【数学】2019届高考一轮复习北师大版理12-2算法与程序框图学案

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文档介绍

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理12-2算法与程序框图学案

第2讲 算法与程序框图 ‎1.算法与程序框图 ‎(1)算法 ‎①算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤.‎ ‎②应用:算法通常可以编成计算机程序,让计算机执行并解决问题.‎ ‎(2)程序框图 定义:程序框图又称流程图,是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.‎ ‎2.三种基本逻辑结构及相应语句 名称 示意图 相应语句 顺序 结构 ‎①输入语句:‎ INPUT “提示内容”;变量 ‎②输出语句:‎ PRINT “提示内容”;表达式 ‎③赋值语句:‎ 变量=表达式 条件 结构 IF__条件__THEN 语句体 ‎ END__IF IF__条件__THEN 语句体1‎ ‎ ELSE 语句体2‎ ‎ END IF 循环结构 当型 循环 结构 WHILE 条件 循环体 WEND 直到 型循 环结 构 DO 循环体 LOOP__UNTIL条件 ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)一个程序框图一定包含顺序结构,但不一定包含条件结构和循环结构.(  )‎ ‎(2)条件结构的出口有两个,但在执行时,只有一个出口是有效的.(  )‎ ‎(3)输入框只能紧接开始框,输出框只能紧接结束框.(  )‎ ‎(4)输入语句可以同时给多个变量赋值.(  )‎ ‎(5)在算法语句中,x=x+1是错误的.(  )‎ 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×‎ ‎ (2017·高考北京卷)执行如图所示的程序框图,输出的s值为(  )‎ A.2           B. C. D. 解析:选C.运行该程序,k=0,s=1,k<3;‎ k=0+1=1,s==2,k<3;‎ k=1+1=2,s==,k<3;‎ k=1+2=3,s==,k=3.输出的s值为.故选C.‎ ‎ 要计算1+++…+的结果,下面程序框图中的判断框内可以填(  )‎ A.n<2 017? B.n≤2 017?‎ C.n>2 017? D.n≥2 017?‎ 解析:选B.题中所给的程序框图中的循环结构为当型循环,累加变量初始值为0,计数变量初始值为1,要求S=0+1+++…+的值,共需要计算2 017次,故选B.‎ ‎ (2017·高考江苏卷改编)如图是一个算法流程图,若输入x的值为,则输出y的值是________________.‎ 解析:由流程图可得y=所以当输入的x的值为时,y=2+log2=2-4=-2.‎ 答案:-2‎ ‎ 如图所示的框图,已知集合A={x|框图中输出的x值},集合B={y|框图中输出的y值},全集U=Z,Z为整数集,则当x=-1时,(∁UA)∩B=________.‎ 解析:依题意得,当x=-1时,A={0,1,2,3,4,5,6},B={-3,-1,1,3,5,7,9},(∁UA)∩B={-3,-1,7,9}.‎ 答案:{-3,-1,7,9}‎ 顺序结构与条件结构 ‎ [典例引领]‎ ‎ 执行如图所示的程序框图,如果输入的t∈[-1,3],则输出的s属于(  )‎ A.[-3,4]       B.[-5,2]‎ C.[-4,3] D.[-2,5]‎ ‎【解析】 由程序框图得分段函数s=所以当-1≤t<1时,s=3t∈[-3,3);当1≤t≤3时,s=4t-t2=-(t-2)2+4,所以此时3≤s≤4.综上函数的值域为[-3,4],即输出的s属于[-3,4].‎ ‎【答案】 A ‎1.若本例的判断框中的条件改为“t≥1?”,则输出的s的范围是________.‎ 解析:由程序框图得分段函数s=所以当1≤t≤3时,s=3t∈[3,9],当-1≤t<1时,s=4t-t2=-(t-2)2+4,所以此时-5≤s<3.综上函数的值域为[-5,9],即输出的s属于[-5,9].‎ 答案:[-5,9]‎ ‎2.本例框图不变,若输出s的值为3,求输入的t的值.‎ 解:由本例解析知s=,‎ 则3t=3,所以t=1(舍),‎ ‎4t-t2=3,所以t=1或3.‎ 应用顺序结构和条件结构的注意点 ‎(1)顺序结构 顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间、框与框之间是按从上到下的顺序进行的.