(x)＝＋k，若x＝1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由函数f(x)＝＋k，
可得f′(x)＝＋k＝(x>0)，
∵f(x)有唯一极值点x＝1，
∴f′(x)＝0有唯一根x＝1，
∴－k＝0无根或有且仅有一个根为x＝1，
设g(x)＝，
则g′(x)＝，
由g′(x)>0得，g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
由g′(x)<0得，g(x)在(0,1)上单调递减，
∴g(x)min＝g(1)＝e，
∴k≤e，即实数k的取值范围是.
3．已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f′(x)，满足f′(x)
0，
由y＝x－ln x，得y′＝1－，
则曲线y＝x－ln x在点P(m，n)处的切线的方程为
y－m＋ln m＝(x－m)，
即y＝x＋1－ln m.
由y＝ax3＋x＋1，得y′＝3ax2＋1，
则曲线y＝ax3＋x＋1在点P(m，n)处的切线的方程为
y－am3－m－1＝(3am2＋1)(x－m)，
即y＝(3am2＋1)x－2am3＋1，
所以解得
6．设函数y＝f(x)的导函数为f′(x)，若y＝f(x)的图象在点P(1，f(1))处的切线方程为x－y＋2＝0，则f(1)＋f′(1)等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 A
解析 依题意有f′(1)＝1,1－f(1)＋2＝0，即f(1)＝3，
所以f(1)＋f′(1)＝4.
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．2或－
答案 A
解析 由题意知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，f′(1)＝0，f(1)＝10，
即
解得或
经检验满足题意，故＝－.
8．曲线f(x)＝在x＝0处的切线方程为( )
A．x－y－1＝0 B．x＋y＋1＝0
C．2x－y－1＝0 D．2x＋y＋1＝0
解析 因为f′(x)＝，所以f′(0)＝－2，故在x＝0处的切线方程为2x＋y＋1＝0，故选D.
答案 D
9．曲线f(x)＝x3＋x－2在p0处的切线平行于直线y＝4x－1，则p0点的坐标为( )
A．(1，0) B．(2，8)
C．(1，0)和(－1，－4) D．(2，8)和(－1，－ 4)
解析 设p0(x0，y0)，则3x＋1＝4，所以x0＝±1，所以p0点的坐标为(1，0)和(－1，－4)．故选C.
答案 C
10.如图，直线y＝2x与抛物线y＝3－x2所围成的阴影部分的面积是( )
A. B．2
C．2－ D.
解析 S＝(3－x2－2x)dx＝，故选D.
答案 D
11．设a＝ cos xdx，b＝ sin xdx，下列关系式成立的是( )
A．a>b B．a＋b<1
C．asin ＝，
又cos 1>cos ＝，∴－cos 1<－，b＝1－cos 1<1－＝，∴a>b，选A.
答案 A
12．如果f′(x)是二次函数，且f′(x)的图象开口向上，顶点坐标为(1，)，那么曲线y＝f(x)上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )
A. B. C. D.
解析 由题意可设f′(x)＝a(x－1)2＋(a>0)，即函数切线的斜率为k＝f′(x)＝a(x－1)2＋≥，即tan α≥，∴≤α<，选B.
答案 B
13．设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )
A．1－ln 2 B.(1－ln 2)
C．1＋ln 2 D.(1＋ln 2)
解析 函数y＝ex和函数y＝ln(2x)互为反函数图象关于y＝x对称．则只有直线PQ与直线y＝x垂直时|PQ|才能取得最小值．设P，则点P到直线y＝x的距离为d＝，令g(x)＝ex－x，(x>0)，则g′(x)＝ex－1，令g′(x)＝ex－1>0得x>ln 2；令g′(x)＝ex－1<0得00，所以dmin＝.则|PQ|＝2dmin＝(1－ln 2)．故B正确．
答案 B
14．已知定义域为R的函数f(x)满足：f(4)＝－3，且对任意x∈R总有f′(x)<3，则不等式f(x)<3x－15的解集为( )
A．(－∞，4) B．(－∞，－4)
C．(－∞，－ 4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
解析 记g(x)＝f(x)－3x＋15，则g′(x)＝f′(x)－3<0，可知g(x)在R上为减函数．又g(4)＝f(4)－3×4＋15＝0，所以f(x)<3x－15可化为f(x)－3x＋15<0，即g(x)4.
