2017-2018学年安徽省淮北市濉溪中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

2017-2018学年安徽省淮北市濉溪中学高二上学期第一次月考数学（理）试题

‎2017-2018学年安徽省淮北市濉溪中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 考试时间：120 分钟 总分：150 分 命题人：徐 煜 第Ⅰ卷（共 60 分）‎ 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．{an}是首项为 1，公差为 3 的等差数列，如果 an＝2 014，则序号 n 等于(D )‎ A．667 B．668 C．669 D．672‎ ‎2．数列{an}为等差数列，它的前 n 项和为 Sn，若 Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是 ‎( B)‎ A．－2 B．－1 C．0 D．1‎ ‎3．已知函数 f(x)＝(sin x－cos x)sin x，x∈R，则 f(x)的最小正周期是( A )‎ A．π B．2π C. D．2‎ ‎4．在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是( C )‎ A． B． C. D．‎ ‎5. 已知数列{an}满足,若，则（ A ）‎ A． B． C. D．‎ ‎6．在△ABC 中, cos Acos B则△ABC 的形状是( A )‎ ‎ A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 ‎7．若θ∈，则（ B ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8．已知数列{an}，an＝－2n2＋λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围 是(A )‎ A．(－∞，6) B．(－∞，4] C．(－∞，5) D．(－∞，3]‎ 9. 已知数列{an }的通项公式，设其前 n 项和为 Sn ，则使Sn < -4 成立的自然数 n 有（D ）‎ A．最大值 15 B．最小值 15 C．最大值 16 D．最小值 16‎ ‎10. 若数列{an },{bn }的通项公式分别是 an = (-1) n+2014 a ， ，且 ‎ an < bn 对任意 n Î N * 恒成立，则实数 a 的取值范围是(D )‎ A． B． C. D．‎ ‎11. 已知数列{an } 满足 an+1 + (-1)n an = 2n -1, 则{an }的前 60 项和为( D )‎ ‎ A．3690 B．3660 C．1845 D．1830‎ ‎12．定义为 n 个正数，，… 的“均倒数”．若已知数列{an}‎ 的前 n 项的“均倒数”为 ，又，则( C )‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共 70 分）‎ 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若两个向量与的夹角为，则称向量“×”为“向量积”，其长度，若已知||＝1，||＝5，·＝－4，则|×|＝___3_____．‎ ‎14．已知单位向量、的夹角为, ,则在上的投影是______。 ‎ ‎15 ．如果数列 {an} 的前 n 项和 Sn ＝ 2an － 1 ，则此数列的通项公式 an ＝‎ ‎_____________．‎ ‎16.已知,若 f1(x)=f(x),fn+1(x)=f(fn(x)),n∈N+,则 f2014(x)的表达 式为_______________.‎ 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.）‎ ‎17．(本小题满分 10 分)已知向量＝(2x－y＋1，x＋y－2)，＝(2，－2)．‎ ‎(1)当 x，y 为何值时， 与 共线？‎ ‎(2)是否存在实数 x，y 使得⊥，且||＝||？若存在，求出 xy 的值；若 不存在，请说明理由．‎ 解（1）与共线，所以－2（2x－y＋1）=2（x＋y－2）得x=，‎ ‎（2）假设存在实数 x，y 使得⊥，且||＝||，则 ‎＝(2x－y＋1，x＋y－2)＝(－2，－2)或＝(2x－y＋1，x＋y－2)＝(2，2)‎ 解得x＝－1，y＝1或x＝1，y＝3‎ 所以存在实数 x，y使得⊥，且||＝||， xy＝1或xy=3‎ ‎18.（本小题满分 12 分）已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求的值．‎ ‎（Ⅱ）求 f（x）的最小正周期及单调递增区间．‎ 解（1）‎ ‎ ‎ 所以 ‎（2）‎ ‎19.（本小题满分 12 分）已知二次函数 f(x)＝x2－ax＋a(x∈R)同时满足：①不 等式 f(x)≤0 的解集有且只有一个元素；②在定义域内存在 0f(x2)成立．设数列{an}的前 n 项和 Sn＝f(n)．‎ ‎(1)求 f(x)的表达式；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式 解：△=a2−4a=0得a=0或a=4，‎ 当a=4时,函数f(x)=x2−4x+4在(0,2)上递减，‎ 故存在0f(x2)成立。‎ 当a=0时,函数f(x)=x2在(0,+∞)上递增，‎ 故不存在0f(x2)成立。‎ 综上：a=4,f(x)=x2−4x+4.‎ ‎(2)由(1)可知：Sn=n2−4n+4.当n=1时,a1=S1=1，‎ 当n⩾2时,an=Sn−Sn−1=(n2−4n+4)−(n−1)2−4(n−1)+4]=2n−5，‎ ‎∴an=‎ ‎20.（本小题满分 12 分）‎ 已知数列是递增的等比数列，且.‎ ‎（1）求数列的通项公式 ‎（2）设Sn为数列的前n项和，，求数列的前n项和Tn。‎ ‎21.（本小题满分 12 分）已知数列 {an }的前 n 项和 Sn=3n2+8n, {bn }是等差数列,‎ 且 an=bn+bn+1.‎ ‎(1)求数列 {bn }的通项公式.‎ ‎(2)令，求数列{cn }的前n项和Tn 解：‎ ‎ (Ⅰ)因为数列{an }的前项和Sn=3n2+8n,，  所以，‎ 当时，，‎ 又对也成立，所以．‎ 又因为是等差数列，设公差为，则．‎ 当时，；当时，，‎ 解得，所以数列的通项公式为．…6分 ‎(Ⅱ)由，‎ 于是，‎ 两边同乘以２，得 ‎，‎ 两式相减，得 ‎．…12分 ‎22（本小题满分 12 分）已知等差数列的首项，公差>0，且第项、第 项、第项分别是等比数列的第项、第项、第项。‎ ‎（1）求数列与的通项公式；‎ ‎（2）设数列对任意均有成立，求 的值 解答：‎ ‎(1)∵等差数列{an}的首项a1=1，公差d>0，‎ 且第2项,第5项,第14项分别是等比数列{bn}的第2项，第3项，第4项，‎ ‎∴(1+d)(1+13d)=(1+4d)2，‎ 解得d=2.‎ an=1+(n−1)×2=2n−1.‎ ‎∵b2=1+d=3,b3=1+4d=9,b4=1+13d=27，‎ ‎∴bn=3n−1.‎ ‎(2)∵bn=3n−1,an+1=2n+1,对任意自然数n,均有，‎ ‎∴当n=1时,c1=3，‎ 当n⩾2时, =an+1−an=(2n+1)−(2n−1)=2，,∴cn=2⋅3n−1，‎ ‎∴c1+c2+c3+…+c=3+2×3+2×32+…+2×32014=3+2×=3+3×32005−3=3‎