‎ ‎(2)条件结构 利用条件结构解决算法问题时,重点是判断框,判断框内的条件不同,对应的下一图框中的内容和操作要相应地进行变化,故要重点分析判断框内的条件是否满足.‎ ‎[提醒] 条件结构的运用与数学的分类讨论有关.设计算法时,哪一步要分类讨论,哪一步就需要用条件结构.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.阅读如图所示的程序框图,若输入x为3,则输出的y的值为(  )‎ A.24 B.25‎ C.30 D.40‎ 解析:选D.a=32-1=8,b=8-3=5,y=8×5=40.‎ ‎2.给出一个如图所示的程序框图,若要使输入的x值与输出的y值相等,则这样的x值的个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ 解析:选C.由程序框图知y= 由已知得或或 解得x=0或x=1或x=3,‎ 这样的x值的个数是3.‎ 循环结构(高频考点)‎ 循环结构是高考命题的一个热点问题,多以选择题、填空题的形式呈现,试题难度不大,多为容易题或中档题.高考对循环结构的考查主要有以下三个命题角度:‎ ‎(1)由程序框图求输出的结果或输入的值;‎ ‎(2)完善程序框图;‎ ‎(3)辨析程序框图的功能.‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ 角度一 由程序框图求输出的结果或输入的值 ‎ (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)执行如图的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ ‎(2)(2017·高考全国卷Ⅲ)执行如图的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为(  )‎ A.5 B.4‎ C.3 D.2‎ ‎【解析】 (1)运行程序框图,a=-1,S=0,K=1,K≤6成立;S=0+(-1)×1=-1,a=1,K=2,K≤6成立;S=-1+1×2=1,a=-1,K=3,K≤6成立;S=1+(-1)×3=-2,a=1,K=4,K≤6成立;S=-2+1×4=2,a=-1,K=5,K≤6成立;S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6,K≤6成立;S=-3+1×6=3,a=-1,K=7,K≤6不成立,输出S=3.选择B.‎ ‎(2)S=0+100=100,M=-10,t=2,100>91;S=100-10=90,M=1,t=3,90<91,输出S,此时,t=3不满足t≤N,所以输入的正整数N的最小值为2,故选D.‎ ‎【答案】 (1)B (2)D 角度二 完善程序框图 ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)如图程序框图是为了求出满足3n-2n>1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入(  )‎ A.A>1 000和n=n+1‎ B.A>1 000和n=n+2‎ C.A≤1 000和n=n+1‎ D.A≤1 000和n=n+2‎ ‎【解析】 程序框图中A=3n-2n,故判断框中应填入A≤1 000,由于初始值n=0,要求满足A=3n-2n>1 000的最小偶数,故执行框中应填入n=n+2,选D.‎ ‎【答案】 D 角度三 辨析程序框图的功能 ‎ 如图所示的程序框图,该算法的功能是(  )‎ A.计算(1+20)+(2+21)+(3+22)+…+(n+1+2n)的值 B.计算(1+21)+(2+22)+(3+23)+…+(n+2n)的值 C.计算(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1)的值 D.计算[1+2+3+…+(n-1)]+(20+21+22+…+2n)的值 ‎【解析】 初始值k=1,S=0,第1次进入循环体时,S=1+20,k=2;当第2次进入循环体时,S=1+20+2+21,k=3,…;给定正整数n,当k=n时,最后一次进入循环体,则有S=1+20+2+21+…+n+2n-1,k=n+1,终止循环体,输出S=(1+2+3+…+n)+(20+21+22+…+2n-1),故选C.‎ ‎【答案】 C 与循环结构有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)已知程序框图,求输出的结果,可按程序框图的流程依次执行,最后得出结果.