答案 D
15．已知函数f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
16．已知定义域为R的奇函数y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．c＜a＜b
解析 设h(x)＝xf(x)，
∴h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，
∵y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，
∴h(x)是定义在实数集R上的偶函数，
当x＞0时，h′(x)＝f(x)＋x·f′(x)＞0，
∴此时函数h(x)单调递增．
∵a＝f＝h，b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，
c＝f＝h＝h(－ln 2)＝h(ln 2)，
又2＞ln 2＞，∴b＞c＞a.故选A.
答案 A
17．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，f′(x)的图象是( )
解析 因为f(x)＝x2＋sin＝x2＋cos x，所以f′(x)＝x－sin x为奇函数，且f′<0，故选A.
答案 A
18．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A. B. C. D.
答案 D
19．函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象的大致形状是( )
解析：由f(x)图象先降再升后趋于平稳知，f′(x)的函数值先为负，再为正，后为零．故选D.
答案：D
20．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
A.e2 B．4e2
C．2e2 D．e2
解析：∵y′＝e，∴k＝e＝e2，∴切线方程为y－e2＝e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，∴所求面积为S＝×2×|－e2|＝e2.
答案：D
21．已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x)，且满足f(1)＝0，当x>0时，xf′(x)<2f(x)，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞)
D．(－1,0)∪(0,1)
解析：根据题意，设函数g(x)＝(x≠0)，当x>0时，g′(x)＝<0，说明函数g(x)在(0，＋∞)上单调递减，又f(x)为偶函数，所以g(x)为偶函数，又f(1)＝0，所以g(1)＝0，故g(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零，即f(x)在(－1,0)∪(0,1)上的函数值大于零．
答案：D
22．若函数f(x)＝x3－x2＋2bx在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f(x)在R上的极小值为( )
A．2b－ B．b－
C．0 D．b2－b3
解析：f′(x)＝x2－(2＋b)x＋2b＝(x－b)(x－2)，∵函数f(x)在区间[－3,1]上不是单调函数，∴－30，得x2，由f′(x)<0，得b0)．
(1)若x＝2是函数的极值点，求a的值及函数f(x)的极值；
(2)讨论函数的单调性．
解 (1)因为f(x)＝ax2＋(a－1)x＋(1－2a)ln x，
所以f′(x)＝ax＋(a－1)＋(x>0)，
由已知f′(2)＝2a＋(a－1)＋＝2a－＝0，
解得a＝，
此时f(x)＝x2－x＋ln x，
f′(x)＝x－＋＝，
当02时，f′(x)>0，f(x)是增函数，
当10)，
①当≤0，即a≥时，
则当01时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
②当0<<1，即1时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当1，即0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当10)，
令f′(x)＝0，得x＝或x＝1，
且f(x)在上单调递增，
在上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
所以f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝2.
(2)由已知∃x∈[1，e]，
使得4x－－f(x)<－，
即4x－－f(x)＋<0，
即4x－－3x＋－bln x＋<0，
即x－bln x＋<0成立，
设h(x)＝x－bln x＋，
则只需函数h(x)＝x－bln x＋在[1，e]上的最小值小于零．
又h′(x)＝1－－
＝＝(x>0)，
令h′(x)＝0，得x＝－1(舍去)或x＝1＋b(满足b≥e－1)．
②当1＋b≤1，即b≤0时，h(x)在[1，e]上单调递增，
故h(x)在[1，e]上的最小值为h(1)，
由h(1)＝1＋1＋b<0，
可得b<－2(满足b≤0)．
③当1<1＋b2，
即h(1＋b)>2，不满足题意，舍去．
所以实数b的取值范围为(－∞，－2)∪.