‎ ‎(2)完善程序框图问题,结合初始条件和输出结果,分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式.‎ ‎(3)对于辨析程序框图功能问题,可将程序执行几次,即可根据结果作出判断.‎ ‎[提醒] (1)注意区分当型循环和直到型循环.‎ ‎(2)循环结构中要正确控制循环次数.‎ ‎(3)要注意各个框的顺序.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.(2017·高考天津卷)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ 解析:选C.第一次循环,24能被3整除,N==8>3;第二次循环,8不能被3整除,N=8-1=7>3;第三次循环,7不能被3整除,N=7-1=6>3;第四次循环,6能被3整除,N==2<3,结束循环,故输出N的值为2.选择C.‎ ‎2.(2018·宝鸡市质量检测(一)) 阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序.若输入x的值为1,则输出S的值为(  )‎ A.64 B.73‎ C.512 D.585‎ 解析:选B.程序框图执行过程如下:x=1,S=0,S=1,S<50⇒x=2,S=9,S<50⇒x=4,S=73>50,跳出循环,输出S=73.‎ ‎3.(2018·广东省五校协作体联考)已知函数f(x)=ax3+x2在x=-1处取得极大值,记g(x)=.执行如图所示的程序框图,若输出的结果S>,则判断框中可以填入的关于n的判断条件是(  )‎ A.n≤2 016? B.n≤2 017?‎ C.n>2 016? D.n>2 017?‎ 解析:选B.f′(x)=3ax2+x,则f′(-1)=3a-1=0,解得a=,g(x)====-,g(n)=-,则S=1-+-+…+-=1-=,因为输出的结果S>,分析可知判断框中可以填入的判断条件是“n≤2 017?”,选B.‎ 基本算法语句 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)设计一个计算1×3×5×7×9×11×13的算法,下面给出了程序的一部分,则在①处不能填入的数是(  )‎ S=1‎ i=3‎ WHILE i<①‎ S=S*i i=i+2‎ WEND PRINT S END A.13           B.13.5‎ C.14 D.14.5‎ ‎(2)表示函数y=f(x)的程序如图所示 INPUT  x IF x>0 THEN y=1‎ ELSE IF x=0 THEN y=0‎ ELSE y=-1‎ END IF END IF PRINT  y END 则关于函数y=f(x)有下列结论:‎ ‎①y=f(x)的图象关于原点对称.‎ ‎②y=f(x)的值域为[-1,1].‎ ‎③y=f(x)是周期T=1的周期函数.‎ ‎④y=f(x)在R上是增函数.‎ ‎⑤函数y=f(x)-kx(k>0)有三个零点.‎ 则正确结论的序号为________.(填上所有正确结论的序号)‎ ‎【解析】 (1)若填13,当i=11+2=13时,不满足条件,终止循环,因此得到的是1×3×5×7×9×11的计算结果,故不能填13,但填的数字只要超过13且不超过15时均可保证终止循环,得到的是1×3×5×7×9×11×13的计算结果.‎ ‎(2)由程序知y=f(x)=,‎ 其图象如图 图象关于原点对称,①正确;值域为{1,0,-1},②错误;不是周期函数,在R上也不是增函数,③④错误;当k>0时,y=f(x)与y=kx有三个交点,故⑤正确.‎ ‎【答案】 (1)A (2)①⑤‎ ‎  ‎ ‎ 下列程序执行后输出的结果是________.‎ i=11‎ S=1‎ DO S=S*i i=i-1‎ LOOP UNTIL i<9‎ PRINT S END 解析:程序反映出的算法过程为 i=11⇒S=11×1,i=10;i=10⇒S=11×10,i=9;‎ i=9⇒S=11×10×9,i=8;‎ i=8<9退出循环,执行“PRINT S”.‎ 故S=990.‎ 答案:990‎ 算法与其他知识的交汇 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2018·湖北荆州七校联考)宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.5‎ ‎(2)执行如图所示的程序框图,如果输入的x,y∈R,那么输出的S的最大值为(  )‎ A.0 B.1‎ C.2 D.3‎ ‎【解析】 (1)程序运行如下:n=1,a=5+=,b=4,a>b,继续循环;‎ n=2,a=+×=,b=8,a>b,继续循环;‎ n=3,a=+×=,b=16,a>b,继续循环;‎ n=4,a=+×=,b=32,此时,a0时,第一次对y赋值为3x+2,第二次对y又赋值为-x2+1,最后y=-x2+1,于是由-x2+1=0,得x=1,综上知输入的x值为-1或1,故选B.‎ ‎2.(2018·兰州双基过关考试)执行如图所示的程序框图,若输出i的值为2,则输入x的最大值是(  )‎ A.5          B.6‎ C.11 D.22‎ 解析:选D.执行该程序可知解得即83,终止循环,输出x=19.‎ ‎4.(2016·高考全国卷Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦九韶算法,如图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图,若输入的x=2,n=2,依次输入的a为2,2,5,则输出的s=(  )‎ A.7 B.12‎ C.17 D.34‎ 解析:选C.由程序框图知,第一次循环:x=2,n=2,a=2,s=0×2+2=2,k=1;第二次循环:a=2,s=2×2+2=6,k=2;第三次循环:a=5,s=6×2+5=17,k=3.结束循环,输出s的值为17,故选C.‎ ‎5.执行如图所示的程序框图,若输出k的值为6,则判断框内可填入的条件是(  )‎ A.s>? B.s>?‎ C.s>? D.s>?‎ 解析:选C.第一次执行循环:s=1×=,k=8,s=应满足条件;第二次执行循环:s=×=,k=7,s=应满足条件,排除选项D;第三次执行循环:s=×=,k=6,正是输出的结果,故这时程序不再满足条件,结束循环,而选项A和B都满足条件,故排除A和B,故选C.‎ ‎6.(2018·湖南省湘中名校高三联考)执行如图所示的程序框图,如果运行结果为5 040,那么判断框中应填入(  )‎ A.k<6? B.k<7?‎ C.k>6? D.k>7?‎ 解析:选D.第一次循环,得S=2,k=3;第二次循环,得S=6,k=4;第三次循环,得S=24,k=5;第四次循环,得S=120,k=6;第五次循环,得S=720,k=7;第六次循环,得S=5 040,k=8,此时满足题意,退出循环,输出的S=5 040,故判断框中应填入“k>7?”,故选D.‎ ‎7.(2018·河南百校联盟模拟)《九章算术》是中国古代数学名著,体现了古代劳动人民的数学智慧,其中有一竹节容量问题,某教师根据这一问题的思想设计了如图所示的程序框图,若输出的m的值为35,则输入的a的值为(  )‎ A.4 B.5‎ C.7 D.11‎ 解析:选A.起始阶段有m=2a-3,i=1,‎ 第一次循环,m=2(2a-3)-3=4a-9,i=2;‎ 第二次循环,m=2(4a-9)-3=8a-21,i=3;‎ 第三次循环,m=2(8a-21)-3=16a-45,i=4;‎ 接着计算m=2(16a-45)-3=32a-93,跳出循环,‎ 输出m=32a-93,令32a-93=35,得a=4.‎ ‎8.(2017·高考山东卷)执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为(  )‎ A.0,0 B.1,1‎ C.0,1 D.1,0‎ 解析:选D.当输入x=7时,b=2,因为b2>x不成立且x不能被b整除,故b=3,这时b2>x成立,故a=1,输出a的值为1.当输入x=9时,b=2,因为b2>x不成立且x不能被b整除,故b=3,这时b2>x不成立且x能被b整除,故a=0,输出a的值为0.‎ ‎9.输入x=5,运行如图所示的程序后得到的y等于________.‎ INPUT x IF x<0 THEN y=(x+1)*(x+1)‎ ELSE y=(x-1)*(x-1)‎ END IF PRINT y END 解析:由题意,得y=f(x)= 所以f(5)=(5-1)2=16.‎ 答案:16‎ ‎10.(2018·石家庄市第一次模拟)程序框图如图,若输入的S=1,k=1,则输出的S为____________.‎ 解析:第一次循环,k=2,S=4;第二次循环,k=3,S=11;第三次循环,k=4,S=26;第四次循环,k=5,S=57.此时,终止循环,输出的S=57.‎ 答案:57‎ ‎11.(2018·广州市高考模拟)执行如图所示的程序框图,输出的结果为____________.‎ 解析:第一步:s=1-1=0,t=1+1=2,x=0,y=2,k=1<3;‎ 第二步:s=-2,t=2,x=-2,y=2,k=2<3;‎ 第三步:s=-4,t=0,x=-4,y=0,k=3,结束循环.故输出的结果为(-4,0).‎ 答案:(-4,0)‎ ‎12.执行如图所示的程序框图,输出的T的值为________.‎ 解析:执行第1次,n=1<3,T=1+∫xdx=1+x2|=1+=;n=2<3,执行第2次,T=+∫x2dx=+x3|=+=;n=3,不满足n<3,输出T=.‎ 故输出的T的值为.‎ 答案: ‎1.(2018·新疆乌鲁木齐一诊)执行如图所示的程序框图(n∈N*),则输出的S=(  )‎ A.a+aq+…+aqn-1 B. C.a+aq+…+aqn D. 解析:选C.执行第1次循环体运算,得i=1,S=a;‎ 执行第2次循环体运算,得i=2,S=a+aq;‎ ‎…‎ 执行第n+1次循环体运算,得i=n+1,S=a+aq+…+aqn.故选C.‎ ‎2.(2018·福州市综合质量检测)执行如图所示的程序框图,若输入的m=168,n=112,则输出的k,m的值分别为(  )‎ A.4,7 B.4,56‎ C.3,7 D.3,56‎ 解析:选C.对第一个当型循环结构,第一次循环:k=1,m=84,n=56,m,n均为偶数;第二次循环:k=2,m=42,n=28,m,n均为偶数;第三次循环:k=3,m=21,n=14,因为m不是偶数,所以结束第一个循环.又m≠n,所以执行第二个当型循环结构,第一次循环:d=|21-14|=7,m=14,n=7,m≠n;第二次循环:d=|14-7|=7,m=7,n=7,因为m=n,所以结束循环,输出k=3,m=7,故选C.‎ ‎3.一个算法的程序框图如图所示,若输入的值为2 017,则输出的i值为________.‎ 解析:运行程序框图.‎ x=2 017,a=2 017,i=1,b= ‎=,b≠x;‎ i=2,a=-,b==,b≠x;‎ i=3,a=,‎ b==2 017,b=x.终止循环,故输出i=3.‎ 答案:3‎ ‎4.某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的S的值为________.‎ 解析:依题意得,运行程序后输出的是数列{an}的第2 017项,其中数列{an}满足:a1=1,an+1= 注意到a2=,a3=,a4=,a5=1,a6=,…,‎ 该数列中的项以4为周期重复性地出现,‎ 且2 017=4×504+1,‎ 因此a2 017=a1=1,运行程序后输出的S的值为1.‎ 答案:1‎ ‎5.根据如图所示的程序框图,将输出的x,y值依次分别记为x1,x2,…,xn,…,x2 008;y1,y2,…,yn,…,y2 008.‎ ‎(1)求数列{xn}的通项公式xn;‎ ‎(2)写出y1,y2,y3,y4,由此猜想出数列{yn}的一个通项公式yn,并证明你的结论.‎ ‎(3)求zn=x1y1+x2y2+…+xnyn(n∈N*,n≤2 008).‎ 解:(1)由框图,知数列{xn}中,x1=1,xn+1=xn+2,所以xn=1+2(n-1)=2n-1(n∈N*,n≤2 008).‎ ‎(2)y1=2,y2=8,y3=26,y4=80.‎ 由此,猜想yn=3n-1(n∈N*,n≤2 008).‎ 证明如下:由框图,知数列{yn}中,yn+1=3yn+2,‎ 所以yn+1+1=3(yn+1),‎ 所以=3,y1+1=3.‎ 所以数列{yn+1}是以3为首项,3为公比的等比数列.所以yn+1=3·3n-1=3n,‎ 所以yn=3n-1(n∈N*,n≤2 008).‎ ‎(3)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn ‎=1×(3-1)+3×(32-1)+…+(2n-1)(3n-1)‎ ‎=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n-[1+3+…+(2n-1)],‎ 记Sn=1×3+3×32+…+(2n-1)·3n,①‎ 则3Sn=1×32+3×33+…+(2n-1)×3n+1,②‎ ‎①-②,得-2Sn=3+2·32+2·33+…+2·3n-(2n-1)·3n+1‎ ‎=2(3+32+…+3n)-3-(2n-1)·3n+1‎ ‎=2×-3-(2n-1)·3n+1‎ ‎=3n+1-6-(2n-1)·3n+1=2(1-n)·3n+1-6,‎ 所以Sn=(n-1)·3n+1+3.‎ 又1+3+…+(2n-1)=n2,‎ 所以zn=(n-1)·3n+1+3-n2(n∈N*,n≤2 008).‎
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